9. 입자계의 동역학

9.1. 서론

선운동량

  1. $\vec{F} = M \vec{R}$
  2. $\vec{F} = \dot{\vec{p}} = M \vec{R} = 0$

각운동량

  1. $\vec{L} = \vec{R} \times \vec{P} +\sum_\alpha \vec{r}_\alpha ' \times \vec{P}_\alpha '$
  2. $\vec{L} = \sum_{\alpha} {N_\alpha}^2 = N^2 \\ N^2 = 0, \vec{L} = 0$
  3. $\vec{f}_{\alpha \beta} = - \vec{f}_{\beta \alpha} \\ \sum_{ \alpha, \beta \ne \alpha } ( \vec{r}_\alpha \times \vec{f}_{\alpha \beta} ) = \sum_{\alpha < \beta} ( \vec{r}_{\alpha \beta} \times \vec{f}_{\alpha \beta} ) = 0$

계의 에너지

(1)
\begin{align} T = {1 \over 2} \sum m_\alpha {v_\alpha '}^2 + { 1 \over 2} M V^2 \end{align}
  • $E_i = E_f$ (에너지 보존)

9.2. 질량중심

9-2.png

입자가 많아지든 커지든 별 상관이 없는. 그저 벡터가 늘어났을 뿐.

각 입자의 질량이 $m_\alpha$ 인 입자 $n$개로 구성된 계의 총 질량은

(2)
\begin{align} M = \sum_\alpha m_\alpha \end{align}

원점과 $\alpha$번째 입자를 잇는 벡터를 $\vec{r}_\alpha$라고 하면 계의 질량중심의 위치벡터는

(3)
\begin{align} M \vec{R} & = m_1 \vec{r}_1 + m_2 \vec{r}_2 + \cdots \\ \vec{R} & = {1 \over M} \sum_{\alpha} m_{\alpha} \vec{r}_\alpha = {1 \over M} \int \vec{r} dm \end{align}

적분 형태는 질량이 연속분포할 때를 의미한다.

예제 9.1
밀도가 일정한 고체 반구의 질량중심 구하기

9-3.png
(4)
\begin{align} \rho = {{M} \over {{2 \over 3} \pi a^3}} = \mathrm{const.} \end{align}

$\vec{R} = (X, Y, Z)$일 때 대칭성 때문에 $X =0, Z=0$

(5)
\begin{align} \implies dm & = \rho dV = \rho \pi ( a^2 - y^2 ) dy \\ Y & = {1 \over M} \int_0^a y dm \\ & = {1 \over M} \int_0^a \pi \rho y ( a^2 - y^2 ) dy \\ & = {{\pi \rho a^4} \over {4M}} = {{3a} \over 8} \end{align}

질량중심의 위치는 $(0, 3a/8, 0)$이다.

9.3. 계의 선운동량

  • 외력(cxternal force): 계의 외부에서 오는 힘의 합력
  • 내력(internal force): $\alpha$번째 입자가 다른 $n-1$개 입자에서 받는 힘의 합력
(6)
\begin{align} \vec{f}_\alpha = \sum_\beta \vec{f}_{\alpha \beta} \end{align}

그러므로 $\alpha$ 번째 입자가 받는 전체 힘은 다음과 같다. ( (e)는 external 을 의미)

(7)
\begin{align} \vec{F}_\alpha = {\vec{F}_\alpha} ^{(e)} + \vec{f}_\alpha \end{align}

뉴턴 제3법칙에 의해

(8)
\begin{align} \vec{f}_{\alpha \beta} = - \vec{f}_{\beta \alpha} \end{align}

$\alpha$ 번째 입자에 대한 뉴턴 제2법칙

(9)
\begin{align} \dot{\vec{p}}_\alpha & = \vec{F}_\alpha = m \ddot{\vec{r}}_\alpha = {\vec{F}_{\alpha} }^{(e)} + \vec{f}_\alpha \end{align}
(10)
\begin{align} \implies & \sum_\alpha {{d^2} \over {dt^2 }} ( m_\alpha \vec{r}_\alpha ) = \sum {\vec{F}_\alpha }^{(e)} + {\sum_\alpha \sum_\beta }_{\alpha \ne \beta} \vec{f}_{\alpha \beta} \end{align}

