Problem Set 5 (Due date: 11/29)

1. 다음과 같은 2차원 정상유체의 흐름에 대하여 $x-y$ 평면에서의 유선을 그리시오. 또한 이러한 흐름이 압축성인지 비압축성인지 판단하고, 소용돌이 값을 구하시오. 여기서 $(x, y)$$(R, \phi)$는 각각 직각좌표계와 원통좌표계의 좌표를 나타낸다.

  • $v_x = x, \quad v_y = -y$
  • $v_x = -y/R^2, \quad v_y = x/R^2$
  • $v_R = 0, \quad v_\phi = R$

2. 본디 유입에 의한 무차원 질량 유입율을 $\lambda \equiv \dot{M} / (4 \pi {r_\mathrm{B}}^2 c_{s, \infty} \rho_\infty )$ 로 정의하자. 여기서 $r_{\mathrm{B}, \infty} = GM / {c_{s, \infty}}^2$ 이며 $\rho_\infty$$c_{s , \infty}$는 각각 $r \longrightarrow \infty$에서의 밀도와 등온음속이다. $\gamma = 1$인 등온기체의 경우, 식 (13.81)은 $\lambda_\mathrm{iso} = e^{3/2} / 4 \simeq 1.12$ 임을 보여준다. 교과서 13장 4.3절에서 기술한 등온기체의 본디 유입 문제를 $\gamma > 1$인 단열기체로 확장하여 무차원 질량 유입률이

(1)
\begin{align} \lambda = {1 \over {4 \gamma^{3/2} }} \left( {2 \over {5 - 3 \gamma}} \right)^{ {5-3 \gamma} \over {2(\gamma -1)} } \end{align}

로 주어짐을 보이시오. 또한 $\lim_{\gamma \rightarrow 1} \lambda = \lambda_\mathrm{iso}$임을 확인하시오.

3.
(1) 등온 항성풍에 대해 식 13.79를 적분하여 전이음속해가

(2)
\begin{align} {1 \over 2} \left( {v \over c_s} \right)^2 - \ln \left( {v \over c_s} \right) = - \ln \lambda + 2 \ln \left( {r \over r_\mathrm{B} } \right) + \left( {r \over r_\mathrm{B} } \right)^{-1} \end{align}

을 만족함을 보이시오. 여기서 $\lambda = e^{3/2} / 4$이다.

(2) $r/ r_\mathrm{B} \ll 1$일 때, 위 식과 식 (13.76)의 근사적인 해가

(3)
\begin{align} {v \over c_s} & \approx {{ e^{3/2} } \over 4} \left( {r \over r_\mathrm{B} } \right)^{-2} \exp \left[ - { r_\mathrm{B} \over r} \right], \\ \rho & \approx \rho_\infty \exp \left[ {r_\mathrm{B} \over r} \right] \end{align}

임을 보이시오.

(3) $r/r_\mathrm{B} \gg 1$에서 전이음속해가

(4)
\begin{align} {v \over c_s} & \approx 2 \sqrt{ \ln \left( {r \over r_\mathrm{B} } \right) }, \\ \rho & \propto {1 \over { r^2 \sqrt{ \ln \left( {r \over r_\mathrm{B} } \right) } }} \end{align}

을 만족함을 보이시오.

(4) 태양코로나는 $R \sim 1 R_\odot$에 위치해 있으며 그 온도와 밀도는 각각 $T \sim 1 \times 10^6\ \mathrm{K}$, $n \sim 10^8\ \mathrm{cm}^{-3}$이다. 태양풍을 등온으로 가정하고 질량방출률 $\dot{M}$$M_\odot / \mathrm{yr}$의 단위로 구하시오. 전이음속점의 위치를 $R_\odot$ 단위로 구하시오. $\mu = 0.5$로 가정한다.

4.
(1) 충격파면을 경계로 한 밀도와 속도의 도약 조건을 주는 식 (15.65)를 유도하시오. 그리고 그 결과를 그림으로 나타내시오. 충격파의 속도가 매우 클 때(M»1), 도약 조건은 어떻게 주어지는가?

(5)
\begin{align} { \rho_2 \over \rho_1 } & = {v_1 \over v_2} = {{ {\mathcal{M}_1}^2 ( \gamma {\mathcal{M}_2}^2 +1) } \over { { \mathcal{M}_1 }^2 ( \gamma { \mathcal{M}_1 }^2 +1)}} \\ { P_2 \over P_1} & = {{ {\mathcal{M}_1}^2 v_2 } \over { {\mathcal{M}_2}^2 v_1 }} = {{ \gamma {\mathcal{M}_1}^2 +1} \over { \gamma {\mathcal{M}_2}^2 +1 }} \end{align}

(2) 압력과 온도의 도약 조건을 주는 식 (15.66)과 (15.67)을 유도하시오. 그리고 그 결과를 그림으로 나타내시오. 충격파의 속도가 매우 클 때($M \gg 1$), 도약 조건은 어떻게 주어지는가?

(6)
\begin{align} {P_2 \over P_1 } & = {{ 2 \gamma {\mathcal{M}_1}^2 - \gamma + 1 } \over { \gamma +1 }} \\ {{T_2 / \mu_2 } \over {T_1 / \mu_1 }} = {{ P_2 / \rho_2 } \over {P_1 / \rho_1}} & = {{[2 \gamma {\mathcal{M}_1}^2 - \gamma +1 ] [(\gamma -1) {\mathcal{M}_1}^2 +2 ] } \over {(\gamma +1 )^2 {\mathcal{M}_1}^2}} \end{align}

(3) 질량이 $1 M_\odot$ 이고 반경이 $5.5 \times 10^8\ \mathrm{cm}$인 백색왜성으로 물질이 유입되고 있다. 유입되는 물질은 수소와 헬륨($\mathrm{He/H} =0.1$)으로 구성되어 있으며 모두 전리되어 있다. 유입되는 물질은 백생왜성 표면 근처에서 충격파를 발생한다. 충격파를 통과한 물질의 온도는 얼마이겠는가? 충격파의 속도는 백색왜성의 탈출속도와 같다고 가정한다.