07. 라그랑주역학 및 해밀턴역학

7.1 서론

  • 뉴턴역학의 일반화 과정에서 성립된 해밀턴 원리(Hamilton's principle)
  • 그 원리를 써서 얻어지는 운동방정식이 라그랑주 방정식(Lagrange's equation)

7.2 해밀턴의 원리

역학계가 어떤 특정 시간 안에 어떤 구속을 받으면서 한 점에서 다른 점으로 이동할 때 지나가는 모든 가능한 경로 가운데, 실제로 계가 지나가는 경로는 운동 에너지와 위치 에너지 차이의 시간 적분이 최소가 되는 경로이다.

이를 변분법적으로 표현하면

(1)
\begin{align} \delta \int_{t_1}^{t_2} (T - U) dt = 0 = \delta \int_{t_1}^{t_2} L (x_i, \dot{x}_i ) dt \end{align}
(2)
\begin{align} \left( x \longrightarrow t \\ y_i (x) \longrightarrow x_i (t) \\ \dot{y}_i (x) \longrightarrow \dot{x}_i (t) \right) \end{align}
(3)
\begin{align} {{\partial L} \over {\partial x_i }} - {{d} \over {dt}} {{\partial L} \over {\partial \dot{x}_i}} = 0, \quad i = 1, 2, 3 \end{align}

이것이 입자에 대한 라그랑주 운동방정식이며, 이때 $L$을 라그랑주 함수라고 부른다.

e.g. 1차원 조화진동자에 대한 라그랑주 운동방정식

(4)
\begin{align} T & = {1 \over 2} m \dot{x}^2 & \\ U & = {1 \over 2} k x^2 & \\ L & = T-U = {1 \over 2}m \dot{x}^2 - {1 \over 2}k x^2 \\ {{\partial L} \over {\partial x}} & = - kx \\ {{\partial L} \over {\partial \dot{x}}} & = m \dot{x} \\ {{d} \over {dt}}{{\partial L} \over {\partial \ddot{x}}} & = m \ddot{x} \end{align}

7.3 일반화 좌표

$n$개의 점입자의 모임으로, 그 중 일부는 강체를 형성하는 역학계를 가정.
이 계의 상태를 정할 때는 $n$개의 위치벡터가 사용되어야 한다. 위치벡터는 세 개의 직교좌표를 가지므로 입자 전부의 위치를 정하는 데 필요한 양(퀀티티)은 $3n$이다.
이 중 몇 개의 입자에 다른 존재와 관계되는 구속조건이 있으면 그 입자들의 $3n$개의 모든 좌표는 독립이 아니다. $m$개의 구속조건식이 있고 $3n - m$개의 입자가 독립일 때, $3n - m$ 을 그 계의 자유도라고 한다.

계의 상태를 완전하게 정하기 위한 $s$개의 좌표는 어떠한 차원의 것이어도 상관없다. 즉 에너지, 길이제곱, 무차원 매개변수 등이 사용 가능. 이와 같이 계의 상태를 완전히 결정하는 한 조의 양을 일반화 좌표라 하며 $q_1, \cdots , q_j$ 로 쓴다. 마찬가지로 시간미분으로 이루어진 $\dot{q}_j$일반화 속도라고 한다.

직교좌표 $x_{a,i}$와 일반화 좌표 $q_j$를 연결하는 방정식이 시간을 직접적으로 포함한 경우 그 조의 변환방정식은

(5)
\begin{align} x_{a, i} & = x_{a, i} ( q_1, \cdots, q_s , t ), \begin{cases} \alpha & = 1, 2, \cdots, n \\ i & = 1, 2, 3 \end{cases} \\ & = x_{a, i} (q_j , t), \qquad j = 1, 2, \cdots, s \\ \dot{x}_{a, i} & = \dot{x}_{a, i} ( q_j , \dot{q}_j , t) \end{align}

그 역변환은

(6)
\begin{align} q_j & = q_j( x_{a, i} , t) \\ \dot{q}_j & = \dot{q}_j ( x_{a, i} , \dot{x}_{a, i} , t) \end{align}

그리고 구속조건식은

(7)
\begin{align} f_k (x_{a, i} , t) = 0, \qquad k = 1, 2, \cdots, m = 3n - s \end{align}

예제 7.2:

