3. 진동

3.1 서론

복원력
1차원에서 움직이는 입자의 안정된 평형위치를 원점이라고 가정할 때, 입자가 원점에서 변형될 경우 입자를 원점으로 되돌리려는 힘
(1)
\begin{align} F(x) = F_0 + x \left( {dF} \over {dx} \right)_0 + {1 \over 2} x^2 \left( {d^2F} \over {dx^2} \right)_0 + {1 \over 3} x^3 \left( {d^3 F} \over {dx^3} \right)_0 + \cdots \end{align}

평형점이 원점으로 정의되므로 $F_0 = F(0) = 0$
입자의 변위가 작다면 $x^2$ 이상의 고차항을 생략하여 선형 복원력에 대한 다음 근사식(i.e. 훅의 법칙)을 얻는다.

(2)
\begin{equation} F(x) = - k x \end{equation}

계수 $k \equiv - \left( {dF} \over {dx} \right)_0$ 은 테일러 급수 제1항이다. 자연계의 복원력은 대개 비선형적이고, 선형식은 언제나 근사식이다. 선형력을 쓸 수 있는 경우는 진동 진폭이 작은 경우로 한정된다.

3.2 조화 단진자

훅의 법칙을 뉴턴 방정식 $F = ma$에 대입하면

(3)
\begin{align} -kx = m \ddot{x} \end{align}
(4)
\begin{align} {\omega_0}^2 \equiv {k \over m} \end{align}
(5)
\begin{align} \ddot{x} + {\omega_0}^2 x = 0 \end{align}
(6)
\begin{align} x(t) = A \sin ({\omega_0} t - \delta ) \\ x(t) = A \cos({\omega_0} t - \phi ) \end{align}

$\delta$$\phi$위상각(phase angle)이며, $\lVert \delta - \phi \rVert = \pi /2$. 위상각의 변화 ≡ 시간척도의 원점($t = 0$인 순간)의 변화

입자의 운동 에너지는 운동 에너지 식에 $v = \dot{x}(t)$ 를 대입하면

(7)
\begin{matrix} T = {1 \over 2} m \dot{x}^2 & = {1 \over 2} m {\omega_0}^2 A^2 \cos^2(\omega_0 t - \delta) \\ & = {1 \over 2} k A^2 \cos^2 (\omega_0 t - \delta) \qquad \end{matrix}

위치 에너지는 입자를 거리 $x$만큼 이동시키는 데 필요한 일의 양이며 복원력 $F$에 대해 입자를 $dx$ 이동시키는 데 필요한 일의 양 $dW$

(8)
\begin{align} dW = - F\ dx = kx\ dx \end{align}

좌우변에 $\int_0^x$ 하면

(9)
\begin{align} U = {1 \over 2} k x^2 \end{align}
(10)
\begin{align} U = {1 \over 2} k A^2 \sin^2 (\omega_0 t - \delta) \end{align}

역학적 에너지 $E$는 운동에너지와 위치에너지의 합이므로

(11)
\begin{align} E = T + U & = {1 \over 2} k A^2 \left[ \cos^2(\omega_0 t - \delta) + \sin^2(\omega_0 t - \delta) \right] \\ & \left\{ E = T + U = {1 \over 2} k A^2 \right\} \end{align}

즉 역학적 에너지 $E$는 진폭 $A$의 제곱에 비례하며, 시간 $t$에는 무관(i.e. 에너지 보존)하다.

주기 $\tau$
입자가 진동하는 시간간격. 식 (6)의 $\sin$ 또는 $\cos$ 의 변수가 $2 \pi$ 차이나는 간격이 곧 주기.
(12)
\begin{align} \omega_0 \tau_0 = 2 \pi \end{align}
(13)
\begin{align} \tau_0 = {2 \pi \over \omega_0} = 2 \pi \sqrt{m \over k} \end{align}

여기서 $\omega_0$를 각진동수[㎮]라 하고, 주기의 역수 $\nu_0$ 를 진동수[㎐]라 한다.

(14)
\begin{Bmatrix} \omega_0 = 2 \pi \nu_0 = \sqrt{k \over m} \\ \nu_0 = {1 \over \tau} = {1 \over {2 \pi}} \sqrt{k \over m} \end{Bmatrix}

주기는 진폭과 무관(i.e. 에너지와 무관)하며, 이 성질을 나타내는 계를 등시성(isochronous)을 갖는다고 한다.

많은 문제에서 단진자의 운동방정식은

(15)
\begin{align} \ddot{\theta} + {\omega_0}^2 \sin \theta = 0 \qquad \left( \omega_0 = \sqrt{{g \over \ell}} \right) \end{align}

으로 나타난다. 이때 $\theta$는 평형상태에서의 각변위이고 $\ell$은 진자의 길이이다.