식 (10)의 우변 제2항은

(11)
\begin{align} {\sum_\alpha \sum_\beta}_{\alpha \ne \beta} \vec{f}_{\alpha \beta} \equiv \sum_{\alpha, \beta \ne \alpha } \vec{f}_{\alpha \beta} = \sum_{\alpha < \beta } ( \vec{f}_{\alpha \beta} + \vec{f}_{\beta \alpha} ) = 0 \end{align}
(12)
\begin{align} \therefore\ \sum_\alpha {\vec{F}_\alpha}^{(e)} \equiv \vec{F} = M \ddot{\vec{R}} \end{align}

I. 계의 질량중심 운동은 계의 총 질량과 동일한 질량을 가진 단일 입자가 외력의 작용을 받아 운동할 경우와 같고 내력은 무시된다.

계의 총 선운동량을 시간에 대해 미분하면

(13)
\begin{align} \dot{\vec{P}} = M \ddot{\vec{R}} = \vec{F} \end{align}

II. 계의 선운동량은 계의 질량중심에 놓인 점질량 $M$이 질량중심의 운동과 같은 형태로 운동할 때 가질 운동량과 같다.

(14)
\begin{align} \dot{\vec{P}} = 0 \implies \vec{P} = \mathrm{const.} \end{align}

III. 외력을 받지 않는 계의 총 선운동량은 상수이며 질량중심의 선운동량과 같다 (계의 선운동량 보존법칙)

9.4. 계의 각운동량

9-5.png

관성계에서의 위치벡터는

(15)
\begin{align} \vec{r}_\alpha = \vec{R} + \vec{r}_\alpha ' \end{align}

$\vec{r}_\alpha '$ 은 질량중심에 대한 입자 $\alpha$의 위치벡터이다. $\alpha$번째 입자의 원점에 대한 각운동량은

(16)
\begin{align} \vec{L}_\alpha = \vec{r}_\alpha \times \vec{p}_\alpha \end{align}

총 각운동량은

(17)
\begin{align} \vec{L} = \sum_\alpha \vec{L}_\alpha & = \sum_\alpha ( \vec{r}_\alpha \times \vec{p}_\alpha ) = \sum_\alpha ( \vec{r}_\alpha \times m_\alpha \dot{\vec{r}}_\alpha ) \\ & \sum_\alpha ( \vec{r}_\alpha ' + \vec{R} ) \times m_\alpha ( \dot{\vec{r}}_\alpha ' + \dot{\vec{R}} ) \\ & \sum_\alpha m_\alpha [ ( \vec{r}_\alpha ' \times \dot{\vec{r}}_\alpha ' ) + ( \vec{r}_\alpha ' \times \dot{\vec{R}} ) + ( \vec{R} \times \dot{\vec{r}}_\alpha ' ) + ( \vec{R} \times \dot{\vec{R}} ) ] \end{align}

이때 가운데의 두 항은

(18)
\begin{align} \left( \sum_\alpha m_\alpha \vec{r}_\alpha ' \right) \times \dot{\vec{R}} + \vec{R} \times {{d} \over {dt}} \left( \sum_\alpha m_\alpha \vec{r}_\alpha ' \right) \end{align}
(19)
\begin{align} \sum_\alpha m_\alpha \vec{r}_\alpha ' & = \sum_\alpha ( \vec{r}_\alpha - \vec{R} ) \\ & = \sum_\alpha m_\alpha \vec{r}_\alpha - \vec{R} \sum_\alpha m_\alpha \\ & = M \vec{R} - M \vec{R} = 0 \end{align}