(8)
\begin{align} T & = {1 \over 2} m (\dot{x}^2 + \dot{y}^2) \\ U & = mgy \\ & \quad x = l \sin \theta \\ & \quad y = - l \cos \theta \\ L & = T - U = {1 \over 2} m (\dot{x}^2 + \dot{y}^2) -mgy \\ & = {1 \over 2} m l^2 ( \dot{\theta}^2 \cos^2 \theta + \dot{\theta}^2 \sin^2 \theta ) \\ & = {1 \over 2} m l^2 \dot{\theta}^2 \end{align}

이것을 직교좌표처럼 생각하면 운동방정식은

(9)
\begin{align} {{\partial L} \over {\partial \theta}} & = - mgl \sin \theta \\ {d \over {dt}} \left( {{\partial L } \over {\partial \dot{\theta}}} \right) & = m l^2 \dot{\theta} \end{align}

이것을 라그랑주 운동방정식에 대입하면

(10)
\begin{align} ml \ddot{\theta} + mgl \sin \theta & = 0 \\ \ddot{\theta} + {g \over l} \sin \theta & = 0 \end{align}

7.4 일반화 좌표로 나타낸 라그랑주의 운동 방정식

해밀턴 원리

(11)
\begin{align} \delta \int_{t_1}^{t_2} L ( q_j, \dot{q}_j, t) dt = 0 \end{align}

일반화된 라그랑주 방정식(오일러-라그랑주 방정식)

(12)
\begin{align} {{\partial L} \over {\partial q_j}} - {d \over {dt}} {{\partial L} \over {\partial \dot{q}_j}} = 0 \end{align}

예제 7.3
2차원에서 중력의 영향을 받고 운동하는 탄환을 생각한다.

1. 직교좌표계에서의 운동방정식.

(13)
\begin{align} T & = {1 \over 2} m (\dot{x}^2 + \dot{y}^2 ) \\ U & = mgu \\ L & = {1 \over 2} m (\dot{x}^2 + \dot{y}^2 ) - mgy \end{align}

$x:$

(14)
\begin{align} {{\partial L } \over {\partial x}} - {d \over {dt}} {{\partial L} \over {\partial \dot{x}}} & = 0 \\ 0 - {d \over {dt}} m \dot{x} & = 0 \\ \ddot{x} & = 0 \end{align}

$y:$

(15)
\begin{align} {{\partial L} \over {\partial y}} - {d \over {dt}} {{\partial L} \over {\partial \dot{y}}} & = 0 \\ -mg - {d \over {dt}} (m \dot{y} ) & = 0 \\ \ddot{y} & = -g \end{align}

초기조건을 사용해 식 (14), (15)를 적분하면

(16)
\begin{align} T & = {1 \over 2} m \dot{r}^2 + {1 \over 2} m (r \dot{\theta} ) = 0 \\ U & = mgr \sin \theta \end{align}

2. 극좌표계에서

예제 7.4:

figure-7-2.png
(17)
\begin{align} tm \alpha = {r \over z}, \qquad z = r \cot \alpha \end{align}

원기둥좌표계를 사용

(18)
\begin{align} v^2 & = \dot{r}^2 + r^2 \dot{\theta}^2 + \dot{z}^2 \\ & = \dot{r}^2 + r^2 \dot{\theta}^2 + r^2 \cot^2 \alpha \\ & = \dot{r}^2 \operatorname{csc}^2 \alpha + r^2 \dot{\theta}^2 \end{align}

위치에너지는 $U(z = 0) = 0$ 을 가정하면

(19)
\begin{align} U & = mgz = mgr \cot \alpha \end{align}

라그랑지안은

(20)
\begin{align} L = {1 \over 2} m ( \dot{r}^2 \operatorname{csc}^2 \alpha + r^2 \dot{\theta}^2 ) - mgr \cot \alpha \end{align}

$L$$\theta$가 포함되어있지 않은 고로 $\partial L / \partial \theta = 0,$
$\theta$에 대한 라그랑주 방정식은

(21)
\begin{align} {d \over {dt}} {{\partial L} \over {\partial \dot{\theta}}} = 0 \end{align}
(22)
\begin{align} {{\partial L} \over {\partial \dot{\theta}}} = mr^2 \dot{\theta} = \mathrm{const.} \end{align}

