2. 뉴턴역학

2.1 서론

이 장에서 다루는 것: 단일 입자의 운동

2.2 뉴턴의 법칙

1. 관성의 법칙
외부에서 힘이 작용하지 않는 한, 물체는 정지 또는 일정한 운동을 계속한다

→ 힘이 뭐임? 제1법칙은 기준계에 대한 설명, 기준계 설명을 위해 힘의 개념 도입

2. 가속도의 법칙
힘의 작용을 받은 물체는 그 운동량의 시간적 변화율이 받은 힘과 같도록 운동한다.

→ 제2법칙에서 힘을 정의. $\vec{F} = {d \over {dt}} \vec{P} \\ \vec{P} = m \vec{v}$

3. 작용 반작용의 법칙
두 물체가 서로 힘을 미칠 때 이 두 힘은 크기가 같고 방향이 반대이다

→ 뉴턴은 모든 것을 힘을 통해 기술 $\vec{F}_1 = - \vec{F}_2 \\ \Rightarrow {d \over {dt}}\vec{P}_1 + {d \over {dt}}\vec{P}_2 = 0 \\ \Rightarrow m_1 \ {{d \vec{v}_1} \over {dt}} + m_2 {{d \vec{v}_2} \over {dt}} = 0 \\ \Rightarrow m_1 \vec{a}_1 + m_2 \vec{a}_2 = 0$

           $\therefore \vec{P}_1 + \vec{P}_2 = \rm{constant}$ : 운동량 보존법칙

2.3 기준계

뉴턴의 법칙이 작용하는 계를 곧 관성계라 한다.
우리가 사는 실세계는 지구의 자전, 태양계 공전 등의 운동이 작용하는 비관성계이다.

어떤 기준계에서 법칙(이 경우 뉴턴의 법칙)이 성립하면, 이 계에 대해서 비가속 등속 운동하는 모든 계에 대해서도 그 법칙은 성립한다. i.e. 운동방정식 $\vec{F} = m \ddot{\vec{r}}$$\vec{r}$에 대한 2차 시간미분밖에 포함하지 않으므로, 일정 속도로 좌표가 변환해도 방정식이 영향을 받지 않는다는 것이다. 이를 갈릴레이 불변성 또는 뉴턴의 상대성 원리라고 한다.

어떤 좌표계가 가속도를 가지고 있다면 그 좌표계 안의 물체는 아무런 힘이 작용하지 않을 때도 가속도를 갖게 되어 뉴턴의 1법칙에 어긋난다.

만약 가속도를 갖는 좌표계를 기본 좌표계로 선택하였다면 물리 법칙은 다른 형태로 발전했을 것이며 힘의 정의도 달라졌을 것이다. 즉, 관성 좌표계는 자연계를 뉴턴 역학으로 기술하기 위한 가장 기본적인 장치이다.

2.4 운동방정식

질량 $m$이 시간에 따라 변하지 않을 때

(1)
\begin{align} \vec{F} & = {{d \vec{p}} \over dt} = {d \over {dt}}\ (m \vec{v}) = m\ {{d \vec{v}} \over {dt}} = m \ddot{\vec{r}} \end{align}

예제 2.1: 벽돌이 마찰이 없는 경사각 $\theta = 30^\circ$ 인 고정된 면을 미끄러져 내릴 때 벽돌의 가속도는?

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(2)
\begin{align} \sum \vec{F} = \vec{F}_g + \vec{N} = m \ddot{\vec{r}} \end{align}

이 벡터를 두 개 방향으로 나누면, $y$방향으로는 그쪽으로 가속도가 없기에 힘의 성분이 0이다.

(3)
\begin{align} \vec{F}_y & = - \vec{F}_g \cos \theta + \vec{N} = 0 \\ \vec{F}_x & = \vec{F}_g \sin \theta = m \ddot{x} \end{align}
(4)
\begin{align} \ddot{x} & = {{ F_g} \over m} \sin \theta = {{ mg \sin \theta} \over m} = g \sin \theta \\ & = g \sin ( 30^\circ ) = {g \over 2} = 4.9\ \mathrm{m/s^2} \end{align}

벽돌이 거리 $x_0$에서 정지 상태로 경사를 미끄러져 내려온다면 그 속도를 식 (4)에 곱하고 적분해서 구할 수 있다.