평형점 근처에서의 진동이 작다고 가정하면 $\sin \theta \simeq \theta, \cos \theta \simeq 1 - \theta^2 /2$ 이므로 조화단진자의 운동방정식은

(16)
\begin{align} \ddot{\theta} + {\omega_0}^2 \theta = 0 \end{align}

예제 3.1: 면 위의 한 점 주위로 질량이 $m$이고 반지름이 $R$인 고체구의 각속도와 진동주기 구하기

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(17)
\begin{align} \vec{N} & = \vec{R} \times \vec{P}, \\ N & = R \sin \theta\ F = I \ddot{\theta} \\ & = Rmg \sin \theta \\ \sin \theta & = \theta - {1 \over {3!}} \theta^3 + \cdots \\ \cos \theta & = 1 - {1 \over {2!}} \theta^2 + \cdots \end{align}
(18)
\begin{align} \ddot{\theta} + {{Rmg} \over I } \theta = 0 \end{align}
(19)
\begin{align} \omega & = \sqrt{{Rmg} \over I} = \sqrt{{5g} \over {7R}} \end{align}

3.3 2차원 조화진동

복원력이 원점에 위치한 힘의 중심에서 입자까지의 거리에 비례하고 원점을 향할 경우

(20)
\begin{align} \vec{F} = - k \vec{r} \end{align}

극좌표로 나타내면

(21)
\begin{cases} F_x = -kr \cos \theta = - kx \\ F_y = -kr \sin \theta = - ky \end{cases}

운동방정식은

(22)
\begin{cases} \ddot{x} + {\omega_0}^2 x = 0 \\ \ddot{y} + {\omega_0}^2 y = 0 \end{cases}

${\omega_0}^2 = k/m$ 을 대입하면

(23)
\begin{cases} x(t) = A \cos (\omega_0 t - \alpha ) y(t) = A \cos (\omega_0 t - \beta ) \end{cases}

운동은 각각 두 방향의 조화단진동으로 분해된다. 두 진동의 진동수는 같으나 진폭과 위상은 다를 수 있다. 입자의 궤도 방정식을 얻기 위해 두 식에서 시간 $t$를 소거한다.

(24)
\begin{align} y(t) & = B \cos \left[ \omega_0 t - \alpha + \left( \alpha - \beta \right) \right] \\ & = B \cos \left( \omega_0 t - \alpha \right) \cos \left( \alpha - \beta \right) - B \sin \left( \omega_0 t - \alpha \right) \sin \left( \alpha - \beta \right) \end{align}

이때 $\delta \equiv \alpha = \beta$ 를 정의한다. $\cos ( \omega_0 t - \alpha ) = x(t) / A$ 를 대입하면

(25)
\begin{align} y = {B \over A} x \cos \delta - B \sqrt{1 - \left({x^2 \over A^2} \right)} \sin \delta \end{align}

또는

(26)
\begin{align} Ay - Bx \cos \delta = B \sqrt{A^2 - x^2} \sin \delta \end{align}

양변을 제곱하면

(27)
\begin{align} A^2 y^2 - 2 ABxy \cos \delta + B^2 x^2 \cos^2 \delta = A^2 B^2 \sin^2 \delta - B^2 x^2 \sin^2 \delta \end{align}
(28)
\begin{align} B^2 x^2 - 2 ABxy \cos \delta + A^2 y^2 = A^2 B^2 \sin^2 \delta \end{align}

이때 만약 $\delta = \pm \pi/2$이면 상기 식은 타원의 방정식이 된다.

(29)
\begin{align} {{x^2} \over {A^2}} + {{y^2} \over {B^2}} = 1, \quad \delta = \pm {\pi \over 2} \end{align}

또한 진폭이 같으면($A = B$) 타원은 원이 된다.

(30)
\begin{align} x^2 + y^2 = A^2, \quad A = B, \delta = \pm {\pi \over 2} \end{align}

$\delta = 0$ 또는 $\delta= \pm \pi$인 경우에는

(31)
\begin{cases} B^2 x^2 - 2 ABxy + A^2 y^2 = (Bx - Ay)^2 = 0, \quad \delta = 0 \\ B^2 x^2 + 2 ABxy + A^2 y^2 = (Bx - Ay)^2 = 0, \quad \delta = \pm \pi \end{cases}
(32)
\begin{cases} y = {B \over A} x, \quad \delta = 0 \\ y = - {B \over A} x, \quad \delta = \pm \pi \end{cases}

각각 기울기가 양과 음인 직선이 된다.

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그러나 일반적인 2차원 진동은 $x$ 방향 운동과 $y$ 방향 운동의 각진동수가 같으라는 보장이 없으므로

(33)
\begin{cases} x(t) = A \cos ( \omega_x t - \alpha) \\ y(t) = B \cos ( \omega_y t - \beta) \end{cases}

두 방향의 각진동수가 서로 다른 운동의 궤도는 타원이 아닌 리사주 곡선(Lissajous curve)을 그린다.

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  • $\omega_x / \omega_y \in \mathbb{Q} \iff$ 리사주 곡선이 폐곡선. 곡선의 형태가 위상차 $\delta = \alpha - \beta$에 종속적이다.
  • $\omega_x / \omega_y \in \mathbb{I} \iff$ 리사주 곡선이 개곡선 i.e. 입자가 같은 점을 동일 속도로 두 번 지나지 않는다. 충분한 시간이 지나면 크기 $2A \times 2B$의 직사각형이 리사주 곡선으로 가득 찬다.

3.4 위상도

1차원 진동자의 운동 상태는 변위 $x(t_0)$ 와 속도 $\dot{x} (t_0)$이 주어지면 시간의 함수로 완전히 정해진다. $x(t_0)$$\dot{x} (t_0)$위상공간(phase space)상의 한 점의 좌표 $P (x, \dot{x})$ 로 생각할 수 있다. 초기 조건이 다르면 진동자의 운동은 다른 위상 궤도로 나타나고, 가능한 모든 위상 궤도를 모으면 진동자의 위상도(phase diagram)가 이루어진다. 조화 단진자에 대하여

(34)
\begin{align} x(t) = A \sin ( \omega_0 t - \delta ) \\ \dot{x}(t) = A \omega_0 \cos ( \omega_0 t - \delta) \end{align}

$t$를 소거하면 궤도방정식을 얻는다.