$r$에 대한 라그랑주 방정식은

(23)
\begin{align} {1 \over 2} m v^2 \cdot {{\partial L} \over {\partial r}} - {{d} \over {dt}} {{\partial L} \over {\partial \dot{r}}} = r - r \dot{\theta}^2 \sin^2 \alpha + g \sin \alpha \cos \alpha = 0 \end{align}
(24)
\begin{align} {{\partial L} \over {\partial r}} & = mr \theta^2 - mg \cot \alpha \\ {{\partial L} \over {\partial \dot{r}}} & = mr \operatorname{csc}^2 \alpha \end{align}

예제 7.5:

d-7-3.png

원환의 중심에 좌표원점을 잡으면 질량 $m$의 위치 및 속도, 가속도는

(25)
\begin{cases} x & = a \cos \omega t +b \sin \theta \\ y & = a \sin \omega t - b \cos \theta \end{cases}
(26)
\begin{cases} \dot{x} & = - a \omega \sin \omega t +b \dot{\theta} \cos \theta \\ \dot{y} & = a \omega \cos \omega t + b \dot{\theta} \sin \theta \end{cases}
(27)
\begin{cases} \ddot{x} & = - a \omega^2 \cos \omega t +b ( \ddot{\theta} \cos \theta - \dot{\theta}^2 \sin \theta ) \\ \ddot{y} & = - a \omega^2 \sin \omega t + b ( \ddot{\theta} \sin \theta + \dot{\theta}^2 \cos \theta ) \end{cases}

운동에너지와 위치 에너지는

(28)
\begin{cases} T & = {1 \over 2} m ( \dot{x}^2 + \dot{y}^2 ) \\ U & = mgy \end{cases}

여기서 위치에너지의 기준점은 $y=0$이다. ($U(y=0)=0$) 라그랑지안은

(29)
\begin{align} L = T - U = & {m \over 2} \left[ a^2 \omega^2 + b^2 \dot{\theta}^2 + 2 b \dot{\theta} a \omega \sin ( \theta - \omega t) \right] \\ & - mg ( a \sin \omega t - b \cos \theta ) \end{align}

$\theta$에 관한 라그랑주 운동방정식은

(30)
\begin{align} {d \over {dt}} {{ \partial L} \over {\partial \dot{\theta}}} & = m b^2 \ddot{\theta} + m ba \omega ( \dot{\theta} - \omega ) \cos ( \theta - \omega t) \\ {{\partial L} \over {\partial \theta}} & = m b \dot{\theta} a \omega \cos (\theta - \omega t ) - mgb \sin \theta \end{align}

이것을 가속도에 대해 풀면

(31)
\begin{align} \ddot{\theta} = {{\omega^2 a} \over b} \cos ( \theta - \omega t) - {g \over b} \sin \theta \end{align}

$\omega = 0$, i.e. 진자의 고정점이 회전하지 않을 때 = 단진자의 운동방정식이 된다.

(32)
\begin{align} \ddot{\theta} = - {g \over b} \sin \theta \end{align}

예제 7.6:

d-7-4.png
(33)
\begin{cases} x & = v_0 t + {! \over 2} a t^2 + \ell \sin \theta \\ y & = - \ell \cos \theta \\ \end{cases} \begin{cases} \dot{x} & = v_0 + at +\ell \dot{\theta} \cos \theta \\ \dot{y} & = \ell \dot{\theta} \sin \theta \end{cases}

에너지는

(34)
\begin{cases} T & = {1 \over 2} m ( \dot{x}^2 + \dot{y}^2 ) \\ U & = - mg \ell \cos \theta \end{cases}

라그랑지안은

(35)
\begin{align} L = T - U = & {1 \over 2} m ( v_0 + at + \ell \dot{\theta} \cos \theta )^2 \\ & + {1 \over 2} m ( \ell \dot{\theta} \sin \theta )^2 + mg \ell \cos \theta \end{align}
(36)
\begin{align} {{\partial L} \over {\partial \theta}} & = m \ell^2 \dot{\theta} + m ( v_0 + at) \ell \cos \theta \\ {d \over {dt}} \left( {{\partial L} \over {\partial \theta}} \right) & = m \ell^2 \ddot{\theta} - m ( v_0 + at) \ell \dot{\theta} \sin \theta \end{align}
(37)
\begin{align} \ddot{\theta} = - {g \over \ell} - \sin \theta {a \over \ell} \cos \theta \end{align}

$\ddot{\theta} = 0$일 때가 평형각 $\theta = \theta_e$

(38)
\begin{align} 0 = g \sin \theta_e + a \cos \theta_e \end{align}
(39)
\begin{align} \tan \theta_e = - {a \over g} \end{align}

진동이 작고 평형각 주변에서만 진동한다면 $\theta = \theta_e + \eta$ 로 놓을 수 있다.

