06. 변분법

6.1 서론

변분법: 뉴토니안에서 라그랑지안과 해밀토니안으로 발전하게 된 수학적 개념이자 방법.

6.2 변분법에서의 문제

변분법의 기본 문제는 다음 적분의 극값을 갖도록 $y(x)$를 정하는 것이다.

(1)
\begin{align} J = \int_{x_1}^{x^2} f \left\{ y(x), y'(x); x \right\} dx \end{align}

$x_1$ 점에서 $x_2$ 점으로 갈 때 최단거리는 물론 직선 경로, 그러나 경로는 다양하며 이것 역시 물론

범함수 $J$는 함수 $y(x)$에 의존하고 적분 양끝도 고정되어 있을 때, 함수 $y(x)$$J$의 극값이 얻어질 때까지 변화,
$y = y(x)$일 때 적분된 $J$가 극소값을 갖는다 $\implies$ $y(x)$에 인접한 함수는 어떤 것도 반드시 $J$의 값을 증대시킴

생각할 수 있는 모든 함수 $y = y( \alpha , x)$이면 다음과 같이 쓸 수 있다.
이때 $\eta(x)$는 연속인 1차 도함수를 갖고 $\eta(x_1) = \eta(x_2) = 0$인 함수이다.

(2)
\begin{align} y(\alpha, x) = y(0, x) + \alpha \eta (x) \\ \alpha = 0 \longrightarrow y(x) = y(0, x) \end{align}

적분 $J$가 정상값(극값)을 취하기 위한 조건은 모든 함수 $\eta(x)$에 대해

(3)
\begin{align} \left. {{\partial J} \over {\partial \alpha}} \right|_{\alpha=0} = 0 \end{align}
(4)
\begin{align} \eta(x_1) = y(x_2) = 0, \alpha \ne 0 \end{align}

예제 6.1
함수 $f = (dy / dx)^2 , y(x) = x$. $\eta(x) = \sin x$
$x = [0, 2 \pi ]$ 사이에서 $J(\alpha)$를 찾고 그 정상값이 $\alpha=0$ 임을 보여라.

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함수 $y=x$에 사인함수적인 변분 $\alpha \sin x$를 더해서 인접한 경로를 만들면

(5)
\begin{align} y ( \alpha , x ) = x + \alpha \sin x \end{align}

6.3 오일러 방정식

식 (3)을 구체적인 형태로 쓰기:

(6)
\begin{align} {{\partial J} \over {\partial \alpha}} & = {{\partial} \over {\partial x}} \int_{x_1}^{x_2} f \left\{ {y, y' ; x } \right\} dx \\ & = \int_{x_1}^{x_2} \left( { {{\partial f} \over {\partial y}} {{\partial y} \over {\partial \alpha}} + {{\partial f} \over {\partial y'}} {{\partial y'} \over {\partial \alpha }} } \right) dx \\ & \qquad {{\partial y} \over {\partial \alpha}} = \eta(x); {{\alpha y'} \over {\partial \alpha}} = {{\partial \eta} \over {\partial x}} \\ & = \int_{x_1}^{x^2} \left[ { {{\partial f} \over {\partial y}} \eta{x} + {{\partial f} \over {\partial y'}} {{d \eta} \over {dx}} } \right] dx \\ & \qquad \int u\ dv = uv - \int v\ du \\ & \qquad \int_{x_1}^{x_2} {{\partial f} \over {\partial y'}} {{d \eta } \over {dx}} dx = \left. {{\partial f} \over {\partial y}} \eta(x) \right\vert_{x_1}^{x_2} - \int_{x_1}^{x_2} {{d} \over {dx}} \left( {{\partial f} \over {\partial y'}} \right) \eta(x) dx \\ & = \int_{x_1}^{x_2} \left[ {{\partial f} \over {\partial y}} \eta(x) - {{d} \over {dx}} \left( { {{\partial f} \over {\partial y'}} } \right) \eta(x) dx \right] dx \\ & = \int_{x_1}^{x_2} \left( { {{\partial f} \over {\partial y}} - {{d} \over {dx}} {{\partial f} \over {\partial y'}} } \right) \eta(x) dx \end{align}