$\sum_\alpha m_\alpha \vec{r}_\alpha '$는 질량중심의 위치인즉 영벡터이다. 따라서

(20)
\begin{align} \vec{L} & = M \vec{R} \times \dot{\vec{R}} + \sum_\alpha \vec{r}_\alpha ' \times \vec{p}_\alpha ' \\ & = \vec{R} \times \vec{P} + \sum_\alpha \vec{r}_\alpha ' \times \vec{p}_\alpha ' \end{align}

IV. 총 각운동량은 원점에 관한 질량중심의 각운동량과 질량중심 사이에 위치한 계의 각운동량의 합이다.

이것을 미분하면

(21)
\begin{align} \dot{\vec{L}}_\alpha & = {{d} \over {dt}} ( \vec{r} \times \vec{p} ) \\ & = \vec{r} \times \dot{\vec{p}} + \dot{\vec{r}} \times \vec{p} \\ & = \vec{r}_\alpha \times \dot{\vec{p}}_\alpha \\ & = \vec{r}_\alpha \times ( {\vec{F}_\alpha}^{(e)} + \sum \vec{f}_{\alpha \beta} \\ \dot{\vec{L}}_\mathrm{total} & = \sum_\alpha \dot{\vec{L}}_\alpha \end{align}
(22)
\begin{align} \sum_\alpha \dot{\vec{L}}_\alpha & = \sum_\alpha ( \vec{r}_\alpha \times {\vec{F}_\alpha}^{(e)} + {\sum_\alpha \sum_\beta}_{\alpha \ne \beta} ( \vec{r}_\alpha \times \vec{f}_{\alpha \beta} \\ & = \sum_{\alpha < \beta} [ ( \vec{r}_\alpha \times \vec{f}_{\alpha \beta} ) + ( \vec{r}_\beta \times \vec{f}_{\beta \alpha} )] \end{align}
(23)
\begin{align} {\sum_{\alpha, \beta}}_{\alpha \ne \beta } ( \vec{r}_\alpha \times \vec{f}_{\alpha \beta} ) & = \sum_{\alpha < \beta} ( \vec{r}_\alpha - \vec{r}_\beta ) \times \vec{f}_{\alpha \beta} \\ & = \sum_{\alpha < \beta} ( \vec{r}_{\alpha \beta} \times \vec{f}_{\alpha \beta} ) = 0 \end{align}
(24)
\begin{align} \implies \sum_\alpha \dot{\vec{L}}_\alpha & = \sum_\alpha ( \vec{r}_\alpha \times {\vec{F}_\alpha}^{(e)} ) \\ & = \sum_\alpha {\vec{N}_\alpha}^{(e)} \end{align}

즉 각운동량의 변화량은 모든 외부 토크의 합.

V. 외부 토크가 0이면 계의 총 각운동량은 시간적으로 일정하다.

주의해야 할 점은

(25)
\begin{align} \sum_\beta (\vec{r}_\alpha \times \vec{f}_{\alpha \beta}) \end{align}

는 모든 내부 힘 때문에 $\alpha$번째 입자가 받는 회전력, 즉 내부회전력으로 이것을 $\alpha$에 대해 합하면 0이 된다.

(26)
\begin{align} \sum_{\alpha, \beta \ne \alpha } ( \vec{r}_\alpha \times \vec{f}_{\alpha \beta} ) = \sum_{\alpha < \beta} ( \vec{r}_{\alpha \beta} \times \vec{f}_{\alpha \beta} ) = 0 \end{align}

VI. 중심력이 내력이라면, 즉 $\vec{f}_{\alpha \beta} = - \vec{f}_{\beta \alpha}$일 때 총 내부회전력은 0. 고립계의 각운동량은 외력을 받지 않으면 불변이다.

9.5. 계의 에너지

(27)
\begin{align} W_{12} & = \sum_\alpha \int_1^2 \vec{F}_\alpha \cdot d \vec{r}_\alpha \\ & = \sum_\alpha \int_1^2 d \left( {1 \over 2} m_\alpha {v_\alpha}^2 \right) = T_2 - T_1 \end{align}

