1. 행렬과 벡터

1.1 서론

뉴턴역학은 힘을 중심으로 기술된다.

  • 뉴턴 제1법칙 — 관성계(세계를 보는 시각)에 관한 것
  • 뉴턴 제2법칙 — 힘에 관한 것

힘은 방향성을 가진 물리량이고, 때문에 벡터를 모르면 뉴턴역학의 이해가 불가능하다.

1.2 스칼라의 개념

스칼라(scalar)
좌표변환을 해도 불변인 성질을 갖는 양.
(1)
\begin{equation} M(x, y) = M(x' , y') \end{equation}

1.3 좌표변환

그림1-2.png
(2)
\begin{align} x_1' & = x_1 \cos \theta + x_2 \sin \theta \\ & = x_1 \cos \theta + x_2 \cos \left( {{\pi} \over {2}} - \theta \right) \\ x_2' & = - x_1 \sin \theta + x_2 \cos \theta \\ & = x_1 \cos \left( {{\pi} \over {2}} + \theta \right) + x_2 \cos \theta \end{align}

$x_i'$ 축과 $x_j$ 축 사이의 각을 $\left( x_i' , x_j \right)$ 으로 쓰고, 그 각의 코사인을 다음과 같이 정의한다.

(3)
\begin{align} \lambda_{ij} = \cos \left( x_i' , x_j \right) \end{align}

위 그림의 경우

(4)
\begin{cases} \lambda_{11} & = \cos \left( x_1' , x_1 \right) = \cos \theta \\ \lambda_{12} & = \cos \left( x_1' , x_2 \right) = \cos \left( {{\pi} \over {2}} - \theta \right) = \sin \theta \\ \lambda_{21} & = \cos \left( x_2' , x_1 \right) = \cos \left( {{\pi} \over {2}} + \theta \right) = - \sin \theta \lambda_{22} & = \cos \left( x_2' , x_2 \right) = \cos \theta \end{cases}

그러므로 식 (2)는

(5)
\begin{align} x_1' & = x_1 \cos \left( x_1' , x_1 \right) + x_2 \cos \left( x_1' , x_2 \right) \\ & = \lambda_{11} x_1 + \lambda_{12} x_2 \\ x_2' & = x_1 \cos \left( x_2' , x_1 \right) + x_2 \cos \left( x_2' , x_2 \right) \\ & = \lambda_{21} x_1 + \lambda_{22} x_2 \end{align}

이것을 일반화하면 3차원인 경우에

(6)
\begin{cases} x_1' & = \lambda_{11} x_1 + \lambda_{12} x_2 + \lambda_{13} x_3 \\ x_2' & = \lambda_{21} x_1 + \lambda_{22} x_2 + \lambda_{23} x_3 \\ x_3' & = \lambda_{31} x_1 + \lambda_{32} x_2 + \lambda_{33} x_3 \end{cases}
(7)
\begin{align} x_i ' = \sum_{j=1}^3 \lambda_{ij} x_j , \quad i = 1, 2,3 \end{align}

이것들의 역변환은

(8)
\begin{align} x_i = \sum_{j=1}^3 \lambda_{ij} x_j' , \quad i = 1, 2, 3 \end{align}

$\lambda_{ij}$$x_j$ 축에 대한 $x_i '$ 축의 방향 코사인(direction cosine)이고, 이것을 행렬로 나타내면

(9)
\begin{align} \boldsymbol{\mathsf{\lambda}} = \begin{pmatrix} \lambda_{11} & \lambda_{12} & \lambda_{13} \\ \lambda_{21} & \lambda_{22} & \lambda_{23} \\ \lambda_{31} & \lambda_{32} &\lambda_{33} \end{pmatrix} \end{align}

이 행렬 $\boldsymbol{\mathsf{\lambda}}$변환행렬(transformation matrix) 또는 회전행렬(rotation matrix)이라고 한다.

