5. 만유인력

5.1 서론

(1)
\begin{align} \vec{F} = - G {{mM} \over {r^2}} \vec{e}_r \end{align}

뉴턴의 만유인력의 법칙: 모든 물체 사이엔 서로 끌어당기는( - ) 힘이 있고, 그 크기는 거리의 제곱에 반비례하여 작아진다.

(2)
\begin{align} \vec{F} = - Gm \int_V {{\rho(\vec{r'}) \vec{e}_r} \over {r^2}} dv' \end{align}

점질량 m과 연속적으로 분포한 부피질량에 대한 중력을 계산하기 위해서는 질량밀도를 적분한다.

(3)
\begin{align} \vec{g} = {\vec{F} \over m} = - G {M \over {r^2}} \vec{e}_r \\ = - G \int_V {{\rho(\vec{r}') \vec{e}_r} \over {r^2}} dv' \end{align}
중력장 백터 $\vec{g}$
질량 $M$의 물체에 의해 생긴 장 속에 어떤 하나의 입자가 단위질량당 받는 힘

힘/질량 = 가속도의 차원. 그 크기는 지표 부근에서 중력가속도 상수와 같다. $\lVert \vec{g} \rVert \ \approx 9.8$ m/s² 또는 N/kg

5.2 중력퍼텐셜

중력장벡터는 거리의 역제곱 $1 / r^2$ 으로 변화한다.

(4)
\begin{align} \vec{g} \equiv - \nabla \Phi \end{align}

$\Phi$중력퍼텐셜(gravitational potential)이라 하고 그 (단위질량당 힘)×(거리) 또는 (단위질량당 에너지)의 차원을 갖는다

(5)
\begin{align} \nabla \Phi = {{d \Phi} \over {dr}} \vec{e}_r = G {{M} \over {r^2}} \vec{e}_r \end{align}

이것을 적분하면

(6)
\begin{align} \Phi = - G {M \over r} \end{align}

중력퍼텐셜은 그 차이만 유의미하고 특정한 중력퍼텐셜은 무의미하다. $\lim_{r \rightarrow \infty} \Phi \longrightarrow 0$

물질이 연속 분포할 때 중력퍼텐셜

(7)
\begin{align} \Phi = - G \int_V {{\rho(\vec{r}')} \over {r}} dv' \end{align}

질량이 표면분포할 때 중력퍼텐셜

(8)
\begin{align} \Phi = - G \int_S {{\rho_s} \over {r}} da' \end{align}

질량이 선형분포할 때 중력퍼텐셜

(9)
\begin{align} \Phi = - G \int_\Gamma {{\rho_l} \over {r}} ds' \end{align}

예제 5.1:
안쪽 반지름 $b$, 바깥쪽 반지름 $a$인 구면 껍질의 내외부 중력퍼텐셜은 얼마인가?

(10)
\begin{align} \Phi & = - G \int_V {{\rho(r')} \over r} dv' \\ & = -2 \pi \rho G \int_b^a {r'}^2 dr' \int_0^\pi {{\sin \theta} \over r} d \theta \end{align}

껍질의 질량분포가 균일하다고 가정. $\rho{r'} = \rho$. 코사인법칙에 따르면

(11)
\begin{align} r^2 = {r'}^2 + R^2 - 2r'R \cos \theta \end{align}

$R$이 일정하므로 미분하면

(12)
\begin{align} r dr = r' R \sin \theta d \theta \end{align}

이를 식 (10)에 대입

(13)
\begin{align} \Phi = - {{2 \pi \rho G} \over R} \int_b^a r' dr' \int dr \end{align}

$dr$ 적분의 상한과 하한은 점질량의 위치에 의존한다.

구면 껍질의 질량 $M$

(14)
\begin{align} M = {4 \over 3} \pi \rho (a^3 - b^3) \end{align}

점질량 $P$가 구면 껍질의 밖에 있으면

(15)
\begin{align} \Phi(R > a) & = - {{2 \pi \rho G} \over R} \int_b^a r' dr' \int_{R-r'}^{R+r'} dr \\ & = - {{4 \pi \rho G} \over R} \int_b^a {r'}^2 dr' \\ & = - {4 \over 3} {{\pi \rho G} \over R} (a^3 - b^3) \\ & = - {{GM} \over R} \end{align}

점질량이 껍질의 안에 있으면

(16)
\begin{align} \Phi(R < b) & = - {{2 \pi \rho G} \over R} \int_b^a r' dr' \int_{r'+R}^{r'-R} dr \\ & = - 4 \pi \rho G \int_b^a r' dr' \\ & = -2 \pi \rho G (a^2 - b^2) \end{align}

즉 껍질 안에서의 퍼텐셜은 위치와 무관하게 일정하다.

점질량이 껍질의 속에 있으면

(17)
\begin{align} \Phi(b < R < a) & = - {{4 \pi \rho G} \over {3R}} (R^3 - b^3) - 2 \pi \rho G (a^2 - R^2) \\ & = - 4 \pi \rho G \left( {a^2 \over 2} - {b^3 \over {3R}} - {R^2 \over 6} \right) \end{align}

예제 5.2: 암흑물질
반지름 $R$이고 질량 $M$인 은하의 은하원반상의 질량 $m$이 공전속력 $v$를 갖기 때문에 중력과 구심력이 같다.

