4. 비선형 진동과 혼돈

4.1 서론

3장에서 논의한 1차원 감쇠진동 및 강제진동에 대한 운동방정식은 다음과 같다.

(1)
\begin{align} m \ddot{x} + f( \dot{x} ) + g(x) = h(t) \end{align}

$f( \dot{x} )$$g(x)$ 가 각각 1차보다 높은 지수의 $\dot{x}, x$ 를 포함하고 있다면 이 물리계는 비선형이다.

4.2 비선형 진동

포물선형 위치에너지 $U(x) = {1 \over 2} k x^2$ 에 대응하는 힘 $F(x) = - kx$
이것은 조화단진동에 적용되는 경우이다. 에너지가 $U_{min}$ 보다 상당히 클 때는 진폭이 크고 따라서 $U(x) \approx {1 \over 2} k x^2$ 근사가 정확하지 않다.

(2)
\begin{align} F(x) \cong - kx + \epsilon x^3 \end{align}

이 힘에 대응하는 퍼텐셜은 적분하여

(3)
\begin{align} U(x) = {{1} \over {2}} k x^2 - {{1} \over {4}} \epsilon x^4 \end{align}
  • $\epsilon > 0$: 힘이 선형 근사보다 작다. 부드러운 계
  • $\epsilon < 0$: 힘이 선형 근사보다 크다. 단단한 계

예제 1:
두 개의 동일한 용수철 사이에 질량 $m$의 입자가 매달린 계가 비선형임을 보여라. 강제력 $F_0 \cos \omega t$에 대한 정상해를 구하라.

입자가 받는 전체의 수평 방향 힘

(4)
\begin{align} F = -2k (s -l) \sin \theta \end{align}
(5)
\begin{align} s = \sqrt{l^2 + x^2} \\ \sin \theta = {{x} \over {s}} = {{x} \over {\sqrt{l^2 + x^2}}} \end{align}
(6)
\begin{align} F & = - {{2 k x} \over \sqrt{l^2 + x^2}} \cdot \left( \sqrt{l^2 + x^2} - l \right) \\ & = - 2kx \left( 1 - {{1} \over \sqrt{1 + \left({{x} \over {l}} \right)^2 }} \right) \\ & = - {{2kx} \over \sqrt{l^2 + x^2}} \cdot \left( \sqrt{l^2 + x^2 } - l \right) \\ & = - 2kx \left( 1 - {{1} \over \sqrt{1 + \left({x \over l} \right)^2}} \right) \end{align}

${x \over l}$ 은 작다고 생각해서 근을 전개하면

(7)
\begin{align} F = - kl \left( {x \over l} \right)^3 \left[ 1 - {3 \over 4 } \left({x \over l}\right)^2 + \cdots \right] \end{align}

가장 큰 항만 남기고 모조리 생략하면 근사적으로

(8)
\begin{align} F \cong - \left( {{k} \over {l^2}} \right) x^3 \end{align}

힘이 $x^3$에 비례하므로 이 계는 비선형이다.

예제 4.1: 두 개의 동일한 용수철 사이에 질량 $m$인 입자가 매달린 계가 비선형임을 보이기. 강제력 $F_0 \cos \omega t$에 대한 정상해 구하기

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(9)
\begin{align} F & = -2k (s - l) \sin \theta \\ s & = \sqrt{l^2 + x^2} \\ \sin \theta & = {x \over s} = {x \over \sqrt{l^2 + x^2}} \end{align}
(10)
\begin{align} F & = - {{2kx} \over \sqrt{l^2 + x^2}} \cdot ( \sqrt{l^2 + x^2} - l ) \\ & = - 2kx \left( 1 - {1 \over \sqrt{1 + \left( {x \over l} \right)^2}} \end{align}

$x/l \ll 1$로 작다고 생각해서 근을 전개하면

(11)
\begin{align} F = -kl \left( {x \over l} \right)^3 \left[ 1 - {3 \over 4} \left( {x \over l} \right)^2 + \cdots \right] \cong - \left( {k \over l^2 } \right) x^3 \end{align}

$x/l$이 작도록 운동의 진폭이 제한되어 있어도 힘이 $x^3$에 비례하는 결과가 나오므로 이 계는 본질적으로 비선형이다.

한편 평형위치에 있는 입자에 용수철을 붙이기 위해 각 용수철을 $d$만큼 늘렸다면 힘은

(12)
\begin{align} F(x) \cong - 2 \left( {{kd} \over l } \right) x - \left[ {{ k (l-d) } \over l^3} \right] x^3 \end{align}

강제력 $F_0 \cos \omega t$가 작용한다면 당기는 용수철의 운동방정식은

(13)
\begin{align} m \ddot{x} = -{{2kd} \over l} x - {{k (l-d) } \over l^3} x^3 + F_0 \cos \omega t \end{align}
(14)
\begin{align} \epsilon = { {\epsilon ' } \over m}, \quad a = {{2kd} \over {ml}}, \quad G = {F_0 \over m} \end{align}

이라고 두면

(15)
\begin{align} \ddot{x} = - ax + \epsilon x^3 + G \cos \omega t \end{align}

이것은 풀기 힘든 미분방정식이다. 섭동법(계속 근사하는 방법)을 사용하면

우선 $x_1 = A \cos \omega t$를 해로 택하여 우변의 $x$에 대입하면

(16)
\begin{align} \ddot{x}_2 = - a A \cos \omega t + \epsilon A^3 \cos^3 \omega t + G \cos \omega t \end{align}

가 되며, 이것의 해는 $x = x_2$이다.