1.4 회전행렬의 성질

역학_필기_01-1.png
  1. $\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma = 1$
  2. $\cos \theta = \cos \alpha\ \cos \alpha' + \cos \beta\ \cos \beta' + \cos \gamma\ \cos \gamma'$

$\lambda_{11}\ \lambda_{21}\ + \lambda_{12}\ \lambda_{22}\ + \lambda_{13}\ \lambda_{23} = \cos \theta = \cos ( \pi / 2 ) = 0$

$\left. \begin{matrix} \sum_{j} \lambda_{ij}\ \lambda_{kj} = 0 \quad (i \neq k) \\ \sum_{j} {\lambda_{ij}}^2 = \sum_{j} \lambda_{ij}\ \lambda_{kj} = 1 \end{matrix} \right\} \Rightarrow \sum_{j} \lambda_{ij}\ \lambda_{kj} = \delta_{ik} = \left\{ \begin{matrix} 0 \quad \rm{if} \quad i \neq k \\ 1 \quad \rm{if} \quad i = k \end{matrix} \right.$
(이때 $\delta =$ 크로네커 델타)

(10)
\begin{align} \sum_i \lambda_{ij} \lambda_{ik} = \delta_{jk} \end{align}

1.5 행렬연산

  • $x_{i}' = \sum_{j} \lambda_{ij}\ x_j$
    • $\begin{pmatrix} x_1 ' \\ x_2 ' \\ x_3 ' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \lambda_{11} & \lambda_{12} & \lambda_{13} \\ \lambda_{21} & \lambda_{22} & \lambda_{23} \\ \lambda_{31} & \lambda_{32} & \lambda_{33} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}$
    • $\boldsymbol{\mathsf{x'}} = \boldsymbol{\mathsf{\lambda}}\ \boldsymbol{\mathsf{x}}$
  • $\boldsymbol{\mathsf{A}} \cdot \boldsymbol{\mathsf{B}} \neq \boldsymbol{\mathsf{B}} \cdot \boldsymbol{\mathsf{A}}$ (곱셈 교환법칙 ×)
    • $\boldsymbol{\mathsf{x'}} = \boldsymbol{\mathsf{\lambda_1}}\ \boldsymbol{\mathsf{x}}$ 일 때, $\boldsymbol{\mathsf{x''}} = \boldsymbol{\mathsf{\lambda_2}} = \boldsymbol{\mathsf{\lambda_2}}\ \boldsymbol{\mathsf{\lambda_1}}\ \boldsymbol{\mathsf{x}} \neq \boldsymbol{\mathsf{\lambda_1}}\ \boldsymbol{\mathsf{\lambda_2}}\ \boldsymbol{\mathsf{x}}$
  • $\left[ \boldsymbol{\mathsf{A}}\ \boldsymbol{\mathsf{B}} \right] \boldsymbol{\mathsf{C}} = \boldsymbol{\mathsf{A}} \left[ \boldsymbol{\mathsf{B}}\ \boldsymbol{\mathsf{C}} \right]$ (곱셈 결합법칙)
  • $\boldsymbol{\mathsf{C}} = \boldsymbol{\mathsf{A}} \cdot \boldsymbol{\mathsf{B}}$ 일 때 $c_{ij} = {\left[ \boldsymbol{\mathsf{A}}\ \boldsymbol{\mathsf{B}} \right]}_j = \sum_{k} A_{ik}\ B_{ik}$
  • $\boldsymbol{\mathsf{C}} = \boldsymbol{\mathsf{A}} + \boldsymbol{\mathsf{B}}$ 일 때 $c_{ij} = {\left[ \boldsymbol{\mathsf{A}}\ \boldsymbol{\mathsf{B}} \right]}_j = \sum_{k} A_{ik} + B_{ik}$

1.6 그 밖의 정의

  1. 치환행렬: ${\boldsymbol{\mathsf{\lambda}}_{ij}}^t = \boldsymbol{\mathsf{\lambda}}_{ji}$
  2. 단위행렬: $\boldsymbol{\mathsf{1}}\ \boldsymbol{\mathsf{A}} = \boldsymbol{\mathsf{A}}\ \boldsymbol{\mathsf{1}} = \boldsymbol{\mathsf{A}}$
  3. 역행렬: $\boldsymbol{\mathsf{\lambda}}\ \boldsymbol{\mathsf{\lambda}}^{-1} = \boldsymbol{\mathsf{\lambda}}^{-1}\ \boldsymbol{\mathsf{\lambda}} = \boldsymbol{\mathsf{1}}$