(40)
\begin{align} \ddot{\theta} = \ddot{\eta} = - {g \over \ell} \sin ( \theta_e + \eta) - {a \over \ell} \cos ( \theta_e + \eta) \end{align}

삼각함수항을 전개하고 미소항 근사를 이용하면 테일러 급수 전개에서

(41)
\begin{align} \ddot{\eta} & = - {g \over \ell} ( \sin \theta_e \cos \eta + \cos \theta_e \sin \eta) - {a \over \ell} ( \cos \theta_e \cos \eta - \sin \theta_e \sin \eta ) \\ & = - {g \over \ell} ( \sin \theta_e + \eta \cos \theta_e ) - {a \over \ell} ( \cos \theta_e - \eta \sin \theta_e ) \\ & = - {1 \over \ell} \left[ ( g \sin \theta_e + a \cos \theta_e ) + \eta (g \cos \theta_e - a \sin \theta_e ) \right] \end{align}

평형각의 정의로부터 마지막 줄의 제1항은 0이 된다.

(42)
\begin{align} \therefore\ \ddot{eta} & = - {1 \over \ell} ( g \cos \theta_e - a \sin \theta_e ) \eta \\ & = - { \sqrt{a^2 + g^2} \over \ell} \eta \end{align}

이 식은 이제 단일조화운동을 나타내고 있으므로 각진동수는

(43)
\begin{align} \omega^2 = {\sqrt{ a^2 + g^2} \over \ell} \end{align}

열차가 정지된다 i.e. $\vec{a} = 0$일 때 $\omega= \sqrt{g/ \ell }$이므로 위 결과는 확실하다.

7.5 미정계수를 포함하는 라그랑주 방정식

좌표 사이의 대수 관계식으로 나타내는 구속을 홀로노믹 구속이라고 한다. 계가 이와 같은 구속만을 받는 경우에는 운동방정식이 조건에 영향받지 않을 고유 일반화 좌표계를 반드시 찾아낼 수 있다.
또한 계를 구성하는 입자의 속도를 포함한 구속조건은

(44)
\begin{align} f (x_{\alpha, i}, \dot{x}_{\alpha, i}, t) = 0 \end{align}

의 형태이나, 이 중에서 적분을 할 수 있고 구속조건식이 좌표 사이의 관계식이 되는 것 외에는 비홀로노믹 구속이다.

다음과 같은 형태의 구속조건식을 생각하자.

(45)
\begin{align} \sum_i A_i \dot{x}_i + B = 0, \qquad i = 1, 2, 3 \end{align}

일반적으로 적분할 수 없으므로 비홀로노믹 구속인데, 만일 $A_i, B$가 각각

(46)
\begin{align} A_i = { {\partial f} \over {\partial x_i}}, \qquad B = {{\partial f} \over {\partial t}}, \qquad f = f(x_i , t) \end{align}

의 형태를 하고 있으면 구속조건식을 다음과 같이 쓸 수 있으므로

(47)
\begin{align} \sum_i {{\partial f} \over {\partial x_i}} {{d x_i} \over {dt}} + {{\partial f} \over {\partial t}} = 0 \end{align}
(48)
\begin{align} {{d f} \over {dt}} = 0 \end{align}

이 되고, 적분하면

(49)
\begin{align} f( x_i , t ) - \mathrm{const} = 0 \end{align}

이므로 이 구속은 홀로노믹 구속이다. 이 사례에서 우리는

(50)
\begin{align} \sum_j {{\partial f_k} \over {\partial q_j}} + {{\partial f_k} \over {\partial t}} dt = 0 \end{align}

과 같은 미분형으로 나타나는 구속은 식 (7) 형태의 구속조건식과 등가라고 결론지을 수 있다.