$f$를 미분하는 $y, y'$$\alpha$의 함수이다. $\left. ( \partial J / \partial \alpha ) \right\vert_{\alpha=0} = 0$이고 $\eta(x)$는 (조건을 따르는) 임의의 함수이므로 위 결과식에서 피적분함수는 $\alpha = 0$일 때 0이어야 한다. 즉

(7)
\begin{align} {{\partial f} \over {\partial y}} - {{d } \over {dx}} {{\partial f} \over {\partial y'}} = 0 \end{align}

이 식이 오일러 방정식(Euler's equation)이며 $J$가 극값을 갖기 위한 필요조건이다.

6.4 오일러 방정식의 제2형태

6.5 종속 변수가 여러 개인 함수

범함수의 종속 변수가 여러 개일 때,

(8)
\begin{align} f & = f \left\{ y_1 (x), y_1' (x) , y_2 (x), y_2' (x), \cdots ; x \right\} \\ &= f \left\{ y_i (x) , y_i' (x) ; x \right\}, \qquad ( i = 1, 2, \cdots , n) \end{align}
(9)
\begin{align} y_i(\alpha, x) = y_i (0, x) + \alpha \eta_i (x) \end{align}
(10)
\begin{align} {{\partial J} \over {\partial \alpha}} = \int_{x_1}^{x_2} \sum_i \left( {{\partial f} \over {\partial y_i}} - {{d} \over {dx}} {{\partial f} \over {\partial y_i'}} \right) \eta_i (x) dx \end{align}
(11)
\begin{align} {{\partial f} \over {\partial y_i}} - {{d} \over {dx}}{{\partial f} \over {\partial y_i'}} = 0 \end{align}

6.6 구속조건이 있을 경우의 오일러 방정식

어떤 곡면 위를 움직일 때 그 조건은

(12)
\begin{align} g \left\{ y_i ; x \right\} = 0 \\ = \sum_i {x_i}^2 - \rho^2 = 0 \end{align}