1.7 변환행렬의 기하학적 의미

d-1-6.png

$x_3$축에 대해 반시계방향으로 90도 회전할 경우 $x_1 ' = x_2, x_2 ' = - x_1, x_3 ' = x_3$. 0이 되지 않는 방향코사인은

(11)
\begin{align} \cos (x_1 ' , x_2) & = 1 = \lambda_{12} \\ \cos (x_2 ' , x_3) & = -1 = \lambda_{21} \\ \cos (x_3 ' , x_3) & = 1 = \lambda_{33} \end{align}
(12)
\begin{align} \mathbf{\lambda}_1 = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{align}
d-1-7.png

$x_1$축에 대해 반시계방향으로 90도 회전할 경우 $x_1 ' = x_1, x_2 ' = x_3, x_3 ' = - x_2$. 0이 되지 않는 방향코사인은

(13)
\begin{align} \cos (x_1 ' , x_1) & = 1 = \lambda_{11} \\ \cos (x_2 ' , x_3) & = 1 = \lambda_{23} \\ \cos (x_3 ' , x_2) & = -1 = \lambda_{32} \end{align}
(14)
\begin{align} \mathbf{\lambda}_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 0 \end{pmatrix} \end{align}
d-1-8.png

$x_3$축에 대해 반시계방향으로 90도 회전한 뒤 $x_1$축에 대해 반시계방향으로 90도 회전할 경우

(15)
\begin{align} \vec{x} ' & = \mathbf{\lambda}_1 \vec{x} \\ \vec{x} '' & = \mathbf{\lambda}_2 \vec{x} ' \\ & = \mathbf{\lambda}_2 \mathbf{\lambda}_1 \vec{x} \end{align}
(16)
\begin{matrix} \begin{pmatrix} x_1 '' \\ x_2 '' \\ x_3 '' \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 ' \\ x_2 ' \\ x_3 ' \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} x_2 \\ x_3 \\ x_1 \end{pmatrix} \end{matrix}

2차원 변환행렬의 방향코사인은

(17)
\begin{align} \cos (x_1 ' , x_1 ) & = \cos \theta = \lambda_{11}, \\ \cos (x_1 ' , x_2 ) & = \cos \left( {\pi \over 2} - \theta \right) = \sin \theta = \lambda_{12} \\ \cos (x_2 ' , x_1 ) & = \cos \left( { \pi \over 2} + \theta \right) = - \sin \theta = \lambda_{21} \\ \cos (x_2 ' , x_2 ) & = \cos \theta = \lambda_{22} \end{align}

이므로 변환행렬은

(18)
\begin{align} \mathbf{\lambda} = \begin{pmatrix} \cos \theta & \sin \theta \\ - \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix} \end{align}

3차원 회전으로 $x_3 ' = x_3$일 경우 다음 방향 코사인들이 추가되고

(19)
\begin{align} \cos (x_1 ' , x_3 ) & = 0 = \lambda_{13}, \\ \cos (x_2 ' , x_3 ) & = 0 = \lambda_{23} \\ \cos (x_3 ' , x_3 ) & = 1 = \lambda_{33} \\ \cos (x_3 ' , x_1 ) & = 0 = \lambda_{31} \\ \cos (x_3 ' , x_2 ) & = 0 = \lambda_{32} \end{align}

때문에 변환행렬은

(20)
\begin{align} \mathbf{\lambda} = \begin{pmatrix} \cos \theta & \sin \theta & 0 \\ - \sin \theta & \cos \theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{align}

한편 모든 축이 원점에 대해 반사되는 변환 — 반전(inversion)의 경우 $x_1 ' = - x_1, x_2 ' = - x_2 , x_3 ' = - x_3$

(21)
\begin{align} \mathbf{\lambda} = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} \end{align}

1.8 스칼라와 벡터의 정의

다음과 같은 변환행렬이 있을 때

(22)
\begin{align} x_i ' = \sum_j \lambda_{ij} x_j \\ \sum_j \lambda_{ij} \lambda_{kj} = \delta_{ik} \end{align}

이러한 변환으로 양 $\phi$ 가 변하지 않는다면 $\phi$스칼라이다.