(18)
\begin{align} {{GMm} \over r^2} = {{mv^2} \over R} \\ v = \sqrt{{{GM} \over {R}}} \end{align}

즉 공전속도는 은하중심에서의 거리의 $1/ \sqrt{R}$ 로 감소하며, 이것의 선행조건은 $M(R) \propto R$
그런데 실제 관측된 수치는 이에 일치하지 않으며, 즉 $M(R) \not\propto R \longrightarrow$ 발견되지 않은 물질의 질량의 존재 (은하천문학 참조)


예제 5.3:

figure-5-6.png

$\rho = M / v = M / 2 \pi a \longrightarrow M = 2 \pi a \rho$
$\vec{r} = a \cos \phi \hat{e}_1 + a \sin \phi \hat{e}_2$

(19)
\begin{align} d \Phi = - G {{dM} \over {b}} = {{-Ga \rho d \phi} \over {b}} \end{align}
(20)
\begin{align} b & = \lVert \vec{r} - \vec{r}' \rVert \\ & = \lVert (a \cos \phi - r' ) \hat{e}_1 + a \sin \phi \hat{e}_2 \rVert \\ & = \left\{ (a \cos \phi - r' )^2 + a^2 \sin^2 \phi \right\}^{1 \over 2} \\ & = \left( a^2 + {r'}^2 - 2ar' \cos \phi \right)^{1 \over 2} \\ & = a \left[ 1 + \left( {{r'} \over {a}} \right)^2 - {{2r'} \over {a}} \cos \phi \right]^{1 \over 2} \end{align}
(21)
\begin{align} \Phi & = \int d \Phi = \int {{- G a \rho d \phi} \over {b}} \\ & = - G \rho \int {{d \phi } \over { \left[ 1 + \left( {{r'} \over {a}} \right)^2 - {{2r'} \over {a}} \cos \phi \right]^{1 \over 2} }} \\ & = 1 + {{r' } \over {a}} \cos \phi + {1 \over 2} \left( {{r'} \over {a}} \right)^2 ( 2 \cos^2 \phi - 1 ) + \cdots \\ \end{align}
(22)
\begin{align} \therefore\ \Phi & = - \rho G \int_{0}^{2 \pi} \left\{ 1 + {{r' } \over {a}} \cos \phi + {1 \over 2} \left( {{r'} \over {a}} \right)^2 ( 2 \cos^2 \phi - 1 ) + \cdots \right\} d \phi \\ \end{align}
(23)
\begin{align} U = m \Phi = {{d^2 U} \over {d {r'}^2 }} \end{align}

평형위치를 얻기 위하여

(24)
\begin{align} {{dU} \over {dr'}} = 0 = - {{mMG} \over {a}} {1 \over 2} {{r'} \over {a^2}} + \cdots \end{align}

$r' = 0$ 이 평형점이다.

(25)
\begin{align} {{d^2 U} \over {d {r'}^2 }} = - {{mMG} \over {2 a^3}} + \cdots \sim {{1} \over {8a}} \left( - {{MG} \over {a}} \right) < 0 \end{align}

평형점은 불안정하다.

푸아송 방정식

(26)
\begin{align} \Phi_m & = \int_S \hat{n} \cdot \vec{g} da \\ & \qquad \left( \hat{n} \cdot \vec{g} = - G {{M \hat{n}} \over {r^2}} \hat{e}_r \right) \\ & d \Omega = {{d \vec{a} \cdot \hat{e}_r } \over {r^2 }} = \sin \theta dv d \phi & = - 4 \phi G \sum_i m_i \\ & = - 4 \phi G \int dv \end{align}
(27)
\begin{align} \int_S \hat{n} \vec{g} da & = \int_V \vec{\nabla} \vec{g} dv = \int_V (- 4 \phi G) \rho dv \end{align}
(28)
\begin{align} \vec{\nabla} \cdot \vec{g} = - 4 \pi G \rho \\ \qquad \vec{g} = - \vec{\nabla} \Phi \\ \vec{\nabla} \cdot \vec{g} = - \vec{\nabla} \cdot \vec{\nabla} \Phi = - \vec{\nabla}^2 \Phi \end{align}
(29)
\begin{align} \therefore\ \vec{\nabla}^2 = 4 \pi G \rho \end{align}

5.3 역선과 등전위면

어떤 질량이 장벡터 $\vec{g}$로 기술되는 중력장을 생성시킬 때, 그 질량을 갖는 물체 표면에서 외부 방향으로 장벡터와 같은 방향으로 그어진 선을 역선(line of force)라고 한다.

위치함수는 공간의 모든 점에서 정의되므로 방정식 $\Phi = \Phi (x_1, x_2, x_3) = \mathrm{const.}$는 퍼텐셜이 일정한 면을 정의하고, 이와 같은 면을 등전위면(equipotential surface)이라고 한다. 그런데 장벡터 $\vec{g} = \Phi$의 기울기 이므로 모든 역선은 모든 등전위면에 수직하다. 즉 장은 등전위면을 따라서 움직이는 물체에는 일을 하지 않는다.