구속조건식을 대수식이 아니고 미분식으로 나타내는 경우, 적분하지 않고 라그랑주 미정계수(6.6절 참조) 를 써서 라그랑주 방정식에 직접 대입할 수 있다. 즉 다음과 같은 구속

(51)
\begin{align} \sum_j {{\partial f_k} \over {\partial q_j}} d q_j = 0 \begin{cases} j & = 1, 2, \cdots, s \\ k & = 1, 2, \cdots, m \end{cases} \end{align}

을 6장의 식 (18)에 대입하면 라그랑주 방정식은 다음과 같다.

(52)
\begin{align} {{\partial L} \over {\partial q_j}} - {{d} \over {dt}} {{\partial L} \over {\partial \dot{q}_j}} + \sum_k \lambda_k (t) {{\partial f_k} \over {\partial q_j}} = 0 \end{align}

라그랑주 형식은 구속력을 직접 포함하지 않아도 좋고, 계의 각 성분에 작용하는 힘보다 계 전체의 역학에 비중을 두기 때문에 유리하다. 그러나 때로 구속력을 구하고 싶어질 때는, 식 (33)에서 미정계수 $\lambda_k (t)$가 구속력이다. 일반화된 구속력 $Q$는 다음과 같다.

(53)
\begin{align} Q_j = \sum_k \lambda_k {{\partial f_k} \over {\partial q_j}} \end{align}

예제 7.9: 경사면을 굴러 내려오는 원판의 운동방정식, 구속력, 각가속도
운동에너지는 병진과 회전의 두 항으로 분리할 수 있다.

(54)
\begin{align} T & = {1 \over 2} M \dot{y}^2 + {1 \over 2} I \dot{\theta}^2 \\ & = {1 \over 2} M \dot{y}^2 + {1 \over 4} MR^2 \dot{\theta}^2 \end{align}

위치에너지는

(55)
\begin{align} U = Mg(l-y) \sin \alpha \end{align}

이나, $l$은 경사면의 길이이고, 경사면의 최저점에서 위치에너지가 0라고 하자. 그러면 라그랑지안은

(56)
\begin{align} L & = T - U \\ = {1 \over 2} M \dot{y}^2 + {1 \over 4} MR^2 \dot{\theta}^2 - Mg(l-y) \sin \alpha \end{align}

가 되고 구속조건식은 다음과 같다.

(57)
\begin{align} f(y, \theta) = y - R \theta = 0 \end{align}

원판이 미끄러지지 않고 구르는 경우 계의 자유도가 1이다. 이 경우 라그랑주 방정식은

(58)
\begin{cases} {{\partial L} \over {\partial y}} - {{d } \over {dt}} {{\partial L} \over {\partial \dot{y}}} + \lambda {{\partial f} \over {\partial y}} & = 0 \\ {{\partial L} \over {\partial \theta}} - {{d } \over {dt}} {{\partial L} \over {\partial \dot{\theta}}} + \lambda {{\partial f} \over {\partial \theta}} & = 0 \end{cases}

미분 연산하면

(59)
\begin{align} Mg \sin \alpha - M \ddot{y} + \lambda & = 0 \\ - {1 \over 2} M R^2 \ddot{\theta} - \lambda R & =0 \end{align}

또한 구속조건식에서

(60)
\begin{align} y = R \theta \end{align}

이상 세 식은 세 개의 미지의 양 $y, \theta, \lambda$ 로 된 풀 수 있는 계를 나타낸다. 우선 구속조건식을 미분하면

(61)
\begin{align} \ddot{\theta} = {\ddot{y} \over R} \end{align}

가 나오므로 이것을 식 (40)과 조합해서

(62)
\begin{align} \lambda = - {1 \over 2} M \ddot{y} \end{align}

을 얻으며, 이것을 식 (40)에 대입하면

(63)
\begin{align} \ddot{y} & = {{2g \sin \alpha} \over 3}, \\ \lambda & = - {{Mg \sin \alpha} \over 3} \end{align}

가 된다. 식 (40)에서

(64)
\begin{align} \ddot{\theta} = {{2g \sin \alpha} \over {3R}} \end{align}

을 얻어 $\ddot{y}, \ddot{\theta}, \lambda$에 대한 직접 적분할 수 있는 세 식을 얻는다.