$\left( A_1 , A_2, A_3 \right)$ 가 변환행렬 $\boldsymbol{\mathsf{\lambda}}$에 의해 $x_i$ 계에서 $x_i '$ 계로 변환될 때

(23)
\begin{align} A_i ' = \sum_j \lambda_{ij} A_j \end{align}

이고 양 $\vec{A} = \left(A_1 , A_2, A_3 \right)$벡터이다.

1.9 스칼라와 벡터의 기본연산

$\vec{A}, \vec{B}, \vec{C}$는 벡터이고 $\phi, \psi, \xi$ 는 스칼라이다.

  • $A_i + B_i = B_i + A_i$ (벡터의 덧셈의 교환법칙)
  • $A_i + \left( B_i + C_i \right) = \left( A_i + B_i \right) + C_i$ (벡터의 덧셈의 결합법칙)
  • $\phi + \psi = \psi + \phi$ (스칼라의 덧셈의 교환법칙)
  • $\phi + \left( \psi + \xi \right) = \left( \phi + \psi \right) + \xi$ (스칼라의 덧셈의 결합법칙)
  • $\xi \vec{A} = \vec{B}$ (스칼라와 벡터의 곱은 벡터)
  • $\xi \phi = \psi$ (스칼라와 스칼라의 곱은 스칼라)

1.10 내적

방향성분은 사라지고 두 벡터의 크기만 남아서 곱해진 형태.

(24)
\begin{align} \vec{A} \cdot \vec{B} & = \sum_{i} A_{i}\ B_{i} \\ & = A_1 B_1 + A_2 B_2 + A_3 B_3 + \cdots \\ & = AB\ \cos(\vec{A}, \vec{B}) \end{align}

벡터의 크기는 다음과 같이 주어진다.

(25)
\begin{align} \left\lvert \vec{A} \right\rvert = + \sqrt{{A_1}^2 + {A_2}^2 + {A_3}^3 } \equiv A \end{align}

내적이 스칼라임은 다음과 같이 증명한다.

(26)
\begin{align} A_i ' = \sum_j \lambda_{ij} A_j, \qquad B_i ' = \sum_k \lambda_{ik} B_k \end{align}
(27)
\begin{align} \vec{A} ' \cdot \vec{B} ' & = \sum_i A_i ' B_i ' \\ & \sum_i \left( \sum_j \lambda_{ij} A_j \right) \left( \sum_k \lambda_{ik} b_k \right) \\ & = \sum_{j, k} \left( \sum_{i} \lambda_{ij} \lambda_{ik} \right) A_j B_k \\ & = \sum_{j} \sum_k \delta_{jk} A_j B_k \qquad \quad (\because\ 직교조건) \\ & = \sum_j A_j B_j \\ & = \vec{A} \cdot \vec{B} \end{align}

곱셈의 값이 좌표변환에 의해 변하지 않았으므로 이 곱은 스칼라여야 한다.

또한 원점에서 위치벡터 $\vec{A} = (x_1, x_2, x_3)$까지의 거리(i.e. 위치벡터의 크기)가 내적 제곱의 제곱근임을 생각해 보면 $\vec{A}$에서 다른 벡터 $\vec{B} = ( \bar{x}_1 , \bar{x}_2, \bar{x}_3 )$ 까지의 거리는

(28)
\begin{align} \sqrt{ \sum_i ( x_i - \bar{x}_i )^2 } = \sqrt{ ( \vec{A} - \vec{B} ) \cdot ( \vec{A} - \vec{B} ) } = \left\lvert \vec{A} - \vec{B} \right\rvert \end{align}

즉 한 점과 다른 점을 이어 만드는 벡터는 각 점의 위치벡터의 차이로 정의될 수 있다. 두 점 간의 거리는 이 차이의 벡터 크기이고 그 크기는 내적의 제곱근이므로 그 크기는 좌표변환에 대해 불변이다. 요약하면 직교변환은 거리를 보존하는 변환이다.