(35)
\begin{align} {x^2 \over A^2} + {{\dot{x}^2} \over {A^2 {\omega_0}^2 } } = 1 \end{align}

이 방정식은 원점을 중심으로 반지름이 $A$$\omega_0$ 값에 의해 정해지는 타원군을 나타낸다.

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$E = {1 \over 2} k A^2$, ${\omega_0}^2 = k /m$ 이므로

(36)
\begin{align} {{x^2} \over {2E/k}} + {{\dot{x}^2} \over {2E/m}} = 1 \end{align}

어떤 위상궤도도 진동자의 어떤 정해진 역학적 에너지에 대응하며, 이는 계가 보존계이므로 예상된다.

또한 미분방정식의 해는 하나 뿐이므로 위상궤도들은 서로 교차하지 않는다.

3.5 감쇠진동

실제 자연계에서는 감쇠진동(damping oscillation)이 일어난다. 질량 $m$의 입자가 선형 복원력 $F = - kx$ 와 저항력 $F_d = -b \dot{x}$ 의 작용을 받아 감쇠진동할 때 그 운동을 기술하는 미분방정식은

(37)
\begin{align} m \ddot{x} + b \dot{x} + kx = 0 \\ \ddot{x} + 2 \beta \dot{x} + {\omega_0}^2 x = 0 \end{align}

여기서 $\beta \equiv {b \over {2m}}$감쇠계수(damping parameter)

상기 미방의 일반해는

(38)
\begin{align} x(t) = \exp \left( - \beta t \right) \left[ A_1 \exp \left( \beta^2 - {\omega_0}^2 \right) t + A_2 \exp \left( - \sqrt(\beta^2 - {\omega_0}^2) t \right) \right] \end{align}

이때 $\begin{cases} {\omega_0}^2 > \beta^2 \equiv \mathrm{과소감쇠(underdamping)} \\ {\omega_0}^2 = \beta^2 \equiv \mathrm{임계감쇠(critical\ damping)} \\ {\omega_0}^2 < \beta^2 \equiv \mathrm{과대감쇠(overdamping)} \end{cases}$

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과소감쇠진동

(39)
\begin{align} {\omega_1}^2 \equiv {\omega_0}^2 - \beta^2 \end{align}

를 정의한다. ${\omega_1}^2 > 0$ 이므로 식 (30)의 자연상수의 지수가 허수가 된다. 해는 다음과 같다.

(40)
\begin{align} x(t) = A \exp \left( - \beta t \right) \cos (\omega_1 t - \delta) \end{align}

$\omega_1$를 과소감쇠의 각진동수라고 한다. 감쇠가 있는 경우 운동이 주기적이 아니므로, 사실 진동수를 정의할 수 없다. $\omega_1$ 은 인접한 $x$ 축을 통과하는 주어진 주기 $T_1$ 동안만 유의미하다. 감쇠가 작으면 $\omega_1 \cong \omega_0$ 이지만, $\beta \neq 0$ 인 이상 그 의미는 정확하지 않다. 과소감쇠진동의 각진동수는 비감쇠 자유진동의 각진동수보다 언제나 작다. $\omega_1 < \omega_0$

최대 진폭은 $\exp ( - \beta t)$ 가 곱해지므로 시간에 따라 지수적으로 감소하고, 그것을 나타내는 시간에 대한 변위곡선의 포락선은 다음과 같다.

(41)
\begin{align} x_\mathrm{en} = \pm A \exp ( - \beta t) \end{align}

감쇠진동과 비감쇠진동의 그래프를 함께 그리고, 두 개의 인접한 점에서 진폭의 비는

(42)
\begin{align} {{A \exp [ - \beta t ] } \over {A \exp [ - \beta (T + \tau_1) ]}} = \exp \left[ \beta \tau_1 \right] \end{align}

이 값 $\exp [ \beta \tau_1 ]$ 을 진동의 감쇠율(decrement)이라 하고, 그 로그값 $\beta \tau_1$대수감쇠율(logarithmic decrement)이라 한다.

임계감쇠진동

임계감쇠는 $\beta^2 = {\omega_0}^2$ 일 때 발생한다. 보조방정식의 두 근은 중근이고, 함수 $x$는 다음과 같이 쓸 수 있다.

(43)
\begin{align} x(t) = (A + Bt) \exp \left[ - \beta t \right] \end{align}

임계감쇠는 과대감쇠나 과소감쇠보다 더 급속히 평형점에 도달한다. 이러한 성질은 진동계가 가능한 한 빨리 평형으로 돌아와야 하는 물건(e.g. 전류계)을 설계할 때 이 사실이 유용하게 사용된다.

과대감쇠진동

$\beta^2 > {\omega_0}^2$ 이므로 식 (30)의 자연상수의 지수는 실수가 되고

(44)
\begin{align} x(t) = \exp \left[ - \beta t \right] \left[ A_1 \exp \left(\omega_2 t \right) + A_2 \exp \left( - \omega_2 t \right) \right] \end{align}

여기서 $\omega_2 \equiv \sqrt{\beta^2 - {\omega_0}^2}$.
이 운동은 주기적이지 않으므로 $\omega_2$는 각진동수가 아니다. 변위는 완만하게 평형점에 접근한다.