(5)
\begin{align} 2 \dot{x} \ddot{x} & = 2 \dot{x} g \sin \theta \\ {d \over {dt}} ( {\dot{x}}^2 ) & = 2g \sin \theta {{dx} \over {dt}} \\ \int_0^{{v_0}^2} d ( { \dot{x} }^2 ) & = 2 g \sin \theta \int_0^{x_0} dx \\ {v_0}^2 & = 2g \sin \theta x_0 \\ v_0 & = \sqrt{ 2g \sin \theta x_0 } \end{align}

예제 2: 앞 문제에서 벽돌과 경사면 사이에 정지마찰계수 $\mu_s = 0.4$ 가 있다면 벽돌이 정지 상태에서 미끄러지기 시작할 때의 경사각은?

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정치마찰력의 근사적 최대값은

(6)
\begin{align} f_\mathrm{max} = \mu_s N \end{align}

이며 이것을 성분으로 분해하면

(7)
\begin{align} - F_g \cos \theta + N & = 0 \\ -f_s + F_g \sin \theta & = m \ddot{x} \end{align}

$\ddot{x} = 0$ i.e. 벽돌의 정지상태를 유지하기 위해 요구되는 정지마찰력은 $f_s \le f_\mathrm{max}$ 그러나 $\theta$가 증가함에 따라 정지마찰력은 정지상태를 유지시키지 못하게 되며 그 임계 각도를 $\theta'$ 라 하면

(8)
\begin{align} f_s ( \theta = \theta ' ) & = f_\mathrm{max} = \mu_s N = \mu_s F_g \cos \theta \end{align}
(9)
\begin{align} m \ddot{x} & = F_g \sin \theta - f_\mathrm{max} \\ & = F_g \sin \theta - \mu_s F_g \cos \theta \\ \ddot{x} & = g ( \sin \theta - \mu_s \cos \theta ) \end{align}

벽돌이 미끄러지기 직전 가속도가 $\ddot{x} = 0$ 이므로

(10)
\begin{align} \sin \theta - \mu_s \cos \theta & = 0 \\ \tan \theta = \mu_s & = 0.4 \\ \theta = \tan^{-1} (0.4) & = 22^\circ \end{align}

방해력의 효과

입자가 일정한 중력장 속을 낙하할 때 중력은 $\vec{F}_g = m \vec{g}$이나, 만일 순간 속도의 함수인 저항력 $\vec{F}_r$이 존재한다면

(11)
\begin{align} \sum \vec{F} & = \vec{F}_g +\vec{F}_r \\ & = m \vec{g} + \vec{F}_r (v) \\ & = m \vec{g} - m k v^n { \vec{v} \over v} \end{align}

예제 2.4: 속도에 비례하는 감쇠력을 나타내는 매질 속에서의 수평 운동의 변위와 속도

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(12)
\begin{align} ma = m {{dv} \over {dt}} = - kmv \end{align}
(13)
\begin{align} \int {{dv} \over v} & = - k \int dt \\ \ln v & = - kt +C_1 \end{align}

초기조건 $v(t=0) \equiv v_0$을 주면 적분상수를 계산할 수 있어서 $C_1 = \ln v_0$

(14)
\begin{align} v & = v_0 \exp \left[ - kt \right] = {{dx} \over {dt}} \\ x & = v_0 \int \exp \left[ - kt \right] dt = - {v_0 \over k} \exp \left[ - kt \right] + C_2 \end{align}

초기조건 $x(t=0) \equiv 0$으로부터 $C_2 = v_0 / k$

(15)
\begin{align} x & = {v_0 \over k} ( 1 - \exp \left[ - kt \right] ) \\ \lim_{t \rightarrow \infty} x & = {v_0 \over k} \end{align}

또한 다음과 같이 쓰면 속도를 변위의 함수로 구할 수 있다.

(16)
\begin{align} {{dv} \over {dx}} & = {{dv} \over {dt}} {{dt} \over {dx}} = {{dv} \over {dt}} \cdot {1 \over v} \\ v {{dv} \over {dx}} & = {{dv} \over {dt}} = - kv \\ {{dv} \over {dx}} & = - k \end{align}

조금 전과 같은 초기조건을 쓰면

(17)
\begin{equation} v = v_0 - kx \end{equation}

즉 속도는 변위에 비례해서 감소한다.