$\rho = r = \mathrm{const.}$.
즉 운동 경로가 곡선면의 식을 만족해야 한다는 조건

이 조건 하에서 오일러 방정식은

(13)
\begin{align} f & = f \left\{ y_1, y_i' ; x \right\} \\ & = f \left\{ y, y', z, z' ; x \right\} \\ \end{align}
(14)
\begin{align} {{\partial J} \over {\partial \alpha}} = \int_{x_i}^{x_2} \left[ \left( {{\partial f} \over {\partial y}} - {{d} \over {dx}} {{\partial f} \over {\partial y'}} \right) {{\partial y} \over {\partial \alpha}} + \left( {{\partial f} \over {\partial z}} - {{d} \over {dx}} {{\partial f} \over {\partial z'}} \right) {{\partial z} \over {\partial \alpha}} \right] dx \end{align}
(15)
\begin{align} & g \left\{ y, z ; x \right\} = 0 \\ & dg = \left( {{\partial g } \over {\partial y}} {{\partial y} \over {\partial \alpha}} + {{\partial g} \over {\partial z}} {{\partial z} \over {\partial \alpha}} \right) d \alpha = 0 \end{align}
(16)
\begin{align} \qquad & \begin{cases} y = y(x) + \alpha \eta_1(x) \\ z = z(x) + \alpha \eta_2(x) \end{cases} \\ \qquad & {{\partial y} \over {\partial \alpha}} = \eta_1(x), {{\partial z} \over {\partial \alpha}} = \eta_2(x) \\ \qquad & \implies {{\partial g} \over {\partial y}} \eta_1(x) + {{\partial g} \over {\partial z}} \eta_2 (x) = 0 \\ \qquad & \implies {{\eta_2 (x) } \over {\eta_1 (x)}} = - {{\partial g / \partial y} \over {\partial g / \partial z}} \end{align}
(17)
\begin{align} {{\partial J} \over {\partial \alpha}} = \int_{x_1}^{x_2} \left[ \left( {{\partial f} \over {\partial y}} - {{d} \over {dx}} {{g} \over {\partial y'}} \right) - \left( {{\partial f} \over {\partial z}} - {{d} \over {dx}} {{\partial f} \over {\partial z'}} \right) \left( {{\partial g / \partial y } \over {\partial g / \partial z}} \right) \right] \eta_1 (x) dx \end{align}
(18)
\begin{align} \left( {{\partial f} \over {\partial y}} - {{d} \over {dx}} {{\partial f} \over {\partial y'}} \right) \left( {{\partial g } \over {\partial y}} \right)^{-1} = \left( {{\partial f} \over {\partial z}} - {{d} \over {dx}} {{\partial f} \over {\partial z'}} \right) \left( {{\partial g} \over {\partial z}} \right)^{-1} \end{align}
(19)
\begin{cases} {{\partial f} \over {\partial y}} - {{d} \over {dx}} {{\partial f} \over {\partial y_i}} + \lambda (x) {{\partial g} \over {\partial y_i}} = 0 \\ {{\partial f} \over {\partial z}} - {{d} \over {dx}} {{\partial f} \over {\partial z_i}} + \lambda (x) {{\partial g} \over {\partial z_i}} = 0 \end{cases}

함수 $\lambda (x)$라그랑주 미정승수(Lagrange undetermined multiplier)라고 한다.

종속변수와 구속조건이 여러 개 있는 일반적인 경우에는 다음과 같은 일련의 방정식을 얻는다.

(20)
\begin{align} {{\partial f} \over {d y_i}} - {d \over {dx}} {{\partial f} \over {\partial y_i ' }} +\sum_j \lambda_j (x) {{\partial g_j} \over {\partial y_i}} = 0 \end{align}
(21)
\begin{align} g_j \left\{ y_i ; x \right\} = 0 \end{align}

6.7 δ 기호

(22)
\begin{align} {{\partial f} \over {\partial y}} - {{d} \over {dx}}{{\partial f} \over {\partial y'}} = 0 \end{align}
(23)
\begin{align} & {{\partial J} \over {\partial \alpha}} d \alpha = \int_{x_1}^{x_2} \left( {{\partial f} \over {\partial y}} - {{d} \over {dx}} {{\partial f} \over {\partial y'}} \right) {{\partial y} \over {\partial \alpha}} d \alpha dx \\ & \qquad {{\partial y} \over {\partial \alpha}} d \alpha \equiv \delta y \\ & \implies \delta J = {{\partial J} \over {\partial \alpha}} d \alpha, {{\partial y} \over {\partial \alpha}} d \alpha = \delta y \end{align}
(24)
\begin{align} \delta J & = \delta \int_{x_1}^{x_2} f \left\{ y, y' ; x \right\} dx = 0 \\ & = \int_{x_1}^{x_2} \delta f dx \\ & = \int_{x_1}^{x_2} \left\{ {{\partial f} \over {\partial y}} \delta y + {{\partial f} \over {\partial y}} \delta y' \right\} dx \\ & \qquad \delta y' = \delta \left( {{dy} \over {d \alpha}} \right) = {{d} \over {dx}}(\delta y) \\ & = \int_{x_1}^{x_2} \left({{\partial f} \over {\partial y}} \delta y + {{\partial f} \over {\partial y'}} \delta y \right) dx \\ & = \int_{x_1}^{x_2} \left( {{\partial J} \over {\partial y}} - {{d} \over {dx}} {{\partial f} \over {\partial y'}} \right) \delta y\ dx \end{align}