한편, 원반이 경사면을 마찰 없이 미끄러져 내려올 경우에는 $\ddot{y} = g \sin{\alpha}$가 됨을 생각하면, 굴러가는 경우의 가속도는 미끄러지는 경우의 ⅔가 되고, 굴러가기 위한 마찰력의 크기는

(65)
\begin{align} \lambda = {{Mg} \over 3} \sin \alpha \end{align}

가 된다. 일반화된 구속력 식 (34)는

(66)
\begin{align} Q_y & = \lambda {{\partial f} \over {\partial y}} = \lambda = - {{Mg \sin \alpha } \over 3} \\ Q_\theta & = \lambda {{\partial f} \over {\partial \theta}} = - \lambda R = {{MgR \sin \alpha} \over 3} \end{align}

이때 $Q_y$는 힘이고, $Q_\theta$는 토크이다. 이것들이 바로 원판이 미끄러지지 않고 굴러내려오게 하는 일반화된 구속력이다.

구속조건식에서 얻은 $\dot{\theta} = \dot{y} / R$을 라그랑지안에 대입하면

(67)
\begin{align} L = {3 \over 4} M \dot{y}^2 + Mg (y - l) \sin \alpha \end{align}

와 같이 $\dot{\theta}$가 소거되어 라그랑지안이 유일한 고유 좌표로 나타내지고, 라그랑주 운동 방정식에 대입하면

(68)
\begin{align} Mg \sin \alpha - {3 \over 2} M \ddot{y} = 0 \end{align}

이는 식 (44)와 같고 훨씬 간단하지만 구속력을 구할 때는 쓸 수 없다.


예제 7.10: 질량 $m$인 입자가 반지름 $a$인 고정된 균일한 반구의 꼭대기에 정지되어 있다가 움직이기 시작할 때 구속력과 입자가 반구를 떠나는 각도 구하기

d-7-7.png

구속식은

(69)
\begin{align} f (r, \theta ) = r - a = 0 \end{align}

라그랑지안은

(70)
\begin{align} T & = {m \over 2} ( \dot{r}^2 + r^2 \dot{ \theta}^2 ) \\ U & = mgr \cos \theta \\ L & = T - U = {m \over 2} ( \dot{r}^2 + r^2 \dot{ \theta}^2 ) - mgr \cos \theta \end{align}

라그랑주 방정식은

(71)
\begin{cases} {{\partial L} \over {\partial r}} - {d \over {dt}} {{\partial L} \over {\partial \dot{r}}} + \lambda {{\partial f} \over {\partial r}} & = 0 \\ {{\partial L} \over {\partial \theta}} - {d \over {dt}} {{\partial L} \over {\partial \dot{\theta} }} + \lambda {{\partial f} \over {\partial \theta}} & = 0 \end{cases}

구속식을 미분한 다음 결과를 라그랑주 방정식에 대입한다.

(72)
\begin{align} {{\partial f} \over {\partial r}} = 1, \quad {{\partial f}\over {\partial \theta}} = 0. \end{align}
(73)
\begin{cases} mr \dot{\theta}^2 - mg \cos \theta - m \ddot{r} + \lambda & = 0 \\ mgr \sin \theta - m r^2 \ddot{\theta} - 2 m r \dot{r} \dot{\theta} & = 0 \end{cases}

그리고 구속조건 $r = a$를 적용하면

(74)
\begin{align} r = a, \quad \dot{r} = 0 = \ddot{r} \end{align}

이고 이것을 다시 대입하면

(75)
\begin{cases} ma \dot{\theta}^2 - mg \cos \theta + \lambda & = 0 \\ mga \sin \theta - ma^2 \ddot{\theta} & = 0 \end{cases}
(76)
\begin{align} \implies \ddot{\theta} & = {g \over a} \sin \theta \\ & = {d \over {dt}} {{d \theta} \over {dt}} = {{d \dot{\theta} } \over {dt}} = {{d \dot{\theta} } \over {d \theta}} {{d \theta} \over {dt}} = \dot{\theta} {{d \dot{\theta} } \over {d \theta}} \end{align}

이것을 적분하면

(77)
\begin{align} \int \dot{ \theta} d \dot{\theta} = {g \over a} \int \sin \theta d \theta \end{align}
(78)
\begin{align} \therefore\ {{ \dot{\theta}^2 } \over 2} = {{-g} \over a} \cos \theta + {g \over a} \end{align}

여기서 $\dot{\theta} = 0$일 때 $\theta (t = 0) = 0$ 이므로 적분상수는 $g/a$.