(17)
\begin{align} \cos^3 \omega t = {3 \over 4} \cos \omega t + {1 \over 4} \cos 3 \omega t \end{align}

관계식을 사용하면

(18)
\begin{align} \ddot{x}_2 = - \left( aA - {3 \over 4} \epsilon A^3 - G \right) \cos \omega t + {1 \over 4} \epsilon A^3 \cos 3 \omega t \end{align}

두 번 적분(적분상수는 0으로 놓고)하면

(19)
\begin{align} x_2 = {1 \over \omega^2} \left( aA - {3 \over 4} \epsilon A^3 - G \right) \cos \omega t - {{\epsilon A^3} \over {36 \omega^2}} \cos 3 \omega t \end{align}

현실의 물리현상에서는 대칭인 힘과 퍼텐셜이 자주 나오지만 비대칭인 형태, 예컨대

(20)
\begin{align} F(x) = - kx + \lambda x^2 \end{align}

같은 경우도 있다. 이에 대한 퍼텐셜은

(21)
\begin{align} U(x) = {1 \over 2} k x^2 - {1 \over 3} \lambda x^3 \end{align}

4.3 비선형계에 대한 위상도

위상도를 만들 때는 다음 식을 쓰면 좋다.

(22)
\begin{align} \dot{x}(x) \propto \sqrt{E - U(x) } \end{align}

4.4 평면 진자

무게를 무시할 수 있고 늘어나지 않는 막대기 끝에 뭍인 질량 $m$인 입자가 반지름 $l$인 원 위를 움직이는 경우:

아래 방향으로 중력이 작용하나 운동과 유관한 것은 막대기에 수직한 성분이다. [[$ F(\theta) = -mg \sin \theta &]]
평면진자는 대칭인 복원력을 갖는 비선형계이고, 선형 근사는 각변위가 작은 경우에만 쓸 수 있다.

운동방정식은 지지축의 토크를 축 주위의 각속도와 관성모멘트의 곱과 같다고 놓으면

(23)
\begin{align} I \ddot{\theta} = l F \end{align}

$I = ml^2$, $F = -mg \sin \theta$ 이므로

(24)
\begin{align} \ddot{\theta} + {\omega_0}^2 \sin \theta = 0, \qquad {\omega_0}^2 \equiv {{g} \over {l}} \end{align}

진폭이 작으면 $\sin \theta \cong \theta$이므로 이 식은 조화단진자 방정식

(25)
\begin{align} \ddot{\theta} + {\omega_0}^2 \theta = 0, \qquad \tau \cong 2 \pi \sqrt{{l \over g}} \end{align}

4.5 도약, 히스테리시스, 위상더딤

4.6 진동자 속의 혼돈

(26)
\begin{align} N = I \ddot{\theta} = - b \dot{\theta} - mgl \sin \theta + N_d \cos \omega_d t \end{align}
(27)
\begin{matrix} I = ml^2 & \\ b & 감쇠계수 \\ N_d & 각진동수\ \omega_d의\ 구동토크 \end{matrix}
(28)
\begin{align} \ddot{x} + 2 \beta \dot{x} + {\omega_0}^2 x = A \cos \omega t \end{align}
(29)
\begin{align} \ddot{theta} = - { b \over {ml^2} } \dot{\theta} - { g \over l} \sin \theta +{{N_d } \over {ml^2 }} \cos \omega_d t \\ {\omega_0}^2 = { d \over l} \\ t' = {t \over t_0} \qquad (t_0 = {1 \over \omega_0} \end{align}
(30)
\begin{matrix} x = \theta & 진동\ 변수 \\ c = {b \over {ml^2 {\omega_0}^2 }} & 감쇠계수 \\ F = {N_d \over {ml^2 {\omega_0}^2 }} = {N_d \over {mgl}} & 구동력\ 크기 \\ t' = {t \over t_0} = \sqrt{g \over l}t & 무차원\ 시간 \\ \omega = {{\omega_d} \over {\omega_0}} = \sqrt{l \over g} \omega_d & 구동\ 각진동수 \end{matrix}
(31)
\begin{align} \dot{x} = {{dx} \over {dt'}} = {{d \theta} \over {dt}} {{dt} \over {dt'}} = {{d\ theta } \over {dt}} {1 \over \omega_0} \\ \ddot{x} = {{d^2 x} \over {d {t'}^2}} = {{d^2 \theta} \over {d t^2}} \left( {{dt} \over {dt't}} \right)^2 = {{d^2 \theta } \over {dt^2}}{1 \over {{\omega_0}}^2} = {{\theta} \over {{\omega}_0}} \end{align}
(32)
\begin{align} {\omega_0}^2 \ddot{x} = \end{align}
(33)
\begin{align} \ddot{x} = - c \dot{x} - \sin x - F \cos \omega t' \end{align}

4.7 매핑

4.8 혼돈의 확인