고립된 단일 질점을 둘러싸는 등전위면은 구면이다. 특정 거리만큼 떨어진 두 질점(질량 $M$)을 생각하고 한 질점에서 공간 속 어떤 점 $P$까지의 거리를 $r_1$, 다른 질점에서 $P$까지의 거리를 $r_2$라고 하면

(30)
\begin{align} \Phi = - GM \left( {1 \over r_1} + {1 \over r_2} \right) = \mathrm{const.} \end{align}

가 등전위면을 정의한다.

d-5-8.png

5.4 언제 퍼텐셜 개념이 유효한가?!

예제 5.4 질량 $M$, 반경 $a$인 얇고 균일한 원판의 축상에 있는 질량 $m$에게 작용하는 힘은?

d-5-9.png
(31)
\begin{align} d \Phi = - G{{dM} \over {r}} \end{align}
(32)
\begin{align} dM = \rho dA = \rho 2 \pi x dx \end{align}
(33)
\begin{align} d \Phi & = - 2 \pi \rho G {{x\ dx} \over {r}} \\ & = - 2 \pi \rho G {{x\ dx} \over {(x^2 + z^2)}^{1/2}} \end{align}
(34)
\begin{align} \Phi(z) & = - \pi \rho G \int_0^a {{2x} \over {(x^2 + z^2 )}^{1/2}} dx \\ & = - 2 \pi \rho G {{x} \over {(x^2 + z^2)}^{1/2}} \\ & = - 2 \pi \rho G \left. ( x^2 + z^2 )^{1/2} \right|_0^a \end{align}
(35)
\begin{align} \vec{F} = - \vec{\nabla} U = - m \vec{\nabla} \Phi \end{align}
(36)
\begin{align} d \vec{F} = - Gm {{dM'} \over {r^2}} \hat{e}_r \end{align}
(37)
\begin{align} dF_z & = \cos \theta \lVert d \vec{F} \rVert \\ & = - mG {{\cos \theta d M'} \over {r^2}} \\ & = - mG {{z d M' } \over {r^3}} \\ & = - m G \rho {{2 \pi xz\ dx} \over {r^3}} \\ & \qquad r^2 = z^2 + x^2, r^3 = (z^2 + x^2)^{3/2} \\ & = - 2 \pi \rho m G {{zx} \over {z^2 + x^2}^{3/2}} dx \end{align}
(38)
\begin{align} F_z & = - \pi \rho m G z \int_0^a {{2x} \over {z^2 + x^2}^{3/2}} dx \\ & = 2 \pi m \rho z \left. \left( z^2 + x^2 \right) \right|_0^a \\ & = 2 \pi \rho m G \left[ {{z} \over {a^2 + z^2}^{1/2}} -1 \right] \end{align}

5.5 바다의 조석

figure-5-10.png

${{r} \over {D}} \ll 1$

(39)
\begin{align} m \ddot{\vec{r}}'_m & = - {{Gm M_E} \over {r^2}} \hat{e}_r - {{Gm M_m} \over {R^2}} \hat{e}_R \end{align}
(40)
\begin{align} \ddot{\vec{r}} & = \ddot{\vec{r}}'_m - \ddot{\vec{r}}'_E \\ & = {{m \ddot{\vec{r}}'_m } \over {m}} - {{M_E \ddot{\vec{r}}'_E } \over {M_E}} \\ & = - {{G M_E} \over {r^2}} \hat{e}_r - {{GM_m} \over {R^2}} \hat{e}_R + {{GM_m} \over {D^2}} \hat{e}_D \\ & = - {{GM_E} \over {r^2}} \hat{e}_r - GM_m \left( {{\hat{e}_R} \over {R^2}} - {{\hat{e}_D} \over {D^2}} \right) \end{align}
(41)
\begin{align} \vec{F}_T \end{align}
(42)
\begin{align} \vec{F}_{T_x} & = - G m M_m \left( {{1} \over {R^2}} - {{1} \over {D^2}} \right) \\ & = - Gm M_m \left( {{1} \over {(D + r)^2}} - {{1} \over {D^2}} \right) \\ & = - {{GmM_m} \over {D^2}} \left( {{1} \over { \left( 1 + {1 \over D} \right)^2 }} - 1 \right) \\ & = - {{GmM_m} \over {D^2}} \left[ 1 - 2 {{r} \over {D}} + 3 \left( {{r} \over {D}} \right)^2 - \cdots - 1 \right] \\ & \simeq {{2 G m M_m r } \over {D^3}} \end{align}
(43)
\begin{align} F_{T_y} & = - mGM_m \left( {1 \over D^2} {r \over D} \right) \\ & = - {{mrGM_m} \over {D^3}} \end{align}
(44)
\begin{cases} F_{T_x} & = {{2 G m M_m x} \over {D^3}} & = {{2 G m M_m r \cos \theta} \over {D^3}} \\ F_{T_y} & = - {{G m M_m y} \over {D^3}} & = - {{G m M_m r \sin \theta} \over {D^3}} \end{cases}