내적은 교환법칙과 분배법칙을 만족시킨다.

(29)
\begin{align} \vec{A} \cdot \vec{B} & = \sum_i A_i B_i = \sum_i B_i A_i = \vec{B} \cdot \vec{A} \\ \vec{A} \cdot ( \vec{B} + \vec{C} ) & = \sum_i A_i (B + C)_i = \sum_i A_i (B_i + C_i ) \\ & = \sum_i (A_i B_i + A_i C_i ) = ( \vec{A} \cdot \vec{B} ) + ( \vec{A} \cdot \vec{C} ) \end{align}

1.11 단위벡터

(30)
\begin{align} \vec{e_R} = {\vec{R} \over ( \lVert \vec{R} \rVert )} \end{align}

두 단위벡터가 직교일 때

(31)
\begin{align} \vec{e}_i \cdot \vec{e}_j = \delta_{ij} \end{align}

1.12 외적

(32)
\begin{align} \vec{A} \times \vec{B} = \vec{C} = & \sum_{i,k} \epsilon_{ijk} A_{j}\ B_{k} \\ & = ( C_1 , C_2 , C_3 ) \\ & = ( A_2 B_3 - A_3 B_2 , A_3 B_1 - A_1 B_3 , A_1 B_2 - A_2 B_1 ) \end{align}
  • $\epsilon_{ijk} =$ 순열 기호 또는 레비치비타 밀도
(33)
\begin{align} \epsilon_{ijk} = \begin{cases} 0,& \quad 임의의\ 첨자가\ 다른\ 첨자와\ 같은\ 경우 \\ +1,& \quad i, j, k가\ 1, 2, 3을\ 짝수\ 번\ 치환한\ 것과\ 같을\ 때 \\ -1,& \quad i, j, k가\ 1, 2, 3을\ 홀수\ 번\ 치환한\ 것과\ 같을\ 때 \end{cases} \end{align}
(34)
\begin{align} \epsilon_{122} = \epsilon{313} = \epsilon_{211} & = 0 \\ \epsilon_{123} = \epsilon{231} = \epsilon_{312} & = +1 \\ \epsilon_{122} = \epsilon{213} = \epsilon_{321} & = -1 \end{align}

외적의 성분을 순열 기호를 서서 구해보면

(35)
\begin{align} C_1 & = \sum_{j, k} \epsilon_{1 jk} A_j B_k = \epsilon_{123} A_2 B_2 + \epsilon_{132} A_3 B_2 \\ & = A_2 B_3 - A_3 B_2 \end{align}

마찬가지로

(36)
\begin{align} C_2 & = A_3 B_1 - A_1 B_3 \\ C_3 & = A_1 B_2 - A_2 B_1 \end{align}
(37)
\begin{align} A^2 B^2 \sin^2 \theta & = A^2 B^2 - A^2 B^2 \cos^2 \theta \\ & = \left( \sum_i {A_i}^2 \right) \left( \sum_i {B_i}^2 \right) - \left( \sum_i A_i B_i \right)^2 \\ & = (A_2 B_3 - A_3 B_2)^2 + (A_3 B_1 - A_1 B_3 )^2 + (A_1 B_2 - A_2 B_1 )^2 \\ & = {C_1}^2 + {C_2}^2 + {C_3}^2 = \left\lvert \vec{C} \right\rvert^2 = C^2 \\ \therefore\ C & = AB\ \sin \theta \end{align}

즉 외적 $\vec{C} = \vec{A} \times \vec{B}$의 크기는 벡터 $\vec{A}, vec{B}$와 그 사이 각으로 정해지는 평행사변형의 면적이다.