3.6 사인형 구동력

가장 간단한 강제진동의 예: 외부 구동력이 진동자에 가해지는 경우, 합력은

(45)
\begin{align} F = -kx - b \dot{x} + F_0 \cos{\omega t} \end{align}
(46)
\begin{align} m \ddot{x} + b \dot{x} + kx = F_0 \cos{\omega t} \end{align}
(47)
\begin{align} \left\{ \ddot{x} + 2 \beta \dot{x} + {\omega_0}^2 x = A \cos \omega t \right\} \end{align}
(48)
\begin{align} 기본해 x_c (t) = \exp \left( - \beta t \right) \left[ A_1 \exp \left( \beta^2 - {\omega_0}^2 \right) t + A_2 \exp \left( - \sqrt(\beta^2 - {\omega_0}^2) t \right) \right] \end{align}
(49)
\begin{align} 특수해 x_p (t) = D \cos(\omega t - \delta) \end{align}

이것을 운동방정식에 대입하면

(50)
\begin{align} \left\{ A - D \left[ ( {\omega_0}^2 - \omega^2 ) \cos \delta + 2 \omega \beta \sin \delta \right] \right\} \cos \omega t - \left\{ D \left[ ( {\omega_0}^2 - \omega^2 ) \sin \delta - 2 \omega \beta \cos \delta \right] \right\} \sin \omega t = 0 \end{align}

그런데 $\sin \omega t$$\cos \omega t$는 선형독립이므로 이 항들의 계수는 모두 0이 되어야 한다. 그러므로 $\sin$ 의 계수에서

(51)
\begin{align} {{\sin \delta} \over {\cos \delta}} = \tan \delta = {{2 \omega \beta} \over {{\omega_0}^2 - \omega^2}} \end{align}

를 얻어

(52)
\begin{cases} \sin \delta = {{2 \omega \beta } \over {\sqrt{({\omega_0}^2 - \omega^2)^2 + 4 \omega^2 \beta^2}}} \\ \cos \delta = {{{\omega_0}^2 - \omega^2 } \over {\sqrt{({\omega_0}^2 - \omega^2)^2 + 4 \omega^2 \beta^2}}} \end{cases}

를 얻는다. 그리고 $\cos \delta$의 계수에서

(53)
\begin{align} D & = {{A} \over {({\omega_0}^2 - \omega^2)^2 \cos \delta + 2 \omega \beta \sin \delta}} \\ & = {{A} \over {\sqrt{({\omega_0}^2 - \omega^2)^2 + 4 \omega^2 \beta^2}}} \end{align}

를 얻으므로 특수해는

(54)
\begin{align} \left\{ 특수해\ x_p (t) = {{A} \over {\sqrt{({\omega_0}^2 - \omega^2)^2 + 4 \omega^2 \beta^2}}} \cos (\omega t - \delta) \right\} \end{align}

$\delta = \tan^{-1} \left( {{2 \omega \beta} \over {{\omega_0}^2 - \omega^2}} \right)$ 는 구동력과 그 결과 나타나는 운동 사이의 위상차이다. 일반해는

(55)
\begin{equation} x(t) = x_c (t) + x_p (t) \end{equation}

인데 $x_c (t)$ 는 안에 포함된 $\exp \left[ - \beta t \right]$ 때문에 시간과 함께 감쇠한다. $x_p (t)$ 는 아주 큰 $t$ 에서의 정보를 모두 포함하므로

(56)
\begin{align} x(t \gg {1 \over \beta}) = x_p (t) \end{align}

공명현상

진폭공명진동수(amplitude resonance frequency) $\omega_R$
식 (48)에서 얻어진 진폭 $D$ 가 최대가 될 때의 각진동수

진폭공명진동수를 구하기 위해 우선

(57)
\begin{align} \left. {{dD} \over {d \omega}} \right| _{\omega = \omega_R} = 0 \end{align}

이라고 놓고 미분 연산하면

(58)
\begin{align} \omega_R = \sqrt{{\omega_0}^2 - 2 \beta^2} \end{align}

감쇠계수 $\beta$ 가 증가할수록 공명진동수 $\omega_R$ 은 작아진다. $\beta > \omega_0 /2$$\omega_R \notin \mathbb{R}$이기에 공명은 아예 발생하지 않는다. 지금까지 살펴본 여러 경우에 대해 진동수를 비교해 보면

(59)
\begin{align} \begin{matrix} \text{비감쇠 자유진동 식}\ (4) & {\omega_0}^2 = {k \over m} \\ \text{감쇠 자유진동 식}\ (34) & {\omega_1}^2 = {\omega_0}^2 - \beta^2 \\ \text{감쇠 강제진동 식}\ (53) & {\omega_R}^2 = {\omega_0}^2 - 2 \beta^2 \end{matrix} \\ \left\{ \therefore\ \omega_0 > \omega_1 > \omega_R \right\} \end{align}

어떤 진동계의 감쇠 정도를 나타낼 때는 계의 quality factor $Q$ 를 쓴다.

(60)
\begin{align} Q \equiv {{\omega_R} \over {2 \beta}} \end{align}

감쇠가 적으면 $Q$는 아주 크고, 공명곡선의 모양은 비감쇠진동의 모양에 가까워진다. 한편 감쇠가 크고 $Q$가 작아지면 공명은 없어진다.