(79)
\begin{align} \therefore\ \lambda = mg (3 \cos \theta - 2 ) \end{align}

이것이 구속력이다. 입자가 반구 꼭대기에 있을 때 $\theta = 0$ 에서 구속력 $\lambda = mg$ 임에 주의.

구속력이 제로가 될 때 입자는 반구로 떨어진다.

(80)
\begin{align} \lambda & = 0 = mg (3 \cos \theta_0 - 2 ) \\ \theta_0 & = \cos^{-1} \left( {2 \over 3} \right) \end{align}

미정계수법의 유효성

  1. 라그랑주 계수는 때때로 구해야 하는 구속력이다.
  2. 일반화 좌표가 적합하지 않거나 얻기 어려울 경우 이 방법은 좌표 간의 구속관계를 포함시켜서 일반화 좌표수를 늘리는 데 사용할 수 있다.

7.6 라그랑주 방정식과 뉴턴 방정식의 등가성

라그랑주 방정식과 뉴턴 방정식은 관점이 다를 뿐 내용은 같다.

일반화 좌표로서의 직교좌표를 쓰면 단일 입자에 대한 라그랑주 방정식은

(81)
\begin{align} {{\partial L} \over {\partial x_i}} - {{d} \over {dt}}{{\partial L} \over {\partial \dot{x}_i}} = 0, \qquad i = 1, 2, 3 \end{align}

또는

(82)
\begin{align} {{\partial (T-U)} \over {\partial x_i}} - {{d} \over {dt}}{{\partial(T-U)} \over {\partial \dot{x}_i}} = 0 \end{align}

이 된다. 그런데 직교좌표에서 보존계에서는 $T = T(\dot{x}_i), U = U(x_i)$로 쓰므로

(83)
\begin{align} {{\partial T} \over {\partial x_i}} = 0, \qquad {{\partial U} \over {\partial \dot{x}_i}} = 0 \end{align}

이 되고 라그랑주 방정식은

(84)
\begin{align} - {{\partial U} \over {\partial x_i}} = {{d} \over {dt}}{{\partial T} \over {\partial \dot{x}_i}} \end{align}

보존계에서는

(85)
\begin{align} -{{\partial U} \over {\partial x_i}} = F_i, \end{align}
(86)
\begin{align} {{d} \over {dt}} {{\partial T} \over {\partial \dot{x}_i}} \left( \sum_{j=1}^3 {1 \over 2} m {\dot{x}_j}^2 \right) = {{d} \over {dt}} ( m \dot{x}_i ) = \dot{p}_i \end{align}
(87)
\begin{align} m \ddot{x}_i = F_i = \dot{p}_i \end{align}

즉 일반화 좌표가 직교좌표일 경우 라그랑주 방정식과 뉴턴 방정식은 동일하다.

이제 뉴턴역학에서 라그랑주 방정식을 유도해 보자.

(88)
\begin{align} x_i & = x_i (q_j , t) \\ \dot{x_i} & = \sum_j {{\partial x_i} \over {\partial q_j}} \dot{q}_j + {{\partial x_i} \over {\partial t}} \end{align}

또한

(89)
\begin{align} {{\partial \dot{x}_i} \over {\partial \dot{q}_j}} = {{\partial x_i} \over {\partial q_j}} \end{align}

$q_j$에 대응하는 일반화 운동량 $p_j$

(90)
\begin{align} p_j & = {{\partial T} \over {\partial \dot{q}_j}} \\ & = {{\partial} \over {\partial \dot{q}_j}} \left[ \left( {1 \over 2} m \dot{r}^2 + r^2 \dot{\theta}^2 \right) \right] \end{align}

따라서 $r$ 좌표에 대해 선운동량 $p_r = m \dot{r}$ 그리고 $\theta$ 좌표에 대해 각운동량 $p_\theta = mr^2 \dot{\theta}$를 갖는다.

경로가 [[ \delta x_i $]]만큼 변했을 때, 하는 가상의 일 $\delta W$

(91)
\begin{align} \delta W & = \sum_i F_i \delta x_i = \sum_{i, j} F_i {{\partial x_i} \over {\partial q_j}} \delta q_j \\ & \equiv \sum_j Q_j \delta q_j \end{align}

따라서 $q_j$에 대응하는 일반화된 힘 $Q_j$

(92)
\begin{align} Q_j = \sum_i F_i {{\partial x_i} \over {\partial q_j}} \end{align}

일은 언제나 에너지이므로 $Qq$이다. $q$가 길이이면 $Q$는 힘이고, $q$가 각도이면 $Q$는 토크다.