이때

(28)
\begin{align} T = \sum_\alpha T_\alpha = \sum_\alpha {1 \over 2} m_\alpha {v_\alpha}^2 \end{align}

여기서

(29)
\begin{align} {v_\alpha}^2 & = \dot{\vec{r}}_\alpha \cdot \dot{\vec{r}}_\alpha = ( \dot{\vec{r}}_\alpha ' + \dot{\vec{R}} ) \cdot ( \dot{\vec{r}}_\alpha ' + \dot{\vec{R}} ) \\ & = ( \dot{\vec{r}}_\alpha ' \cdot \dot{\vec{r}}_\alpha ' ) + 2 ( \dot{\vec{r}}_\alpha ' \cdot \dot{\vec{R}} ) + ( \dot{\vec{R}} \cdot \dot{\vec{R}} ) \\ & = {v_\alpha '}^2 + 2 ( \dot{\vec{r}}_\alpha ' \cdot \dot{\vec{R}} ) + V^2 \end{align}

그러므로

(30)
\begin{align} T & = \sum_\alpha {1 \over 2} m_\alpha {v_\alpha}^2 \\ & = \sum_\alpha {1 \over 2} m_\alpha {v_\alpha ' }^2 + \sum_\alpha {1 \over 2} m_\alpha V^2 + \dot{\vec{R}} \cdot {{d} \over {dt}} \sum_{\alpha} m_\alpha \vec{r}_\alpha ' \end{align}

그리고 각운동량에서 논했던 것과 같이 $\sum_\alpha m_\alpha \vec{r}_\alpha ' = 0$이므로

(31)
\begin{align} T = \sum {1 \over 2} m_\alpha {v_\alpha ' } ^2 + {1 \over 2} M V^2 \end{align}

VII. 계의 총 운동 에너지는 질량중심의 속도로 움직이는 질량 M인 입자의 운동에너지와 질량중심에 대한 각 입자의 운동에너지의 합이다.

식 (27)을 다시 쓰면

(32)
\begin{align} W_{12} = \sum_\alpha \int_1^2 {\vec{F}_\alpha}^{(e)} \cdot d \vec{r}_\alpha + \sum_{\alpha, \beta \ne \alpha} \int_1^2 \vec{f}_{\alpha \beta } \cdot d \vec{r}_\alpha \end{align}

만일 ${\vec{F}_\alpha}^{(e)}, \vec{f}_{\alpha \beta}$가 보존력이면 힘은 위치에너지의 미분이므로

(33)
\begin{cases} {\vec{F}_\alpha}^{(e)} & = - \vec{\nabla}_\alpha U_\alpha \\ \vec{f}_{\alpha \beta} & = - \vec{\nabla}_\alpha \bar{U}_{\alpha \beta} \end{cases}

$\vec{\nabla}_\alpha$$\alpha$번째 입자의 좌표로 미분연산한다는 뜻이다.

식 (29)의 제1항은

(34)
\begin{align} \sum_\alpha \int_1^2 {\vec{F}_\alpha}^{(e)} \cdot d \vec{r}_\alpha & = - \sum_\alpha \int_1^2 ( \vec{\nabla}_\alpha U_\alpha ) \cdot d \vec{r}_\alpha \\ & = - \left. \sum_\alpha U_\alpha \right\rvert_1^2 \end{align}

식 (29)의 제2항은

(35)
\begin{align} \sum_{\alpha, \beta \ne \alpha} \int_1^2 \vec{f}_{\alpha \beta } \cdot d \vec{r}_\alpha & = \sum_{\alpha < \beta} \int_1^2 ( \vec{f}_{\alpha \beta} \cdot d \vec{r}_\alpha + \vec{f}_{\alpha \beta} \cdot d \vec{r}_\beta ) \\ & = \sum_{\alpha < \beta} \int_1^2 \vec{f}_{\alpha \beta} \cdot ( d \vec{r}_\alpha - d \vec{r}_\beta ) \\ & = \sum_{\alpha < \beta } \int_1^2 \vec{f}_{\alpha \beta} \cdot d \vec{r}_{\alpha \beta} \end{align}

