8. 중심력에 의한 운동

8.1 서론

이번 장에서 기본적으로 다룰 내용: 2-body system을 뉴턴역학적 개념으로 접근 (케플러 법칙의 뉴턴적 재해석)

무게중심 개념 도입

  • 무게중심이란 2-body를 1-body 형태로 바꾸는 것 (무게중심에 가상의 입자가 존재하는 것처럼 해석)
  • 상대적 정보(두 물체 사이의 관계, 거리 등)
  • 1체에서는 상대성을 생각할 필요가 없음 → 2체를 간략화하는 과정에서 상대성 개념이 등장

2체문제의 예시: 천체의 움직임, 수소 원자(양자론 전기 시대)

8.2 환산 질량

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(1)
\begin{align} \vec{r} = \vec{r}_1 - \vec{r}_2 \end{align}
(2)
\begin{align} \mathcal{L} = {1 \over 2} m_1 \left\lvert \dot{\vec{r}}_1 \right\rvert + {1 \over 2} m_2 \left\lvert \dot{\vec{r}}_2 \right\rvert - U(r) \end{align}

좌표의 원점을 무게중심으로 취하면 좌표계가 다음과 같이 변한다.

8-1-b.png
(3)
\begin{align} m_1 \vec{r}_1 + m_2 \vec{r}_2 = 0 \end{align}

식 (1)과 식 (3)을 조합하면

(4)
\begin{cases} \vec{r}_1 & = {{m_2} \over {m_1 + m_2}} \vec{r} \\ \vec{r}_2 & = - {{m_1} \over {m_1 + m_2}} \vec{r} \end{cases}

이것을 식 (2) 라그랑지안에 대입하면

(5)
\begin{align} L = {1 \over 2} \mu \left\lvert \dot{\vec{r}} \right\rvert^2 - U(r) \end{align}

이라는 가상의 계가 만들어진다. 여기서 $\mu$환산질량(reduced mass)이다.

(6)
\begin{align} \mu \equiv {{ m_1 m_2} \over {m_1 + m_2}} \end{align}

즉 2체문제가 형식적으로 등가 1체문제로 변하고, 중심력장 $U(r)$ 속에서 운동하는 질량 $\mu$인 입자의 운동을 보면 된다.

거리, 퍼텐셜 따위의 상대적 변량으로만 문제가 해석된다. 이때 그 상대적 변량의 기준점이 되는 것이 무게중심

8.3 보존 법칙: 운동의 제1적분

위치에너지는 힘의 중심과 입자 사이의 거리에만 유관하고 방향과는 무관하므로 구대칭성을 갖는다. 즉, 입자의 운동방정식은 힘의 중심을 지나는 어떤 고정축을 축으로 회전해도 변하지 않는다. 7.9절에서 밝힌 바, 이러한 조건에서 계의 각운동량은 보존된다.

(7)
\begin{align} \vec{L} = \vec{r} \times \vec{p} = \mathrm{const.} \end{align}
8-2.png

즉슨 입자의 위치벡터 $\vec{r}$과 선운동량벡터 $\vec{p}$는 고정된(보존되는) 각운동량벡터 $\vec{L}$에 수직한 평면상에 존재한다. 하여 문제는 2차원 문제가 되고 라그랑지안을 극좌표로 나타내면

(8)
\begin{align} L = {1 \over 2} \mu ( \dot{r}^2 + r^2 \dot{\theta}^2 ) - U(r), \qquad \mu = {{m_1 m_2} \over {m_1 + m_2}} \end{align}

이 라그랑지안은 $\theta$에 관해 주기적이므로 $\theta$에 공역인 각운동량은 보존된다.

(9)
\begin{align} \dot{p}_\theta & = {{\partial L} \over {\partial \theta}} = 0 = {{d} \over {dt}} {{\partial L} \over {\partial \dot{\theta} }} \\ p_\theta & = {{\partial L} \over {\partial \dot{\theta} }} = \mu r^2 \dot{\theta} = \mathrm{const.} \end{align}

즉 계의 대칭성으로부터 운동방정식 중 하나는 곧 적분할 수가 있어서 $p_\theta$운동의 제1적분이 되고 그 상수값을 $l$로 나타낸다.