예제 2.5: 속도에 비례하는 감쇠력을 가진 매질 속에서 수직 운동을 하는 입자의 변위와 속도 구하기

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높이 $h$로부터 초속도 $v_0$로 낙하하는 입자의 $z$방향 운동방정식은

(18)
\begin{align} F = m{{dv} \over {dt}} = - mg - kmv \end{align}

$z, z=\dot{z}$는 위의 방향이 양이고 운동 방향이 아래 방향이므로 $v < 0, - kmv >0$

(19)
\begin{align} {{dv} \over {kv + g}} = - dt \end{align}

이를 적분해서 $v (t=0) \equiv v_0$로 놓으면

(20)
\begin{align} {1 \over k} \ln ( kv + g ) & = - t +c \\ kv + g & = \exp \left[ - kt + kc \right] \\ v & = {{dz} \over {dt}} = - {g \over k} + {{k v_0 +g} \over k} \exp \left[ - kt \right] \end{align}

다시 한번 적분하고 $z(t = 0) \equiv h$로 놓으면

(21)
\begin{align} z & = h - {{gt} \over k} + {{k v_0 + g} \over k^2 } \left( 1 - \exp \left[ - kt \right] \right) \\ \lim_{t \rightarrow \infty} z & = - {g \over k} \end{align}

속도의 시간 극한값을 종속도(terminal velocity) $v_t$라고 한다. 종속도에 도달하면 힘이 0이 되고 가속도도 없어진다. 만약 초속도의 절대값이 종속도의 절대값을 초과하면 물체는 즉시 감속하기 시작하며 속도는 반대 방향으로부터 종속도에 접근한다.

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예제 2.6: 2차원에서의 발사체 운동

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(22)
\begin{align} \vec{F} & = m \vec{g} \\ F_x & = m \ddot{x} = 0 \\ F_y & = m \ddot{y} = - mg \end{align}

$x(t = 0) = y(t = 0) = 0$을 가정하면

(23)
\begin{cases} \ddot{x} & = 0 \\ \dot{x} & = v_0 \cos \theta \\ x & = v_0 t \cos \theta \end{cases} \begin{cases} \ddot {y} & = - g \\ \dot{y} & = - gt + v_0 \sin \theta \\ y & = {{ - gt^2} \over 2 } +v_0 t \sin \theta \end{cases}

시간함수로서 속력과 총 변위는

(24)
\begin{align} \sqrt{ \dot{x}^2 + \dot{y}^2 } & = ( {v_0}^2 + g^2 t^2 - 2 v_0 gt \sin \theta )^{1/2} \\ \sqrt{ x^2 + y^2 } & = \left( {v_0}^2 t^2 +{{g^2 t^4} \over 4} - v_0 g t^3 \sin \theta \right)^{1/2} \end{align}

도달거리는 발사체가 땅에 떨어질 때 i.e. $y=0$일 때 $x$값이다.

(25)
\begin{align} y = t \left( {{-gt} \over 2} + v_0 \sin \theta \right) = 0 \end{align}

해의 하나는 $y(t = 0) = 0$이고, 다른 하나는

(26)
\begin{align} y(t = T) = {{- gT} \over 2 } +v_0 \sin \theta \end{align}

도달거리는

(27)
\begin{align} x(t = T) = R & = {{2 {v_0}^2 } \over g} \sin \theta \cos \theta \\ & = { {v_0}^2 \over g} \sin 2 \theta \end{align}

$\theta = 45^\circ$일 때 최대 도달거리가 됨.

섭동 근사

예제 2.7: 예제 2.6에서 공기 저항 고려하기

초기조건은 예제 2.6과 같다.

(28)
\begin{cases} x(t=0) & = 0 = y(t=0) \\ \dot{x} (t=0) & = v_0 \cos \theta \equiv U \\ \dot{y} (t=0) & = v_0 \sin \theta \equiv V \end{cases}

운동방정식은

(29)
\begin{align} m \ddot{x} & = - k m \dot{x} \\ m \ddot{y} & = - k m \dot{y} - mg \end{align}

$x$에 대한 미방식은 예제 2.4와 똑같다. 즉

(30)
\begin{align} x = {U \over k} (1 - e^{-kt}) \end{align}

마찬가지로 $y$에 대한 미방식은 예제 2.5에서와 같고 다만 거기서 $h=0$으로 놓으면 된다.

(31)
\begin{align} y = - {{gt} \over k} + {{kV + g} \over k^2} ( 1 - e^{-kt} ) \end{align}
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전체 비행시간은 궤도 끝에서 $y=0$일 때 $t=T$임에 주의하면 얻어진다.