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식 (53)은 진폭 공명에 대한 진동수이고, 운동에너지 공명에 대한 진동수, 즉 $T$ 가 최대가 되는 $\omega$ 는 따로 있다. 우선 $T = {1 \over 2} m \dot{x}^2$ 이고 $\dot{x}$는 식 (49)에서 계산하면

(61)
\begin{align} \dot{x} = {{-A \omega \sin (\omega t - \delta )} \over {\sqrt{({\omega_0}^2 - \omega^2)^2 + 4 \omega^2 \beta^2} }} \end{align}

이므로 운동에너지는

(62)
\begin{align} T = {{m A^2} \over 2} \cdot {{\omega^2 \cdot \sin^2 (\omega t - \delta )} \over {({\omega_0}^2 - \omega^2)^2 + 4 \omega^2 \beta^2}} \end{align}

이제 시간에 독립적인 $T$를 구해야 한다. $T$를 진동의 2주기에 대해 평균하면

(63)
\begin{align} \left\langle T \right\rangle = {{m A^2} \over 2} \cdot {{\omega^2 \cdot \left\langle \sin^2 (\omega t - \delta ) \right\rangle } \over {({\omega_0}^2 - \omega^2)^2 + 4 \omega^2 \beta^2}} \end{align}

사인함수의 제곱을 1주기에 대해 평균하면

(64)
\begin{align} \left\langle \sin^2 (\omega t - \delta ) \right\rangle = {\omega \over {2 \pi }} \int_0^{{{2 \pi} \over \omega}} \sin^2 ( \omega t - \delta ) dt = {1 \over 2} \end{align}

이므로 ($\left\langle \sin^2 \omega t \right\rangle = \left\langle \cos^2 \omega t \right\rangle = 1/2$)

(65)
\begin{align} \left\langle T \right\rangle = {{m A^2} \over 4} \cdot {{\omega^2 } \over {({\omega_0}^2 - \omega^2)^2 + 4 \omega^2 \beta^2}} \end{align}

$\left\langle T \right\rangle$이 최대가 되는 $\omega$$\omega_E$ 로 쓰고, 이 값은

(66)
\begin{align} \left. {{d \left\langle T \right\rangle} \over {d \omega}} \right|_{\omega = \omega_E} = 0 \end{align}

에서 얻을 수 있다. 식 (58)을 미분하고 그것을 0이라 놓으면

(67)
\begin{align} \omega_E = \omega_0 \end{align}

운동에너지 공명은 비감쇠계의 고유진동수에서 생기는 것을 알 수 있다. 정리하면,

  • 진폭 공명은 $\sqrt{{\omega_0}^2 - 2 \beta^2 }$ 에서 발생한다.
  • 위치에너지는 진폭의 제곱에 비례하므로 위치에너지의 공명도 $\sqrt{{\omega_0}^2 - 2 \beta^2 }$ 에서 발생한다.
  • 운동에너지 공명은 $\omega_0$ 에서 발생한다.

위치에너지 공명과 운동에너지 공명의 진동수가 다른 것은 감쇠진동자가 보존계가 아니기 때문이다. 이때 에너지는 감쇠를 일으키는 매질로 옮겨간다.

3.7 물리계

선형진동과 같은 수학적 표현은 음향계, 원자계 등 더 복잡한 계에도 적용될 수 있다. 그러나 비역학계 진동 중 가장 유명한 예는 전기회로이다. 역학적 진동은 그에 해당하는 등가 전기회로로 분석될 수 있다.

역학적인 양과 그에 대응되는 전기적인 양

역학계 전기계
$x$ 변위 $q$ 전하
$\dot{x}$ 속도 $\dot{q} = I$ 전류
$m$ 질량 $L$ 유도계수
$b$ 감쇠저항 $R$ 저항
$1/k$ compliance $C$ 전기용량
$F$ 강제력의 진폭 $\epsilon$ 기전력의 진폭
$\beta = b/2m$ $R/2L$
$\omega_0 = \sqrt{k/m}$ $1/\sqrt{LC}$
$A = F_0 / m$ $E_0 / L$
예제 3.4:
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중력이 없으면 평형점은 $x=0$ 이지만 중력 $F = mg$ 가 가해지면 용수철은 $h = mg/k$ 만큼 늘어나서 평형점이 $x=h$ 로 변한다.운동방정식은(68)
\begin{align} m \ddot{x} + k(x-h) = 0 \end{align}

해는

(69)
\begin{align} x(t) = h + A \cos \omega_0 t \end{align}

여기서 초기조건은 $x(t = 0) = h + A, \dot{x}(t = 0) = 0$

한편 유도계수 $L$인 유도기와 전기용량 $C$인 축전기, 기전력 $\epsilon$ 인 전지를 연결하면 키르히호프 방정식은

(70)
\begin{align} L {{dI} \over {dt}} + {1 \over C} \int I dt = \epsilon = {{q_1} \over C} \end{align}

여기서 $q_1$ 은 전압 $\epsilon$ 을 내기 위해 $C$에 가해야 할 전하이다. $I = \dot{q}$ 이므로

(71)
\begin{align} L \ddot{q} + {q \over C} = {{q_1} \over C} \end{align}

$t = 0$ 일 때 $q = q_0$, $I = 0$ 이면 그 해는

(72)
\begin{align} q(t) = q_1 + (q_0 - q_1 ) \cos \omega_0 t \end{align}

그리고 식 (67)은 식(64)의 전기적 유사식이다.

예제 3.5:
저항 $R$인 저항기, 유도계수 $L$인 유도기, 전기용량 $C$인 축전기로 이루어진 직렬 RLC 회로가 교류 기전력 $E_0 \sin \omega t$ 를 사용한다.