여기서 $d \vec{r}_{\alpha \beta} = d \vec{r}_\alpha - d \vec{r}_\beta$

(36)
\begin{align} d \bar{U}_{\alpha \beta} & = \sum_i \left( {{\partial \bar{U}_{\alpha \beta} } \over { \partial x_{\alpha, i} } } d x_{\alpha , i} + {{\partial \bar{U}_{\alpha \beta} } \over { \partial x_{\beta, i} } } d x_{\beta, i} \right) \\ & = ( \vec{\nabla}_\alpha \bar{U}_{\alpha \beta} ) \cdot d \vec{r}_{\alpha} + ( \vec{\nabla}_\beta \bar{U}_{\alpha \beta} ) \cdot d \vec{r}_{\beta} \\ & = - \vec{f}_{\alpha \beta} \cdot d \vec{r}_{\alpha} - \vec{f}_{\beta \alpha} \cdot d \vec{r}_{\beta} \\ & = - \vec{f}_{\alpha \beta} \cdot d \vec{r}_{\alpha} + \vec{f}_{\alpha \beta} \cdot d \vec{r}_{\beta} \\ & = - \vec{f}_{\alpha \beta} \cdot ( d \vec{r}_\alpha - d \vec{r}_\beta ) = - \vec{f}_{\alpha \beta} \cdot d \vec{r}_{\alpha \beta} \end{align}

이 결과를 식 (32)에 대입하면

(37)
\begin{align} \sum_{\alpha, \beta \ne \alpha} \int_1^2 \vec{f}_{\alpha \beta} \cdot d \vec{r}_\alpha = - \sum_{\alpha < \beta} \int_1^2 d \bar{U}_{\alpha < \beta} = \left. - \sum_{\alpha < \beta} \bar{U}_{\alpha \beta} \right\rvert_1^2 \end{align}

이를 식 (35)에 대입하면

(38)
\begin{align} W_{12} = - \left. \sum_\alpha U_\alpha \right\rvert_1^2 - \left. \sum_{\alpha < \beta} \bar{U}_{\alpha \beta} \right\rvert_1^2 \end{align}

계의 총 위치 에너지는

(39)
\begin{align} U = \sum_\alpha U_\alpha + \sum_{\alpha < \beta} \bar{U}_{\alpha \beta} \end{align}
(40)
\begin{align} \therefore\ W_{12} = - \left. U \right\rvert_1^2 = U_1 - U_2 \end{align}

이것과 식 (27)을 비교하면

(41)
\begin{align} T_2 - T_1 & = U_1 - U_2 \\ T_1 + U_1 & = T_2 + U_2 \\ E_1 & = E_2 \end{align}

VIII. 보존계의 총 에너지는 불변한다.

9.6. 두 입자의 탄성충돌

일반물리 복습:

  • 충돌 전후에 열에너지 따위로 에너지가 빠져나가는 것 = 비탄성
  • 운동량의 형태만 변하고 에너지는 일정한 것 = 탄성
xkstjdcndehf.png

운동량 보존:

(42)
\begin{equation} m_1 v_{1i} + m_2 + v_{2i} = m_1 v_{1f} + m_2 v_{2f} \end{equation}

에너지 보존:

(43)
\begin{align} {1 \over 2} m_1 {v_{1i}}^2 + {1 \over 2} m_2 {v_{2i}}^2 = {1 \over 2} m_1 {v_{1f}}^2 + {1 \over 2} m_2 {v_{2f}}^2 \end{align}
(44)
\begin{align} v_{1f} & = \left( {{m_1 - m_2} \over {m_1 + m_2 }} \right) v_{1i} + \left( {{2m_2} \over {m_1 + m_2}} \right) v_{2i} \\ v_{2f} & = \left( {{ 2 m_1} \over {m_1 + m_2 }} \right) v_{1i} + \left( {{m_2 - m_1} \over {m_1 + m_2}} \right) v_{2i} \end{align}