(32)
\begin{align} T = {{kV + g} \over {gk}} ( 1 - e^{- kT} ) \end{align}

이것은 초월방정식이므로 해석적인 해를 얻을 수 없다. 이런 문제를 풀 때는 섭동법 또는 수치계산법을 이용한다.

섭동법을 사용하기 위해서는 작은 전개매개변수 또는 상호작용상수를 찾아야 한다. 이 경우 방해력 상수 $k$가 그런 매개변수가 된다. 위의 전체 비행시간 식을 $k^n$ 급수로 전개하고 낮은 항만 고려한다.

(33)
\begin{align} T & = {{kV + g} \over {gk}} \left( kT - {1 \over 2} k^2 T^2 + {1 \over 6} k^3 T^3 - \cdots \right) \\ & \approx {{2V/g} \over {1 + kV/g}} + {1 \over 3} k T^2 \end{align}

우변 제1항의 분모에 매개변수 $k$가 있어서 이것을 전개할 필요가 있다.

(34)
\begin{align} {1 \over {1 + kV/g}} = 1 - (kV/g) +(kV/g)^2 - \cdots \end{align}

이걸 위에 대입하고 $k$의 1차항만 고려하면

(35)
\begin{align} T = {{2V} \over g} + \left( {T^2 \over 3} - {{2V^2} \over g^2 } \right) k + O(k^2) \end{align}
(36)
\begin{align} \lim_{k \rightarrow 0} T (k) = T_0 = {{2V } \over g} = {{2 v_0 \sin \theta} \over g} \end{align}

따라서 $k$값이 작으면(그러나 0은 아님) 비행시간은 근사적으로 $T_0$와 같다.

(37)
\begin{align} \therefore\ T \cong {{2V} \over g} \left( 1 - {{kV} \over {3g}} \right) \end{align}

다음으로 $x$ 식을 전개하면

(38)
\begin{align} x = {U \over k} \left( kt - {1 \over 2} k^2 t^2 + {1 \over 5} k^3 t^3 - \cdots \right) \end{align}
(39)
\begin{align} R' = x(t = T) \cong U \left( T - {1 \over 2} k T^2 \right) = {{2UV} \over g} \left( 1 - {{4 kV} \over {3g}} \right) \end{align}

한편 $2 UV/g$는 초기조건을 대입하면

(40)
\begin{align} {{2UV} \over g} = {{2 {v_0}^2 } \over g} \sin \theta \cos \theta = {{v_0}^2 \over g} \sin 2 \theta = R \end{align}

이것은 공기저항을 무시할 수 있는 경우의 발사체의 도달거리 $R$이므로 결국

(41)
\begin{align} R' \cong R \left( 1 - {{4 k V} \over {3g}} \right) \end{align}

식 (34)의 테일러 전개는 $kV /g < 1$ 또는 $k < g/V$가 아니면 수렴하지 않는다. 즉 실제로 $k \ll g/V = g/ (v_0 \sin \theta )$인 경우가 좋다.

수치계산법은 컴퓨터를 사용해 여러 가지 방법으로 실제 결과들을 얻어내는 것이다. 그래프를 보면 방해력 상수 $k = 0.005\ \mathrm{s}^{-1}$ 보다 큰 경우에는 수치계산 결과와 근사계산 결과가 크게 차이나는 것을 알 수 있다.

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역학의 다른 예

예제 2.9: 애트우드 기계 — 끈의 질량과 도르래 마찰을 무시했을 때 물체의 가속도와 끈의 장력 구하기

(a) 도르래가 정지해 있을 때

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(42)
\begin{cases} m_1 \ddot{x}_1 & = m_1 g - T \\ m_2 \ddot{x}_2 & = m_2 g - T \end{cases}

끈이 늘어지지 않는다면 $\ddot{x}_2 = - \ddot{x}_1$이고,

(43)
\begin{align} m_1 \ddot{x}_1 & = m_1 g - (m_2 g - m_2 \ddot{x}_2 ) \\ & = m_1 g - ( m_2 g + m_2 \ddot{x}_1 ), \\ \implies \ddot{x}_1 & = {{g(m_1 - m_2) } \over {m_1 + m_2}} = - \ddot{x}_2 \end{align}

$m_1 > m_2$이면 $\ddot{x}_1 > 0, \ddot{x}_2 < 0$

장력은

(44)
\begin{align} T & = m_1 g - m_1 \ddot{x}_1 \\ & = m_1 g - m_1 g {{ ( m_1 - m_2 ) } \over {m_1 + m_2 }} \\ & = {{2 m_1 m_2 g} \over {m_1 + m_2 }} \end{align}

