Problem Set 4 (Due date: 11/22)

1. 아래 에너지 방정식(식 12.60)을 유도하시오.

(1)
\begin{align} {\partial \over {\partial t}} \left( {1 \over 2} \rho v^2 + {P \over {\gamma -1}} \right) + \vec{\nabla} \cdot \left[ \rho \vec{v} \left( {1 \over 2} v^2 + {\gamma \over {\gamma -1}} {P \over \rho} \right) \right] = - \rho \vec{v} \cdot \vec{\nabla} \Phi - \rho \mathcal{L} \end{align}

2. 정적 평형상태에 있는 무한히 펼쳐져 있는 등온의 평면 원반을 생각해보자. 밀도는 원반의 중심면에 대해 대칭이며 중심면으로부터의 높이 $z$에만 의존한다.

  • (1) 밀도 $\rho (z)$에 대한 식 (13.11)을 유도하고 그래프를 그리시오.
(2)
\begin{align} \rho (z) = \rho_0\ \operatorname{sech}^2 \left( {z \over H} \right), \qquad H = { c_s \over \sqrt{ 2 \pi G \rho_0 }} \end{align}
  • (2) 표면밀도 $\Sigma$는 어떻게 주어지는가(식 13.14)?
(3)
\begin{align} \Sigma & = \int_{\pm \infty} \rho (z)\ dz = 2 \rho_0 H \end{align}
(4)
\begin{align} H = { {c_s}^2 \over { \pi G \Sigma }} = 280 \left( { c_s \over {7\ \mathrm{km\ s^{-1} } }} \right)^2 \left( { \Sigma \over { 13\ M_\odot\ \mathrm{pc}^{-2} }} \right)^{-1} \quad \mathrm{pc} \end{align}

3. 백색왜성의 다방지수 $P = \kappa \rho^{1+1/n}$$n=3/2$(비상대론적) 또는 $n=3$(상대론적)이다.

  • (1) 다방밀도분포를 기술하는 레인-앰덴 방정식(식 13.27)을 유도하시오.
(5)
\begin{align} {1 \over \xi^2} {d \over {d \xi}} \left( \xi^2 {{d \Theta} \over {d \xi}} \right) = - \Theta^n \end{align}
  • (2) 다방질량-반지름 관계식(식 13.33)을 유도하시오.
(6)
\begin{align} GR^{{3-n} \over n} M^{{n-1} \over n} = { \kappa \over N_n} \end{align}
  • (3) $n=3/2$인 비상대론적 백색왜성의 질량-광도 관계는 어떻게 주어지는가?
  • (4) $n=3$인 상대론적 백색왜성의 경우 질량이 $R$에 무관함을 보이시오. 이 결과로부터 백색왜성의 찬드라세카르 한계질량의 값을 구하시오.