두 물체의 질량이 같을 경우

(45)
\begin{align} m_1 = m+2 \longrightarrow \\ v_{1f} = v_{2i}, \qquad v_{2f} = v_{1i} \end{align}

한 물체가 정지하고 있었을 경우

(46)
\begin{align} v_{2i} = 0 \longrightarrow \\ v_{1f} = v_{2f} = \left( {{m_1 - m_2} \over {m_1 + m_2 }} \right) v_{1i} \end{align}

실험실계 질량중심계
초기상태 lab-frame-2.png CM-frame-2.png
최종상태 lab-frame-3.png CM-frame-3.png

실험실계

(47)
\begin{align} m_1 \vec{r}_1 + m_2 \vec{r}_2 & = M \vec{R} \\ \longrightarrow m_1 \vec{u}_1 + m_2 \vec{u}_2 & = M \vec{V} \\ (\vec{u}_2 = 0, \qquad M = m_1 + m_2) \\ \vec{V} = {{m_1} \over {m_1 +m_2 }} \vec{u}_1 \end{align}
(48)
\begin{align} v_2 ' & = {{m_1 } \over {m_1 + m_2}} u_1 \\ v_1 ' & = u_1 - u_2 ' = {{m_2} \over {m_1 + m_2}} u_1 \end{align}

질량중심계

(49)
\begin{align} \vec{u}_2 ' = \vec{V} \begin{cases} u_1 ' = v_1 ' \\ u_2 ' = v_2 ' \end{cases} \quad \begin{cases} v_1 ' \sin \theta & = v_1 \sin \psi \\ V + v_1 ' \cos \theta & = v_1 \cos \psi \end{cases} \implies \tan \psi = {{\sin \theta} \over {\cos \theta + (V / v_1 ' ) }} \end{align}
9-12.png
(50)
\begin{align} v_1 \sin \xi & = v_2 ' \sin \theta \\ v_2 \cos \xi & = V - v_2 \cos \theta \end{align}
(51)
\begin{align} \tan \xi & = {{\sin \theta} \over {(V/ v_2 ' ) - \cos \theta }} \\ & = {{\sin \theta} \over {1 - \cos \theta}} = \cot { \theta \over 2} \end{align}
(52)
\begin{align} 2 \xi = \pi - \theta = \phi \end{align}

만약 두 입자의 질량이 같다면

(53)
\begin{align} m_1 = m_2 \implies & \theta = 2 \psi, \\ & \xi + \psi = {\pi \over 2} \end{align}

즉 질량이 같은 입자가 탄성충돌할 때 한 개의 입자가 처음에 정지하고 있다면 최종 상태에서 두 입자의 속도벡터는 서로 직각이 된다.

9.7. 탄성충돌의 운동학

실험실계

(54)
\begin{align} T_0 & = {1 \over 2} m_1 {u_1}^2 \\ T_1 & = {1 \over 2} m_1 {v_1}^2 \\ {{T_1} \over {T_0}} & = {{v_1}^2 \over {u_1}^2} \end{align}