500px-Cross_product_parallelogram.svg.png

1.13 벡터의 스칼라 미분

(38)
\begin{align} {{d\pi} \over {ds}} = {{d\pi'} \over {ds'}} = \left( {{d\pi} \over {ds}} \right)' \end{align}

마찬가지로 스칼라 $s$에 의한 벡터 $\vec{A}$의 미분도 형식적으로 정의할 수 있다. $\vec{A}$의 성분은

(39)
\begin{align} A_{i}' = \sum_{j} \lambda_{ij}\ A_{j} \end{align}

미분하면

(40)
\begin{align} {{dA_{i}'} \over {ds'}} = {d \over {ds'}} \sum_{j} \lambda_{ij}\ A_{j} = \sum_{j} \lambda_{ij}\ {{dA_j} \over {ds'}} \end{align}

1.14 미분계수의 예

벡터의 스칼라 미분계수의 예로는 속도와 가속도가 있다.

(41)
\begin{align} \vec{v} &\equiv& &{{d \vec{r}} \over {dt}}& &=& &\dot{r}& \\ \vec{a} &\equiv& &{{d \vec{v}} \over {dt}}& &=& &{{d^2 \vec{r}} \over {dt^2}}& = \ddot{r} \end{align}

직교좌표계에서 $\vec{r}, \vec{v}, \vec{a}$

(42)
\begin{cases} \vec{r} = x_1 \vec{e}_1 + x_2 \vec{e}_2 + x_3 \vec{e}_3 = \sum_{i} x_i \vec{e}_i &위치 \\ \vec{v} = \dot{r} = \sum_{i} \dot{x}_i \vec{e}_i = \sum_{i} {{dx_i} \over {dt}}\ \vec{e}_i &속도 \\ \vec{a} = \dot{v} = \ddot{r} = \sum_{i} \ddot{x}_i \vec{e}_i = \sum_{i} {{d^2 x_i} \over {dt^2}} \vec{e}_i & 가속도 \end{cases}

이상은 직교좌표계에서의 계산으로, 직교좌표에서는 단위벡터가 시간적으로 변하지 않으므로 간단하다.

속도와 가속도를 극좌표로 나타낼 경우,

(43)
\begin{align} \dot{\vec{e}_r} = \dot{\theta} \vec{e}_\theta \\ \dot{\vec{e}_\theta} = - \dot{\theta} \vec{e}_r \end{align}
(44)
\begin{align} \vec{v} & = {{d \vec{r}} \over {dt}} = {{d} \over {dt}}(r \vec{e}_r) \\ & = \dot{r} \vec{e}_r + r \dot{\vec{e}_r} \\ & = \dot{\vec{r}} = \dot{r} \vec{e}_r + r \theta \vec{e}_\theta \end{align}

이상과 같이 속도는 동경성분 $\dot{r}$ 과 각성분 $r \dot{\theta}$ 로 분해된다.

(45)
\begin{align} \vec{a} & = {{d} \over {dt}}( \dot{r} \vec{e}_r + r \dot{\theta} \vec{e}_\theta ) \\ & = \ddot{r} \vec{e}_r + \dot{r} \dot{\vec{e}_r} + \dot{r} \dot{\theta} \vec{e}_\theta + r \ddot{\theta} \vec{e}_\theta + r \dot{\theta} \dot{\vec{e}_\theta} \\ & = ( \ddot{r} - r \dot{\theta}^2 ) \vec{e}_r + ( r \ddot{\theta} + 2 \dot{r} \dot{\theta} ) \vec{e}_\theta \end{align}

속도를 한 번 더 시간에 대하여 미분하면 가속도를 얻고, 가속도는 동경성분 $( \ddot{r} - r \dot{\theta}^2 )$ 과 각성분 $( r \ddot{\theta} + 2 \dot{r} \dot{\theta} )$로 분해된다.

원기둥좌표계는 극좌표에 수직축만 추가하면 된다.