(10)
\begin{align} l \equiv \mu r^2 \dot{\theta} = \mathrm{const.} \end{align}

케플러 제2법칙. 면적속도 일정의 법칙

8-3.png

궤도 $\vec{r} (t)$를 그릴 때 반지름 벡터가 시간 $dt$ 사이에 휩쓸고 지나가는 $dA$가 면적속도이므로

(11)
\begin{align} dA = {1 \over 2} r^2 {d \theta}, \end{align}
(12)
\begin{align} {{dA} \over {dt}} = {1 \over 2} r^2 {{d \theta} \over {dt}} = {1 \over 2} r^2 \dot{\theta} = {1 \over 2} r^2 \left( {{l} \over {mr^2}} \right) = {{l} \over {2m}} = \mathrm{const.} \end{align}

즉 면적속도가 일정하다. 이것이 바로 케플러 제2법칙이다. 면적속도 보존은 행성운동 같은 역제곱 힘이 작용할 때 뿐 아니라 중심력에 의한 운동의 일반적인 결과이다.

각운동량이 일정하다 : 각속도 따위 여러 변수를 각운동량으로 변환시켜 계산할 수 있게 함
역학적 에너지 보존을 생각해 보면 다음을 얻게 된다.

(13)
\begin{align} E & = T + U = \mathrm{cosnt.} \\ E & = {1 \over 2} \mu \dot{r}^2 + {1 \over 2} \mu r^2 \dot{\theta}^2 + U(r) \\ & = {1 \over 2} \mu \dot{r}^2 + {{l^2} \over {2 \mu r^2}} + U(r) \end{align}

8.4 운동 방정식

위치에너지 $U(r)$이 주어지면 계는 식 (13)에 의해 완전히 기술되고, 방정식의 적분은 매개변수 $E$$l$로 표현되어 일반해가 된다. 식 (13)을 $\dot{r}$에 대해 풀면

(14)
\begin{align} \dot{r} = {{dr} \over {dt}} = \pm \sqrt{ {2 \over \mu} (E-U) - {{l^2} \over {\mu^2 r^2}} } \end{align}
(15)
\begin{align} d \theta = {{ d \theta} \over {dt}} {{dt} \over {dr}} d r = {{\theta} \over {\dot{r}}} dr \end{align}

여기에 식 (10) $\dot{\theta} = l / \mu r^2$과 식 (14)의 $\dot{r}$을 대입하고 적분하면

(16)
\begin{align} d \theta = {{l / \mu r^2} \over {\pm \sqrt{{2 \over \mu}(E-U){l^2 \over {\mu r^2}}} }} dr \end{align}
(17)
\begin{align} \implies \theta (r) = \int {{ \pm (l / r^2) dr} \over {\sqrt{2 \mu \left( E-U - {{l^2} \over {2 \mu r^2}} \right) }}} \end{align}

$l$이 시간에 대해 일정하므로 $\dot{\theta}$$\theta$의 기울기의 부호는 변하지 않고, $\theta (t)$는 시간과 함께 단조로이 증가한다.

이렇게 에너지와 각운동량 보존을 조합하여 궤도방정식 $\theta = \theta(r)$을 구하였다. 이 문제를 $r$ 좌표로 쓴 라그랑주 방정식은

(18)
\begin{align} {{\partial L} \over {\partial r}} - {d \over {dt}} {{\partial L} \over {\partial \dot{r} }} = 0 \end{align}

식 (8)의 라그랑지안을 쓰면 방정식은

(19)
\begin{align} \mu (\ddot{r} - r \dot{\theta}^2 ) = - {{\partial U} \over {\partial r}} = F(r) \end{align}

이 된다. 이때 계산의 편리를 위해 이하 변수변환을 사용한다.

(20)
\begin{align} u \equiv {1 \over r} \end{align}
(21)
\begin{align} {{du} \over {d \theta}} = - {1 \over {r^2}} {{dr} \over {d \theta}} = - {1 \over {r^2}} {{dr} \over {dt}} {{dt} \over {d \theta}} = - {1 \over r^2} {{\dot{r}} \over {\dot{\theta}}} \end{align}

식 (10)으로부터 $\dot{\theta} = l / \mu r^2$이므로 다음과 같이 쓸 수 있다.

(22)
\begin{align} {{du} \over {d \theta}} = - { \mu \over l} \dot{r} \end{align}

또한 이계도함수에 대해서도 마찬가지로 $\dot{\theta} = l / \mu r^2$를 대입하면

(23)
\begin{align} {{d^2 u} \over {d \theta^2}} = {d \over {d \theta}} \left( - {\mu \over l} \dot{r} \right) = {{dt} \over {d \theta}} {{d} \over{dt}} \left( - {\mu \over l} \dot{r} \right) = - {{\mu} \over {l \dot{\theta}}} \ddot{r} \end{align}
(24)
\begin{align} {{d^2 u} \over {d \theta^2}} = - {{\mu^2} \over {l^2}} r^2 \ddot{r} \end{align}

그러므로 $\ddot{r}$$r \dot{\theta}$$u$로 나타낼 수 있다.