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회로의 각 구성요소에 걸리는 전압은

(73)
\begin{matrix} V_L = L{{dI} \over {dt}} = L \ddot{q} & V_R = RI = R{{dq} \over {dt}} = R \dot{q} & V_C = {q \over C} \\ & L \ddot{q} + R \dot{q} + {q \over C} = E_0 \sin \omega t & \end{matrix}

하여 식 (42)와 유사한 식을 얻는다. 전하 $q$의 해는 식 (49)에서 얻을 수 있고, 전류 $I$ 에 대한 방정식은 식 (56)에서 얻을 수 있다.

(74)
\begin{align} I = {{-E_0} \over {\sqrt{R^2 + \left({ 1 \over {\omega C}} - \omega L \right)^2}}} \sin(\omega t - \delta) \end{align}

유도기에 걸리는 전압은 전류를 시간에 대해 미분하면

(75)
\begin{align} V_L = L {{dI} \over {dt}} = {{- \omega L E_0} \over {\sqrt{R^2 + \left( {{1} \over {\omega C}} - \omega L \right)^2}}} \cos(\omega t - \delta) \end{align}

3.8 중첩의 원리 - 푸리에 급수

(76)
\begin{align} \ddot{x} + 2 \beta \dot{x} + {\omega_0}^2 x = A \cos \omega t \\ \left( {{d^2} \over {dt^2}} + a {d \over {dt}} + b \right) x(t) = A \cos \omega t \end{align}
(77)
\begin{matrix} {{d^2} \over {dt^2}} + a {d \over {dt}} + b \equiv \mathbf{\mathsf{L}} & (선형\ 연산자) \\ \mathbf{\mathsf{L}} x(t) = F(t) & \end{matrix}

선형 연산자는 덧셈의 분배법칙을 따른다.

(78)
\begin{align} \mathbf{\mathsf{L}} (x_1 + x_2) = \mathbf{\mathsf{L}}(x_1) +\mathbf{\mathsf{L}}(x_2) \end{align}

두 개의 강제력 함수 $F_1 (t), F_2 (t)$$\mathbf{\mathsf{L}} x_1 = F_1 (x), \mathbf{\mathsf{L}} x_2 = F_2(t)$

(79)
\begin{align} \mathbf{\mathsf{L}} ( \alpha_1 x_1 + \alpha_2 x_2 ) = \alpha_1 F_1(x) + \alpha_2 F_2(0) \end{align}
(80)
\begin{align} \mathbf{\mathsf{L}} \left( \sum_{n=1}^N a_n x_n(t) \right) = \sum_{n=1}^2 \alpha_n F_n(t) \end{align}
(81)
\begin{align} x(t) = \sum_{n=1}^N \alpha_n x_n(t) \\ F(t) = \sum_{n=1}^N \alpha_n F_n(t) \end{align}

$F_n (t)$ 각각이 시간에 의존하는 단순조화함수 $\implies$ 대응하는 해는 식 ()로 주어진다.

(82)
\begin{align} F(t) = \sum_n \alpha_n \cos ( \omega_n t - \phi_n ) \end{align}
(83)
\begin{align} 정상해\ x(t) = {1 \over m} \sum_n {{\alpha_n} \over {\sqrt{ ({\omega_0}^2 - {\omega_n}^2 ) ^n + 4 {\omega_n}^2 \beta^2 }}} \cos (\omega_n t - \phi_n - \delta_n ) \end{align}
(84)
\begin{align} \delta_n = \tan^{-1} \left( {{2 \omega_n \beta} \over {{\omega_0}^2 - {\omega_0)^2 a}}} \right) \end{align}

$F(t)$$\tau = {2 \pi} \over \omega$ 인 주기함수라면

(85)
\begin{align} F(t + \tau ) = F(t) \end{align}
(86)
\begin{align} F(T) = {1 \over 2} a_0 + \sum_{n=1}^\infty ( a_n \cos n \omega t + b_n \sin n \omega t ) \end{align}
(87)
\begin{cases} a_n = {2 \over \tau} \int_0^\tau F(t') \cos n \omega t' dt' = {2 \over \tau} \int_{- \pi \over \omega}^{+ \pi \over \omega} F(t') \cos n \omega t' dt' \\ b_n = {2 \over \tau} \int_0^\tau F(t') \sin n \omega t' dt' = {2 \over \tau} \int_{- \pi \over \omega}^{+ \pi \over \omega} F(t') \sin n \omega t' dt\\ \end{cases}

예제 3.6:

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톱니형 구동력 함수 $F(t)$는 기함수로 $F( -t) = - F(t)$

(88)
\begin{align} F(t) = A \cdot { t \over \tau} = {{\omega A} \over {2 \pi}} t, \qquad -{\tau \over 2} < t < {\tau \over 2}, \qquad \tau = {\omega \over {2 \pi}} \end{align}

$F(t)$가 기함수이므로 계수 $a_n$은 모두 0이 된다.