(b) 도르레가 일정한 가속도 $\alpha$로 하강하는 승강기 속에 있을 때

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도르레 중심에 원점을 둔 좌표계는 관성계가 아니므로(도르레 전체가 승강기를 따라 움직임) 승강기 축 위에 원점을 둔 새 관성계가 필요하다($x_1 '' = x_1 ' , x_2 '' = x_2 ' + x_2$). 이 관성계에서의 운동방정식은

(45)
\begin{cases} m_1 \ddot{x}_1 '' & = m_1 ( \ddot{x}_1 ' + \ddot{x}_1 ) = m_1 g - T \\ m_2 \ddot{x}_2 '' & = m_2 ( \ddot{x}_2 ' + \ddot{x}_2 ) = m_2 g - T \end{cases}
(46)
\begin{cases} m_1 \ddot{x}_1 & = m_1 g - T - m_1 \ddot{x}_1 ' = m_1 (g - \alpha ) - T \\ m_2 \ddot{x}_2 & = m_2 g - T - m_2 \ddot{x}_2 ' = m_2 (g - \alpha ) - T \end{cases}

여기서 $\ddot{x}_1 ' = \ddot{x}_2 ' = \alpha$. $\ddot{x}_2 = - \ddot{x}_1$이므로

(47)
\begin{align} \ddot{x}_1 = - \ddot{x}_2 = (g - \alpha ) {{( m_1 - m_2)} \over { m_1 + m_2}} \end{align}
(48)
\begin{align} T = {{2 m_1 m_2 (g - \alpha) } \over {m_1 + m_2}} \end{align}

마치 (a)에 비해 중력가속도가 승강기 가속도 $\alpha$ 만큼 감소한 것과 같은 효과가 나온다. 반대로 상승하는 승강기라면 가속도가 $\alpha$ 만큼 증가할 것임은 자명.

2.5 보존정리

선운동량의 보존

입자가 자유 상태 i.e. 힘을 받지 않으면 $\dot{\vec{p}} = 0$ 이므로 $\vec{p}$는 시간적으로 불변

각운동량의 보존

각운동량의 정의
$\vec{L} \equiv \vec{r} \times \vec{p}$
회전력의 정의
$\vec{N} \equiv \vec{r} \times \vec{F} = \vec{r} \times m \dot{\vec{v}} = \vec{r} \times \dot{\vec{p}}$
(49)
\begin{align} \dot{\vec{L}} = {d \over {dt}} (\vec{r} \times \vec{p}) = (\dot{\vec{r}} \times \vec{p}) + (\vec{r} \times \dot{\vec{p}} \end{align}
(50)
\begin{align} \dot{\vec{r}} \times \vec{p} = \dot{\vec{r}} \times m \vec{v} = m ( \dot{\vec{r}} \times \dot{\vec{r}} ) \equiv 0 \end{align}
(51)
\begin{align} \therefore \dot{\vec{L}} = \vec{r} \times \dot{\vec{p}} = \vec{N} \end{align}