질량중심계

(55)
\begin{align} T_0 ' & = {1 \over 2} \left( m_1 {u_1 '}^2 + m_2 {u_2 '}^2 \right) \\ & = {1 \over 2} \left( {{m_1 m_2 } \over {m_1 + m_2}} \right) {u_1}^2 \\ & = {{m_2 } \over {m_1 + m_2}} T_0 \end{align}
(56)
\begin{align} T_1 ' & = {1 \over 2} m_1 {v_1 ' }^2 = {1 \over 2} m_1 \left( {{ m_2 } \over {m_1 + m_2}} \right)^2 {u_1}^2 = \left( {{ m_2 } \over {m_1 + m_2}} \right)^2 {u_1}^2 T_0 \\ T_2 ' & = {1 \over 2} m_2 {v_2 ' }^2 = {1 \over 2} m_1 \left( {{m_1 } \over {m_1 + m_2}} \right)^2 {u_1}^2 = {{m_1 m_2 } \over {(m_1 + m_2)^2}} {u_1}^2 T_0 \end{align}
(57)
\begin{align} {v_1 '}^2 = {v_1 }^2 + V' - 2 v_1 V \cos \psi \end{align}
(58)
\begin{align} {{T_1 } \over {T_0}} = {{v_1}^2 \over {u_1}^2} \end{align}
(59)
\begin{align} {{T_2} \over {T_0}} = 1 - {{T_1 } \over {T_0}} = {{4 m_1 m_2 } \over {(m_1 +m_2 )^2}} \cos^2 \xi, \qquad \xi \le {\pi \over 2} \end{align}

두 입자의 질량이 같을 경우

(60)
\begin{align} {T_1 \over T_0} = \cos^2 \psi \\ {T_2 \over T_0} = \sin^2 \psi \end{align}

9.8. 비탄성 충돌

(61)
\begin{align} Q( \ne 0) +{1 \over 2} m_1 {u_1}^2 + {1 \over 2} m_2 {u_2}^2 = {1 \over 2} m_3 {v_3}^2 + {1 \over 2} m_4 {v_4}^2 \end{align}
qlxkstjdcnedhf.png
(62)
\begin{align} T_1 + Q & = T_3 + T_4 \\ m_1 u_2 & = m_3 v_3 \cos \theta_3 + m_4 v_4 \cos \theta_4 \\ 0 & = m_3 v_3 \sin \theta_3 - m_4 v_4 \sin \theta_4 \end{align}

반발계수: 충돌 전후 상대속도의 비

(63)
\begin{align} \epsilon \equiv {{ \left\lvert v_4 - v_3 \right\rvert } \over { \left\lvert u_2 - u_1 \right\rvert }} \end{align}

완전 탄성 충돌일 경우 $\epsilon = 1$, 완전 비탄성 충돌일 경우 $\epsilon = 0$

충격력:

(64)
\begin{align} \vec{F} = {d \over {dt}} ( m \vec{v} ) \end{align}

충격량:

(65)
\begin{align} \vec{P} \equiv \int_{t_1}^{t_2} \vec{F} dt \end{align}

이때 충돌시간 $\Delta t = t_2 - t_1$.

9.9. 산란 단면적

9-20.png
(66)
\begin{align} l & = \vec{r} \times \vec{p} \\ & = b m_1 u_1 \\ & = b \sqrt{2 m_1 T_0} \qquad T_0 = {1 \over 2} m_1 {u_1}^2 \end{align}
  • $l =$ 각운동량
  • $b =$ 충돌 매개변수(impact parameter) = 입자 $m_1, m_2$가 충돌할 때의 최근접 거리

단면적 정의

(67)
\begin{align} \sigma ( \theta ) = {{ 각\ \theta로\ 들어오는\ 입사수 } \over {단위면적당\ 입사\ 입자의\ 수}} \end{align}
9-21.png

단위시간 동안 방위각 $d \Omega '$ 속에 산란되는 입자 수를 $dN$이라 하면

(68)
\begin{align} \sigma ( \theta ) d \Omega ' = {{dN } \over I} \\ \implies {{ d \sigma} \over {d \Omega ' }} = {1 \over I} {{dN} \over {d \Omega ' }} = \sigma ( \theta ) \end{align}

이제 $\sigma ( \theta)$ 가 면적 차원을 가지므로 단면적이라 부르게 되었다.