(46)
\begin{matrix} 직교좌표\ (x, y, z) & 구좌표\ (r, \theta, \phi) \\ \begin{cases} d \vec{s} & = d x_1 \vec{e}_1 + d x_2 \vec{e}_2 + dx_3 \vec{e}_3 \\ ds^2 & = d{x_1}^2 + d{x_2}^2 + d{x_3}^2 \\ v^2 & = \dot{x_1}^2 + \dot{x_2}^2 + \dot{x_3}^2 \\ \vec{v} & = \dot{x}_1 \vec{e}_1 + \dot{x}_2 \vec{e}_2 + \dot{x}_3 \vec{e}_3 \\ \vec{a} & = \ddot{x}_1 \vec{e}_1 + \ddot{x}_2 \vec{e}_2 + \ddot{x}_3 \vec{e}_3 \end{cases} & \begin{cases} d \vec{s} & = d r \vec{e}_r + rd \theta \vec{e}_\theta + r \sin \theta d \phi \vec{e}_\phi \\ ds^2 & = d{r}^2 + r^2 d{\theta}^2 + r^2 \sin^2 \theta d \phi^2 \\ v^2 & = \dot{r}^2 + r^2 \dot{\theta}^2 + r^2 \sin^2 \theta \dot{\phi}^2 \\ \vec{v} & = \dot{r} \vec{e}_r + r \dot{\theta}_2 \vec{e}_\theta + r \sin \theta \dot{\phi} \vec{e}_\phi \\ \vec{a} & = \end{cases} \\ 극좌표\ (r, \theta) & 원기둥좌표\ (r, \phi, z) \\ \begin{cases} d \vec{s} & = dr \vec{e}_r + rd \theta \vec{e}_\theta \\ ds^2 & = dr^2 + r^2 d^2 \theta^2 \\ v^2 & = \dot{r}^2 + r^2 \theta^2 \\ \vec{v} & = \dot{r} \vec{e}_r + r \vec{e}_r \\ \vec{a} & = ( \ddot{r} - r \dot{\theta}^2 ) \vec{e}_r + ( r \ddot{\theta} + 2 \dot{r} \dot{\theta} ) \vec{e}_\theta \end{cases} & \begin{cases} d \vec{s} & = dr \vec{e}_r + rd \phi \vec{e}_\phi + dz \vec{e}_z \\ ds^2 & = d r^2 + r^2 d \phi^2 + d z^2 \\ v^2 & = \dot{r}^2 + r^2 \dot{\phi}^2 + \dot{z}^2 \\ \vec{v} & = \dot{r} \vec{e}_r + r \dot{\phi} \vec{e}_\phi + \dot{z} \vec{e}_z \\ \vec{a} & = ( \ddot{r} - r \dot{\phi}^2 ) \vec{e}_r + ( r \ddot{\phi} + 2 \dot{r} \dot{\phi} ) \vec{e}_\phi + \ddot{z} \vec{e}_z \end{cases} \end{matrix}

1.15 각속도

각속도 ≡ 입자가 원 궤도 위를 움직일 때의 회전각 변화율

(47)
\begin{align} \omega = {{d \theta} \over { dt}} = \dot{\theta} \end{align}

원 궤도의 반경이 $R$일 때 원주 위에서의 선속도

(48)
\begin{align} v = R {{d \theta} \over {dt}} = R \omega \end{align}

$\vec{v}$ 의 방향은 $\vec{r}$ 에 수직하다.

선속도의 크기와 거기서 얻어지는 선속도와 각속도의 벡터 형태는

(49)
\begin{align} v = r \omega \sin \alpha \end{align}
(50)
\begin{align} \vec{v} = \vec{\omega} \times \vec{r} \end{align}

1.16 그래디언트

그래디언트(gradient)는 벡터미분 연산자 중 가장 중요한 연산자이다.

좌표 $x_i$ 의 스칼라 양 $\phi$$x_i'$ 로 옮기는 좌표변환에서 $\phi' = (x_1' , x_2' , x_3' ) = \phi( x_1, x_2, x_3 )$ 이를 $x_i'$ 로 미분하면

(51)
\begin{align} {{\partial \phi' } \over {\partial x_i'}} = \sum_j {{\partial \phi} \over {\partial x_j}}{{\partial x_j} \over {\partial x_i'}} \end{align}