(25)
\begin{cases} \ddot{r} (u) & = - {{l^2} \over {\mu^2}} u^2 {{d^2 u} \over {d \theta^2}} \\ r \dot{\theta}^2 (u) & = {{l^2} \over {\mu^2}} u^3 \end{cases}

그리고 이것을 이제 식 (19)에 대입하면 변환된 운동방정식을 얻는다.

(26)
\begin{align} {{d^2 u} \over {d \theta^2}} + u = - {\mu \over {l^2}} {1 \over u^2} F(1/u) \end{align}

이것을 $r = 1/u$에 대한 식으로 고쳐 쓰면

(27)
\begin{align} {{d^2} \over {d \theta^2}} \left( {1 \over r} \right) = - {{ \mu r^2 } \over {l^2 }} F(r) \end{align}

이 형태의 운동방정식은 궤도 $r = r( \theta)$를 알고 있을 때 그 궤도를 유도하는 힘을 구할 때 유용하다.

8.5 중심력장 속에서의 궤도

중심력장 속을 운동하는 입자의 반경 속도 $\dot{r}$는 식 (14)와 같이 주어지는데, 이때 근기호 속에 있는 식이 0가 될 때 $\dot{r} = 0$이다. 즉

(28)
\begin{align} E - U(r) - {{l^2} \over {2 \mu r^2}} = 0 \end{align}

을 만족시키는 $r$점에서 $\dot{r}$은 0이 된다.

$\dot{r} = 0$이라는 것은 입자가 전환점에 도달했다는 뜻인데, 식 (28)은 일반적으로 두 근 $r_\mathrm{max}, r_\mathrm{min}$을 가지므로 입자의 운동은 $r_\mathrm{min} \le r \le r_\mathrm{max}$ 로 정해진 고리 모양 영역에 제한된다. 퍼텐셜 $U(r)$, 매개변수 $E, l$이 적절한 조합을 이루면 식 (28)이 유일한 근을 갖게 되는데, 이 경우 시간이 흘러도 $\dot{r} = 0$이므로 $r$이 일정해진다(i.e. 궤도가 원이 된다).

퍼텐셜 $U(r)$ 속에서 입자의 운동이 주기적이면 궤도는 닫힌다. 즉 입자는 $r_\mathrm{min}$$r_\mathrm{max}$ 사이에서 유한한 횟수를 왕복하고, 그 후 그 운동을 반복한다.
유한 횟수 왕복한 후에 궤도가 닫히지 않았을 경우 그 궤도는 열려 있다고 한다.

$r$$r_\mathrm{min} \rightarrow r_\mathrm{max} \rightarrow r_\mathrm{min}$으로 한 번 완전히 왕복했을 때 각 $\theta$의 변화는 다음과 같이 쓸 수 있다.

(29)
\begin{align} \Delta \theta = 2 \int_{r_\mathrm{min}}^{r_\mathrm{max}} {{ (1 /r^2 ) dr} \over \sqrt{ 2 \mu \left( E - U - {{l^2} \over {2 \mu r^2}} \right) }} \end{align}

이다. 이는 운동이 시간에 대해 대칭이므로 $r_\mathrm{min} \rightarrow r_\mathrm{max}$에 대해서만 계산한 뒤 두 배를 한 것이다.

이때 $\Delta \theta$$2 \pi$의 유리수 배이면 궤도는 닫힌다.

(30)
\begin{align} \Delta \theta = 2 \pi { a \over b} \end{align}

일 때, 이는 $b$주기 후에 입자의 반경벡터가 $a$번 순회하여 원래 위치로 돌아옴을 의미한다.