(69)
\begin{align} d \Omega ' = 2 \pi \sin \theta d \theta \end{align}
(70)
\begin{align} I \cdot 2 \pi ba db = - I \cdot \sigma ( \theta ) \cdot \sin \theta d \theta \end{align}
(71)
\begin{align} \implies \sigma ( \theta ) = {{b} \over {\sin \theta}} \left\lvert {{db} \over {d \theta}} \right\rvert \end{align}
(72)
\begin{align} \Delta \Theta = \int_{r_\mathrm{min}}^{r^\mathrm{max}} {{ (l / r^2)} \over {\sqrt{ 2 \mu \left[ E - U - \left( {{l^2} \over {2 \mu r^2}} \right) \right] }}} \end{align}
(73)
\begin{align} \theta & = \pi - 2 \Theta, \Theta (r_\mathrm{max} = \infty) & = \int_{r_\mathrm{min}}^\infty {{ ( b/r^2 ) dr} \over \sqrt{1 - \left( {b^2 \over r^2 } \right) - \left( {U \over {T'_0 }} \right) } } \end{align}
(74)
\begin{align} \sigma (\theta) d \Omega ' = & \sigma ( \psi ) d \Omega \\ (질량중심계) & (실험실계) \end{align}
(75)
\begin{align} \implies \sigma (\theta) 2 \pi \sin \theta d \theta = \sigma ( \psi ) \cdot 2 \pi \sin \psi d \psi \end{align}
(76)
\begin{align} \sigma ( \psi) = \sigma ( \theta ) \cdot {{ \sin \theta } \over {\sin \psi }} {{ d \theta} \over {d \psi}} \end{align}
(77)
\begin{align} V \sin \psi = v_1 ' \sin ( \theta - \psi ) \end{align}
(78)
\begin{align} {{ \sin (\theta - \psi ) } \over { \sin \psi }} = { m_1 \over m_2 } \equiv x \end{align}
(79)
\begin{align} dx = {{ \partial x } \over {\partial \psi}} d \psi + {{\partial x} \over {\partial \theta}} d \theta \end{align}
(80)
\begin{align} {{d \theta} \over {d \psi}} = {{\sin \theta} \over { \cos ( \theta - \psi ) \sin \psi }} \end{align}
(81)
\begin{align} \sigma ( \psi) = \sigma ( \theta) \cdot {{ \sin^2 \theta} \over { \cos ( \theta - \psi ) \sin^2 \psi }} \end{align}
(82)
\begin{align} \cos (\theta - \psi ) = \sqrt{1 - x^2 \sin^2 \psi } \end{align}
(83)
\begin{align} \sigma ( \psi ) = \sigma (\theta) \cdot {{ \left[x \cos \psi + \sqrt{1 - x^2 \sin^2 \psi} \right]^2 } \over \sqrt{1 - x^2 \sin^2 \psi} }, \qquad \left( x \equiv {m_1 \over m_2} \right) \end{align}
(84)
\begin{align} \theta = \sin^{-1} ( x \sin \psi ) + \psi \end{align}

9.10. 러더퍼드 산란공식

정전기장(쿨롱장) 속에서의 대전입자의 산란의 경우 퍼텐셜은

(85)
\begin{align} U(r) = {k \over r} \end{align}
(86)
\begin{align} \Theta & = \int_{r_\mathrm{min}}^\infty {{(b/r) dr} \over \sqrt{r^2 - ( k / T'_0 ) r - b^2}} \\ \cos \Theta & = {{(\kappa / b)} \over \sqrt{1 + (\kappa/b)^2 }} \qquad \left( \kappa \equiv {k \over {2T'_0 }} \right) \end{align}
(87)
\begin{align} \sigma ( \theta) = {{k^2 } \over {(4T'_0)^2}} \cdot {1 \over {\sin^4 (\theta/2)}} \end{align}

러더퍼드 산란공식의 의미:

  • 질량중심계에서의 산란단면적이 $\sin ( \theta /2 )$의 네제곱에 반비례함
  • $\sigma ( \theta )$$k$의 부호에 무관하므로 산란분포의 모양은 인력의 경우에나 척력의 경우에나 동일

9.11. 로켓의 운동