(89)
\begin{align} b_n & = {{\omega^2 A} \over {2 \pi^2}} \int_{-\pi/\omega}^{\pi/\omega} t' \sin n \omega t' dt' \\ & = {{\omega^2 A} \over {2 \pi^2}} \left. \left[ - {{t' \cos n \omega t'} \over {n \omega}} + {{\sin n \omega t'} \over {n^2 \omega^2}} \right] \right|_{-\pi/\omega}^{\pi/\omega} \\ & = {{\omega^2 A} \over {2 \pi^2}} \cdot {{2 \pi} \over {n \omega^2}} \cdot (-1)^{n+1} = {{A} \over {n \pi }} (-1)^{n+1} \end{align}

$F(t)$를 푸리에 급수로 나타내면

(90)
\begin{align} F(t) = {A \over \pi} \left[ \sin \omega t - {1 \over 2} \sin 2 \omega t + {1 \over 3} 3 \omega t - \cdots \right] \end{align}
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3.9 충격형 강제력 함수에 대한 선형 진동자의 응답

불연속적으로 작용하는 구동력을 받는 선형 진동자의 과도적인 거동을 조사한다.

감쇠진동자의 운동 미분방정식은

(91)
\begin{align} \ddot{x} + 2 \beta \dot{x} + {\omega_0}^2 x = {{F(t)} \over m} \end{align}

일반해는 기본해와 특수해로 이루어지고

(92)
\begin{equation} x(t) = x_c (t) + x_p (t) \end{equation}
(93)
\begin{align} 기본해\ x_c (t) = \exp \left( - \beta t \right) \left[ A_1 \cos \omega_1 t + A_2 \sin \omega_1 t \right] \end{align}

여기서 $\omega_1 \equiv \sqrt{{\omega_0}^2 - \beta^2}$

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계단함수 $H$와 충격함수 $I$는 다음과 같이 주어진다.

(94)
\begin{align} H(t; t_0) = \begin{cases} 0, & t < t_0 \\ a, & t > t_0 \end{cases} \end{align}
(95)
\begin{align} I(t; t_0, t,1) & = H(t; t_0) - H(t; t_1) \\ & = \begin{cases}0, & t < t_0 \\ a, & t_0 < t < t_1 \\ 0, & t > t_1 \end{cases} \end{align}

$t_0$은 힘을 받기 시작하는 시간이고 $a$는 가속도의 차원을 갖는 상수이다.

계단함수에 대한 응답

계단함수에 대해 $t > t_0$인 경우 운동을 기술하는 미분방정식은

(96)
\begin{align} \ddot{x} + 2 \beta \dot{x} + {\omega_0}^2 = a, \qquad t > t_0 \end{align}

초기 조건은 $x(t_0) = 0, \dot{x}(t_0) = 0$이고 특수해는 $a / {\omega_0}^2$
$t > t_0$ 에서의 일반해는

(97)
\begin{align} s(t > t_0) = \exp \left[ - \beta(t - t_0) \right] \left[ A_1 \cos \omega_1 (t - t_0) + A_2 \sin \omega_1 ( t - t_0 ) \right] + {{a} \over {{\omega_0}^2}} \end{align}

여기에 초기조건을 적용하면

(98)
\begin{align} A_1 = - {{a} \over {{\omega_0}^2}}, \quad A_2 = - {{\beta a} \over {{\omega_1}{\omega_0}^2}} \end{align}
(99)
\begin{align} \therefore\ x(t>t_0) = {{a} \over {{\omega_0}^2}} \left[ 1 - \exp \left[ - \beta ( t - t_0 ) \right] \cos \omega_1 (t -t_0 ) - {{\beta \exp \left[ - \beta ( t - t_0 ) \right] } \over {\omega_1}} \sin \omega_1 ( t - t_0) \right] \\ x( t< t_0 ) = 0 \end{align}

$t_0$ = 0 을 취하면

(100)
\begin{align} x(t) = {{H(0)} \over {{\omega_0}^2} } \left[ 1 - \exp \left[ - \beta t \right] \cos \omega_1 t - {{\beta \exp \left[ - \beta t \right]} \over {\omega_1}} \sin \omega_1 t \right] \end{align}

또한 감쇠가 없을 경우에는 $\beta = 0, \omega_1 = \omega_0$ 이므로 $x = 0$$x = 2a / {\omega_0}^2$ 을 진폭의 양 끝으로 하는 사인함수가 된다.

(101)
\begin{align} x(t) = {{H(0)} \over {{\omega_0}^2}} \left[ 1 - \cos \omega_0 t \right], \quad \beta = 0 \end{align}
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충격함수에 대한 응답

충격함수를 시간간격 $t_1 - t_0 = \tau$ 만큼 떨어진 두 개의 계단함수의 차이로 생각하면, 그 일반해는 두 개의 계단함수에 대해 따로따로 구한 해를 중첩하면 된다.

(102)
\begin{align} x(t > t_1) & = {{a} \over {{\omega_0}^2}} \left[ 1 - \exp \left[ - \beta ( t - t_0) \right] \cos \omega_1 (t -t_0 ) - {{\beta \exp \left[ - \beta ( t - t_0 ) \right] } \over {\omega_1}} \sin \omega_1 ( t - t_0) \right] \\ & \quad - {{a} \over {{\omega_0}^2}} \left[ 1 - \exp \left[ - \beta ( t - t_0 - \tau ) \right] \cos \omega_1 (t -t_0 - \tau) \right. \\ & \left. - {{\beta \exp \left[ - \beta ( t - t_0 - \tau ) \right] } \over {\omega_1}} \sin \omega_1 ( t - t_0 - \tau ) \right] \\ & = {{a \exp \left[ - \beta (t - t_0) \right] } \over {{\omega_0}^2}} \left[ \exp \left[ \beta \tau \right] \cos \omega_1 ( t - t_0 - \tau ) - \cos \omega_1 ( t - t_0 ) \right. \\ & \left. + {{\beta \exp \left[ \beta \tau \right] } \over {\omega_1}} \sin \omega_1 ( t - t_0 - \tau) - {{\beta} \over {\omega_1}} \sin \omega_1 (t - t_0 ) \right] \end{align}