이 좌표변환의 역변환은

(52)
\begin{align} x_j = \sum_k \lambda_{kj} x_k' \end{align}
(53)
\begin{align} {{\partial x_j} \over {\partial x_i'}} = \sum_k \lambda_{kj} \delta_{ik} = \lambda_{ij} = \delta{ki} \end{align}
(54)
\begin{align} {{\partial \phi' } \over { \partial x_i' }} = \sum_j \lambda_{ij} {{\partial \phi} \over {\partial x_j}} \end{align}

$\partial \phi / \partial x_j$ 는 함수 $\phi$그래디언트(gradient)라고 하는 벡터의 $j$ 번째 성분이다. $\phi$는 스칼라지만 $\phi$ 의 그래디언트는 벡터이다.

(55)
\begin{align} \left( \vec{ \operatorname{grad} } \right)_i = \vec{\nabla}_i = {{\partial} \over {\partial} x_i } \end{align}
(56)
\begin{align} \vec{\operatorname{grad}}= \vec{\nabla} = \sum_i \vec{e}_i {{\partial} \over {\partial x_i}} \end{align}

그래디언트는 스칼라 함수에 대한 직접 작용, 다른 벡터와의 내적, 다른 벡터와의 외적을 할 수 있으며 이를 각각 기울기, 발산, 회전이라 한다.

(57)
\begin{cases} 기울기 & \vec{\operatorname{grad}}\ \phi & = \vec{\nabla} \phi = \sum_i \vec{e}_i {{\partial \phi } \over {\partial x_i}} \\ 발산 & \operatorname{div}\ \vec{A} & = \vec{\nabla} \cdot \vec{A} \sum_i {{\partial A_i} \over {\partial x_i}} \\ 회전 & \vec{\operatorname{curl}}\ \vec{A} & = \vec{\nabla} \times \vec{A} = \sum_{i, j, k} \epsilon_{ijk} {{\partial A_k} \over {\partial x_j}} \vec{e}_i \end{cases}

그래디언트를 연이어 작용하면

(58)
\begin{align} \vec{\nabla} \cdot \vec{\nabla} = \sum_i {{\partial } \over {\partial {x_i}}} {{\partial} \over {\partial {x_i}}} = \sum_i {{\partial^2 } \over {\partial {x_i}^2}} \end{align}

이 연산자를 라플라시안(Laplacian) 연산자라고 정의한다.

(59)
\begin{align} \vec{\nabla}^2 = \sum_i {{\partial^2 } \over {\partial {x_i}^2}} \end{align}

라플라시안은 벡터의 내적이므로 스칼라 연산자이다.

1.17 벡터의 적분

함수 $\vec{A} = \vec{A}(x_i)$ 를 부피 $V$로 적분하여 얻은 벡터는

(60)
\begin{align} \int_V \vec{A} dv = \left( \int_V A_1 dv, \int_V A_2 dv, \int_V A_3 dv \right) \end{align}

이므로 부피적분은 각 성분을 따로 적분하는 것으로 계산한다.

면적 $S$에 대한 면적분은

(61)
\begin{align} \int_S \vec{A} \cdot d \vec{a} = \int_S \sum_i A_i d a_i \end{align}

점 B에서 점 C까지의 경로에 대한 선적분은

(62)
\begin{align} \int_{BC} \vec{A} \cdot d \vec{s} = \int_{BC} \sum_i A_i d x_i \end{align}

가우스 정리 또는 발산정리: 페면 $S$에 따른 $vec{A}$의 면적분은 면 $S$로 둘러싸인 부피 $V$ 전체에 걸친 $\vec{A}$의 발산의 부피적분과 같다.

(63)
\begin{align} \int_S \vec{A} \cdot d \vec{a} = \int_V \vec{\nabla} \cdot \vec{A} dv \end{align}

스토크스 정리: 윤곽선 $C$에 따라 얻은 $\vec{A}$의 선적분은 $C$로 정의되는 면에서 얻은 $\vec{A}$의 회전의 면적분과 같다.

(64)
\begin{align} \int_C \vec{A} \cdot d \vec{s} = \int_S ( \vec{\nabla} \times \vec{A} ) \cdot d \vec{a} \end{align}