8.6 원심력 에너지와 유효 퍼텐셜

지금까지 유도된 $\dot{r}, \Delta \theta$ 등에서는 공통적으로 근기호항

(31)
\begin{align} \sqrt{E-U-{{l^2 } \over {2 \mu r^2}}} \end{align}

이 나타난다. 근기호 속의 마지막 항 $l^2 / 2 \mu r^2$은 에너지 차원을 가지고 있다. 이를 식 (10)을 이용해 나타내면

(32)
\begin{align} {{l^2} \over {2 \mu r^2}} = {1 \over 2} \mu r^2 \dot{\theta}^2 \end{align}

이다 이것을 위치에너지로 해석하면

(33)
\begin{align} U_c \equiv {{l^2} \over {2 \mu r^2}} \end{align}

그리고 에너지의 미분이 힘이므로

(34)
\begin{align} \vec{F}_c & = - \vec{\nabla} U_c - {{\partial U_c} \over {\partial r}} = {{l^2} \over {\mu r^3}} \\ & = \mu r \dot{\theta}^2 \end{align}

이다. 이것은 보통 의미에서의 힘이 아님에도 불구하고 예로부터 힘처럼 취급해 왔는데 다름아닌 원심력(centrifugal force)이다.
이와 같이 $l^2 / 2 \mu r^2$의 항은 입자의 원심력의 퍼텐셜 에너지로 해석할 수 있다. 하여 실질 퍼텐셜 $U(r)$에 중심 주위의 회전운동에 따르는(원심력의) 에너지를 합하면

(35)
\begin{align} V(r) = U(r) + {{l^2} \over {2 \mu r^2}} \end{align}

이 되고, $V(r)$유효 퍼텐셜(effective potantial)이라고 한다.

역제곱 법칙을 따르는 중심력 운동의 경우 $F(r) = - k / r^2$ 이므로

(36)
\begin{align} V(r) =& - \int F(r) dr + {{l^2} \over {2 \mu r^2}} \\ & = - {k \over r} + {{l^2} \over {2 \mu r^2}} \end{align}

이 중력에 대한 유효 퍼텐셜로 나오게 된다.

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  • $E_1 \ge 0$
    • 총 에너지가 양 또는 제로
    • 비속박 운동. 입자는 무한히 먼 곳에서 힘의 중심($r=0$)을 향해 날아와 전환점 $r = r_1$에서 퍼텐셜 벽에 충돌한 후 다시 무한대의 $r$쪽으로 날아가 버린다.
  • $E_2$
    • 총 에너지가 음으로 $0$$V(r)$의 최소값 사이
    • $r_2 \le r \le r_4$ 범위에서 속박운동
    • 이때 $r_2, r_4$는 궤도의 전환점이고 또한 장축단 거리(apsidal distance)이다.
  • $E_3$
    • $E$$V(r)$의 최소값에 항상 제한될 때
    • 언제나 $\dot{r} = 0$, 즉 원운동
  • $E < V_\mathrm{min}$
    • 이럴 경우 $\dot{r}^2 < 0$이 되며, 속도가 허수가 된다. 때문에 이러한 경우는 물리적으로 가능한 실제 운동에 나타나지 않는다.

8.7 행성의 운동: 케플러의 문제

케플러 제1법칙. 타원궤도의 법칙.

(37)
\begin{align} \vec{F} = ma & = -G {{Mm} \over {\vec{r}^2}} \\ & = {{d^2 \vec{r}} \over {dt^2}} - \vec{r} \omega^2 \\ \vec{F} & = mr \omega^2 = {{mv^2} \over \vec{r}} \qquad \left( \omega = {{d \theta} \over {dt}} \right) \end{align}

만유인력을 구심력으로.

(38)
\begin{align} \vec{L} & = m \vec{r}^2 \omega \\ \omega & = {\vec{L} \over {m \left\lvert r \right\rvert^2}} \\ \vec{L} & = \vec{r} \times \vec{p} = \mathrm{const.} \quad (각운동량보존) \end{align}
(39)
\begin{align} {{d^2 \vec{r}} \over {d t^2}} = - {{GM} \over {r^2}} + r \left( {L \over {mv^2}} \right)^2 \end{align}
(40)
\begin{align} L = m r^2 {{d \theta} \over {dt}} \implies {{d} \over {dt}} & = {{L} \over {m r^2}} {{d} \over {d \theta}}, \\ & = {{L u^2} \over {m}} {{d} \over {d \theta}} \qquad \left( {1 \over r} \equiv u \right) \end{align}

변수를 $u \equiv l/r$로 변환하여 적분을 계산할 수 있다.