이러저러하면

(103)
\begin{align} x(t > t_0 ) & = {{a \exp \left[ - \beta ( t - t_0 ) \right] } \over { {\omega_0}^2 }} \sin \omega_1 (t - t_0 ) \left[ \omega_1 \tau + {{\beta^2 \tau} \over {\omega_1}} \right] \\ & = {{b} \over {\omega_1}} \exp \left[ - \beta ( t - t_0 ) \right] \sin \omega_1 ( t - t_0 ), \qquad \tau = {{b} \over {a}} \end{align}
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충격함수의 작용시간을 0에 근접시키면($\tau \rightarrow 0$) 응답함수는 아주 작아지지만 곱 $at$가 일정하도록 작용시간을 0에 근접시키는 동시에 $a \rightarrow \infty$로 취하면 응답은 유한해진다. 이런 특수한 극한은 $t=t$에서 "뾰족한($\tau \ll 2 \pi / \omega_1$)" 구동력을 근사적으로 적용하기 때문에 아주 중요하다. 이런 형태의 "뾰족함"을 보통 델타 함수 $\delta (t - t_0 )$라고 부른다.

(104)
\begin{align} x(t) & = {{a e^{- \beta (t - t_0) }} \over {\omega_0}^2 } \left\{ e^{\beta \tau} [ \cos \omega_1 (t - t_0) \cos \omega_1 \tau + \sin \omega_1 (t - t_0) \sin \omega_1 \tau ] \right. \\ & - \cos \omega_1 (t - t_0) + {{\beta e^{\beta \tau} } \over \omega_1 } [ \sin \omega_1 (t - t_0 ) \cos \omega_1 \tau - \cos \omega_1 ( t - t_0 ) \sin \omega_1 \tau ] \\ & \left. - { \beta \over \omega_1 } \sin \omega_1 ( t - t_0 ) \right\}, \qquad t > t_0 \end{align}

지수, 코사인, 사인을 테일러 전개하고 첫 2개 항만을 취한다. $\tau$를 포함한 모든 항을 곱하고 $\tau$의 낮은 지수항만 고려하면

(105)
\begin{align} x(t) & = {{a e^{- \beta ( t - t_0 ) }} \over {\omega_0}^2 } \sin \omega_1 (t - t_0) \left[ \omega_1 \tau + {{ \beta^2 \tau} \over \omega_1 } \right], \quad t > t_0 \\ & = {b \over \omega_1} e^{- \beta (t - t_0) } \sin \omega_1 (t -t_0), \quad t > t_0 \end{align}
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충격형 구동력에 대한 선형 진동자의 응답을 이렇게 간단한 모양으로 나타낼 수 있다는 사실에서, 조지 그린(1793년-1841년)이 일반적인 강제력 함수를 다루는 유력한 방법을 발견했다.

(106)
\begin{align} \ddot{x} +2 \beta \dot{x} + {\omega_0}^2 x = \sum_{n=- \infty}^\infty {{ F_n (t) } \over m} = \sum_{n=- \infty}^\infty I_n (t) \end{align}

여기서

(107)
\begin{align} I_n (t) = I ( t_n , t_{n+1} ) = \begin{cases} a_n (t_n) & t_n < t < t_{n+1} \\ 0, & \mathrm{otherwise} \end{cases} \end{align}

$I_n$이 작용하는 시간간격은 $t_{n+1} - t_n = \tau \ll 2 \pi / \omega_1$.
$n$번째 충격에 대한 해는

(108)
\begin{align} x_n (t) = {{ a_n (t_n) \tau } \over \omega_1 } e^{- \beta ( t-t_n) } \sin \omega_1 (t - t_n ) , \quad t > t_n + \tau \end{align}

$N$번째 충격도 포함하여 거기까지의 모든 충격에 대한 해는

(109)
\begin{align} s(t) = \sum_{n= - \infty}^N {{a_n (t_n) \tau } \over \omega_1 } e^{- \beta (t - t_n) } \sin \omega_1 ( t - t_n) , \quad t_N < t < t_{N+1} \end{align}

시간간격$\tau$를 0에 접근시키고 $t_n$$t'$로 쓰면 합은 적분으로 바뀌고

(110)
\begin{align} x (t) & = \int_{- \infty}^t {{a(t')} \over \omega_1} e^{- \beta ( t- t') } \sin \omega_1 ( t- t' ) dt' \\ G(t, t') & \equiv \begin{cases} {1 \over {m \omega_1}} e^{- \beta(t -t') \sin \omega_1 (t - t')}, & t \ge t' \\ 0 & t < t' \end{cases} \end{align}

를 정의하면 $ma(t') = F(t')$이므로

(111)
\begin{align} x(t) = \int_{-\infty}^t F(t') G(t, t') dt' \end{align}

를 갖게 된다. 함수 $G(t, t')$는 선형진동방정식에 대한 그린 함수라고 한다. 마지막 식으로 표시된 해는 진동자가 처음에 평형위치에서 정지되어 있을 경우에만 정답이다. 왜냐하면 단일충격에 대해 사용한 해가 그런 초기 조건으로 구해졌기 때문이다.