10. 비관성계에서의 운동

10.1 서론

비관성계의 대표적 예시: 지구 (지구가 자전하기 때문)

10.2 회전좌표계

(1)
\begin{cases} \hat{e}_i ' & : 순간좌표계\ \mathrm{(int)} \\ \hat{e}_i & : 회전좌표계\ \mathrm{(rot)} \end{cases}
(2)
\begin{align} \vec{r} = \sum_{i=1}^3 r_i \hat{e}_i ' = \sum_{i=1} r_i \hat{e}_i \end{align}
(3)
\begin{align} \left( {{d \vec{r} } \over {dt}} \right)_\mathrm{int} = \sum_i {{d r_i ' } \over {dt}} \hat{e}_i ' = \sum_i {{d r_i} \over {dt}} \hat{e}_i + \sum_i r_i {{d \hat{e}_i} \over {dt}} \end{align}
(4)
\begin{align} \left( {{d \vec{r} } \over {dt}} \right)_\mathrm{rot} = \sum_i {{d r_i} \over {dt}} \hat{e}_i \end{align}
(5)
\begin{align} \left( {{d \vec{r} } \over {dt}} \right)_\mathrm{int} = \left( {{d \vec{r} } \over {dt}} \right)_\mathrm{rot} + \sum_i r_i {{d \hat{e}_i } \over {dt}} \end{align}
10-1.png
(6)
\begin{align} \vec{r} ' = \vec{R} + \vec{r} \end{align}
(7)
\begin{align} \left( {{ d \vec{r} ' } \over {dt}} \right)_\mathrm{int} & = \left( {{d \vec{R} } \over {dt}} \right)_\mathrm{int} + \left( {{d \vec{r} } \over {dt}} \right)_\mathrm{int} \\ & = \left( {{d \vec{R} } \over {dt}} \right)_\mathrm{int} + \left( {{d \vec{r} } \over {dt}} \right)_\mathrm{int} + \vec{\omega} \times \vec{r} \end{align}

P점의 속도

(8)
\begin{align} \vec{v}_\mathrm{int} & = \dot{\vec{r}}_\mathrm{int} = \left( {{ d \vec{r} ' } \over {dt}} \right) \\ & = \vec{V} + \vec{v}_\mathrm{rot} + \vec{\omega} \times \vec{r} \end{align}

이때

  • $\vec{v}_\mathrm{int} =$ 고정계에 대한 점 $P$의 속도
  • $\vec{V} =$ 고정계에 대한 회전계의 원점의 속도
  • $\vec{v}_\mathrm{rot} =$ 회전계에 대한 점 $P$의 속도
  • $\vec{\omega} =$ 고정계에 대한 회전계의 각속도
  • $\vec{\omega} \times \vec{r} =$ 회전계의 회전에 의해 점 $P$가 갖는 속도

10.3 원심력과 전향력

10.4 지구에 대한 상대운동