보존계에서 $Q_j$는 위치 에너지로부터 유도 가능하다.

(93)
\begin{align} Q_j = - {{\partial U} \over {\partial q_j}} \end{align}

이제 라그랑주 방정식을 얻을 수 있다.

(94)
\begin{align} p_j & = {{\partial T} \over {\partial \dot{q}_j}} = {{\partial } \over {\partial \dot{q}_j}} \left( \sum_i {1 \over 2} m {\dot{x}_i}^2 \right) \\ & = \sum_i m \dot{x}_i {{\partial \dot{x}_i } \over {\partial q_j}} p_j & = \sum_i m \dot{x}_i {{\partial x_i} \over {\partial q_j}} \end{align}

이것을 시간에 대해 미분하면

(95)
\begin{align} \dot{p}_j & = \sum_i \left( m \ddot{x}_i {{\partial x_i } \over {\partial q_j}} + m \dot{x}_i {{d} \over {dt}} {{\partial x_i} \over {\partial q_j}} \right) \\ & \qquad \qquad {{d} \over {dt}} {{\partial x_i} \over {\partial q_j}} = \sum_k {{\partial^2 x_i} \over {\partial q_k \partial q_j}} \dot{q}_k + {{\partial^2 x_i} \over {\partial q_j \partial t}} \\ & = \sum_i m \ddot{x}_i {{\partial x_i } \over {\partial q_j}} + \sum_{i, k} m \dot{x}_i {{\partial^2 x_i} \over {\partial q_k \partial q_j}} \dot{q}_k + \sum_i m \dot{x}_i {{\partial^2 x_i} \over {\partial q_j \partial t}} \end{align}

우변의 제1항은 정확히 $Q_j$이다. 나머지 두 항의 합은 $\partial T / \partial q_j$이고

(96)
\begin{align} {{\partial T} \over {\partial q_j}} & = \sum_i m \dot{x}_i {{\partial \dot{x}_i} \over {\partial q_j}} \\ & = \sum_i m \dot{x}_i {{\partial } \over {\partial q_j}} \left( \sum_k {{\partial x_i} \over {\partial q_k}} \dot{q}_k + {{\partial x_i} \over {\partial t}} \right) \end{align}

식 (64)는 이제

(97)
\begin{align} \dot{p}_j = Q_j + {{\partial T} \over {\partial q_j}} \end{align}

로 쓸 수 있고, 식 (59)와 (62)를 쓰면

(98)
\begin{align} {{d} \over {dt}} \left( {{\partial T} \over {\partial \dot{q}_j}} \right) - {{\partial T} \over {\partial q_j}} = Q_j = - {{\partial U} \over {\partial q_j}} \end{align}
(99)
\begin{align} {{d} \over {dt}} \left[ {{\partial (T-U) } \over {\partial \dot{q}_j}} \right] - {{\partial (T-U) } \over {\partial q_j}} = 0 \end{align}

$L = T-U$ 이므로

(100)
\begin{align} {{d} \over {dt}} \left( {{\partial L} \over {\partial \dot{q}_j}} \right) - {{\partial L} \over {\partial q_j}} = 0 \end{align}

가 된다. 이것은 라그랑주의 운동방정식이다.

7.7 라그랑주 역학의 진수

7.8 운동 에너지에 관한 정리

7.9 다시 찾은 보존정리

7.10 운동의 정준방정식 - 해밀턴 역학

(101)
\begin{align} p_i = {{\partial L} \over {\partial q_i}} \qquad \dot{p}_i = {{\partial L } \over {\partial q_i}} \end{align}
(102)
\begin{align} H = \sum p_i \dot{q}_i - L \quad (= T + V) \end{align}
(103)
\begin{align} \dot{q}_1 = {{\partial H} \over {\partial p_i}}, \qquad - \dot{p}_i = {{\partial H} \over {\partial q_i}} \end{align}

7.11 역학변수와 물리학에서의 변분법에 관한 몇 가지 주의

7.12 위상공간과 리우빌 정리

7.13 비리얼 정리