회전력이 없으면 i.e. $\vec{N} = 0$이면 $\dot{\vec{L}} = 0$이고 $\vec{L}$은 시간적으로 불변

에너지 보존

일의 정의
$W_{12} \equiv \int^2_1 \vec{F} \cdot d \vec{r}$
(52)
\begin{align} \vec{F} \cdot d \vec{r} = m {{d \vec{v}} \over {dt}} \cdot {{d \vec{r}} \over {dt}} dt = m {{d \vec{v}} \over {dt}} \cdot \vec{v} dt = {m \over 2} {d \over {dt}} (\vec{v} \cdot \vec{v}) dt = {m \over 2} {d \over {dt}} (v^2) dt = d \left( {1 \over 2} m v^2 \right) \end{align}
(53)
\begin{align} W_{12} = \left. \left( {1 \over 2} m v^2 \right) \right|^2_1 = {1 \over 2}m({v_2}^2 - {v_1}^2) = T_2 - T_1 \end{align}
운동 에너지
$T \equiv {1 \over 2}m v^2$, $T_1 > T_2$이면 $W_{12} < 0$으로 일을 한 것이 되고 운동 에너지는 감소
위치 에너지
입자를 힘 $\vec{F}$에 의해 위치 1에서 위치 2로 움직이는 데 필요한 일. $\int^2_1 \vec{F} \cdot d \vec{r} \equiv U_1 = U_2$
(54)
\begin{align} \vec{F} = - \vec{\operatorname{grad}}\ U = - \vec{\nabla} U, \quad \vec{F} + \vec{\nabla} U = 0 \end{align}
(55)
\begin{align} \int^2_1 \vec{F} \cdot d \vec{r} = - \int^2_1 ( \vec{\nabla} U) \cdot d \vec{x} = - \int^2_1 dU = U_1 = U_2 \end{align}
총 에너지
운동 에너지와 위치 에너지의 합. $E \equiv T + U$
(56)
\begin{align} {{dE} \over {dt}} = {{dT} \over {dt}} + {{dU} \over {dt}} \end{align}
(57)
\begin{align} {{dT} \over {dt}} = \vec{F} \cdot {{d \vec{r}} \over {dt}} = \vec{F} \cdot \dot{\vec{r}} \quad \left[ \because \vec{F} \cdot d \vec{r} = d \left( {1 \over 2} m v^2 \right) \right] \end{align}
(58)
\begin{align} {{dU} \over {dt}} = \sum_i {{\partial U} \over {\partial x_i}}{{d x_i} \over {dt}} + {{\partial U} \over {\partial t}} = \sum_i {{\partial U} \over {\partial x_i}} \dot{x_i} + {{\partial U} \over {\partial t}} = (\nabla U) \cdot \dot{\vec{r}} + {{\partial U} \over {\partial t}} \end{align}
(59)
\begin{align} {{dE} \over {dt}} = \vec{F} \cdot \dot{\vec{r}} + (\nabla U) \cdot \dot{\vec{r}} + {{\partial U} \over {\partial t}} = (\vec{F} + \nabla U) \cdot \dot{\vec{r}} + {{\partial U} \over {\partial t}} \end{align}
(60)
\begin{align} {{dE} \over {dt}} = {{\partial U} \over {\partial t}} \quad \left( \because \vec{F} + \nabla U = 0 \right) \end{align}

${{\partial U} \over {\partial t}} = 0$일 때 $\vec{F}$로 표현되는 역장을 보존장이라 한다. 보존역장에서 입자의 총 에너지 $E$는 시간에 대해 일정하다.

2.6 에너지

(61)
\begin{align} E & = T + U \\ & = {1 \over 2} m v^2 + U(x) \end{align}

퍼텐셜 $U(x)$ 는 어떤 평형점($x = 0$) 주변에서 테일러 급수로 표현할 수 있다.

(62)
\begin{align} U(x) = U_0 + x \left( {{dU} \over {dx}} \right)_0 + {{x^2} \over {2!}}\left( {{d^2 U} \over {dx^2}} \right)_0 + {{x^3} \over {3!}}\left( {{d^3 U} \over {dx^3}} \right)_0 + \cdots \end{align}
(63)
\begin{align} \left( {{dU} \over {dx}} \right)_0 = 0 \qquad 평형점 \end{align}
(64)
\begin{align} U(x) = {{x^2} \over {2!}}\left( {{d^2 U} \over {dx^2}} \right)_0 + {{x^3} \over {3!}}\left( {{d^3 U} \over {dx^3}} \right)_0 + \cdots \end{align}

평형점 $x = 0$ 가까이에서는 $x$ 값이 작아짐으로써 위 식의 각 항은 그 앞항보다 훨씬 작아지므로

(65)
\begin{align} U(x) = {{x^2} \over {2!}}\left( {{d^2 U} \over {dx^2}} \right)_0 \end{align}

이것을 조사함으로써 평형점이 안정한지 불안정한지 판별할 수 있다.

(66)
\begin{cases} {{x^2} \over {2!}}\left( {{d^2 U} \over {dx^2}} \right)_0 > 0 & 안정 평형 \\ {{x^2} \over {2!}}\left( {{d^2 U} \over {dx^2}} \right)_0 < 0 & 불안정 평형 \end{cases}

${{x^2} \over {2!}}\left( {{d^2 U} \over {dx^2}} \right)_0 = 0$ 일 경우 ${{x^3} \over {3!}}\left( {{d^3 U} \over {dx^3}} \right)_0 , \cdots$ 을 조사한다.

2.7 뉴턴역학의 한계

  • 미시 세계: 하이젠베르크 불확정성 원리
    • 양자역학
  • $v \longrightarrow c$: 절대시간 절대공간 붕괴
    • 상대론
  • 다체문제: 2-body도 어렵고 3-body 이상은 불가
    • 통계역학