(41)
\begin{align} {{dr} \over {Dt}} = {{d} \over {dt}} \left( {1 \over u} \right) = - {1 \over u^2} {{du} \over {dt}} = - {L \over m} {{du} \over {d \theta}} \end{align}

이를 통해 식 (39)를 다시 쓰면

(42)
\begin{align} - {{L^2 u^2} \over {m^2}} {{d^2 u} \over {d \theta^2}} & = - {{GM} \over {r^2}} + r \left( {{L} \over {mr^2}} \right)^2 \\ & = - GM u^2 + {{L^2} \over {m^2}} u^3 \end{align}
(43)
\begin{align} \implies & {{d^2 u } \over {d \theta^2}} + u = {{GMm^2} \over {L^2}} \implies {1 \over r} = {{GMm^2} \over {L^2}} + A \cos \theta \\ \implies & {\alpha \over r} = 1 +\epsilon \cos \theta. \qquad \left( \alpha = {{L^2} \over {GMm^2}}, \quad \epsilon \equiv {{AL^2} \over {GMm}} \right) \end{align}

이는 원점을 초점으로 하는 원뿔곡선의 방정식이다. 이때 $\epsilon$이심률(eccentricticy)이고 $2 \alpha$는 궤도의 적현(Latus rectum)이다.

(44)
\begin{cases} \alpha & = {{L^2} \over {GMm^2}} & = {{l^2} \over {\mu k}} \\ \epsilon & = {{AL^2} \over {GMm}} & = \sqrt{1 + {{2El^2} \over {\mu k^2}}} \end{cases}

원뿔곡선은 이심률(또한 에너지) 값에 따라 다음과 같이 분류된다.

(45)
\begin{cases} \epsilon > 1, & E > 0 & \quad 쌍곡선 \\ \epsilon = 1, & E = 0 & \quad 포물선 \\ 0 < \epsilon < 1, & V_\mathrm{min} < E < 0 & \quad 타원 \\ \epsilon = 0, & E = V_\mathrm{min} & \quad 원 \end{cases}

식 (40)에서 $r$의 최소값은 $\cos \theta$가 최대일 때, 즉 $theta = 0$일 때 나타나므로 식 (37)에서 적분상수를 제로로 한 것은 $\theta$$r_\mathrm{min}$에서 측정하는 것에 대응한다.
두 전환점 $r_\mathrm{min}$, $r_\mathrm{max}$은 각각 근점(pericenter)과 원점(apocenter)에 대응한다.
전환점을 일반적으로 장축단(apsis)이라고 한다. 태양중심운동에서 장축단은 근일점과 원일점, 지구중심운동에서 장축단은 근지점과 원지점이 된다.

행성운동일 경우, 궤도의 장반경과 단반경은 다음과 같이 주어진다.

(46)
\begin{align} a & = {{\alpha } \over {1 - \epsilon^2 }} = {{k} \over {2 \left\lvert E \right\rvert }}, \\ b & = {{\alpha} \over \sqrt{1 - \epsilon^2}} = {{l} \over \sqrt{2 \mu \left\lvert E \right\rvert }} \end{align}

케플러 제3법칙. 조화의 법칙

타원의 전체 면적 $A$가 이루어지는 한 주기를 $\tau$라 하자.
제2법칙에서 얻었던 식 (12)의 양변을 적분하면

(47)
\begin{align} dt & = {{2 \mu } \over l} dA \\ \tau = \int_0^t dt & = {{2m} \over {l}} \int_0^A dA \\ & = {{2 \mu} \over l} A \end{align}

그리고 $A = \pi ab$(타원의 면적)이므로

(48)
\begin{align} \implies & \tau = {{2m} \over {l}} \pi ab \\ \implies & \tau^2 = {{4 \pi^2} \over {GM}} a^3 \implies \tau^2 \propto \alpha^3 \end{align}

즉 주기의 제곱은 장반경의 3승에 비례한다.

8.8 궤도역학

8-10.png
(49)
\begin{align} E = -{{k} \over {2 r_1}} = {1 \over 2} m {v_1}^2 - {k \over {r_1}} \end{align}
(50)
\begin{align} v_1 = \sqrt{k \over {m r_1}} \end{align}
(51)
\begin{equation} 2a_t = r_1 + r_2 \end{equation}
(52)
\begin{align} E_t = {{-k} \over {r_1 + r_2}} = {1 \over 2} m {v_t}^2 - {k \over r_1} \end{align}
(53)
\begin{cases} \Delta v_i & = v_{t1} - v_1 \\ \Delta v_f & = v_2 - v_{t2} \end{cases}
(54)
\begin{align} v_t = \sqrt{{{2k} \over {mr_1}} \left( {{r_2} \over {r_1 + r_2}} \right) } \end{align}

8.9 장축단각과 세차

8.10 원궤도의 안정성