Problem Set 3 (Due date: 10/16)

1. 다음 함수들을 푸리에 변환하고 그 그래프를 그리시오.
(1)

(1)
\begin{align} f(t) = \begin{cases} 1, & \mathrm{if}\ \left| t \right| \le T/2 \\ 0, & \mathrm{otherwise} \end{cases} \end{align}

(2)

(2)
\begin{align} f(t) = \begin{cases} \sin \omega_0 t, & \mathrm{if}\ \left| t \right| \le N \pi / \omega_0 \quad (N = 3) \\ 0, & \mathrm{otherwise} \end{cases} \end{align}

2. 전하 $q$의 하전입자가 $x$축을 따라 등속도 $\vec{v} = v \hat{x}$로 움직이고 있다. 다음 물음에 ㅏㅂ하시오.

(1) $( \vec{x} , t)$에서 스칼라 퍼텐셜이 다음과 같이 나옴을 보이시오.

(3)
\begin{align} \phi (\vec{x} , t) = {q \over { (1 - \beta^2 \sin^2 \theta )^{1/2} R(t) }} \end{align}
  • $R (t) = \left| \vec{R} (t) \right| = \left| \vec{x} - \vec{v}t \right|$
  • $\theta$$\vec{v}$$\vec{R} (t)$ 사이의 각도.
  • $\vec{R} (t)$는 전하의 현재 위치(i.e. $\vec{v} t$)에서 관찰자에게로의 벡터임에 유의

(2) $( \vec{x}, t)$에서 전기장, 자기장이 다음과 같이 나옴을 보이고 장선을 그리고 결과의 의미를 논하시오.

(4)
\begin{align} \vec{E} ( \vec{x} , t) & = {{ q \vec{R} (t) } \over { \gamma^2 ( 1 - \beta^2 \sin^2 \theta)^{3/2} R^3 (t) }}, \\ \vec{B} ( \vec{x}, t) & = { \vec{v} \over c} \times \vec{E} ( \vec{x} , t) \end{align}

3. $(x, y)$ 평면에서 속도 $v \ll c$로 만경 $a$인 원궤도상에서 원운동하는 전자를 생각해 보자.

(1) 방출되는 복사의 파장 $\lambda$$2 \pi a / \lambda \ll 1$을 만족하며, 따라서 전기쌍극자 복사가 가장 주된 복사임을 보이시오.

(2) 방출되는 복사의 일률 패턴 $< dP / d \Omega >$ 및 전체 복사일률을 구하시오. 편의상 관측자는 $(x, z)$ 평면에 있으며 $z$ 축과 $\theta$의 각도를 이루는 방향에 있다고 가정한다.

(3) 전자는 복사방출로 에너지를 잃고 그 궤도 반경은 점차 작아진다. 전자가 순간적으로는 원운동을 한다는 가정하에 원궤도의 반경 $r (t)$가 시간에 따라 어떻게 변하는지 구하시오. 이런 근사가 성립하기 위해서는 $\omega \equiv v /r$가 어떤 조건을 만족해야 하는가? 단, 전자는 운동에너지만을 가지고 있으며, $r (t = 0) = a$이다.

(4) 위의 결과로부터 복사손실에 의한 힘 $\vec{F}_\mathrm{rad} = - \Gamma m_e \vec{v}$$\Gamma$를 구하시오.

4. 펄사의 자기쌍극자 모형에 의하면 펄사는 자전축과 $\alpha$의 각도를 이루는 자기모멘트 $\vec{m}$을 가지고 각속도 $\Omega$로 회전한다.

(1) 자극에서 자기장의 세기 $B_p$는 자기모멘트와 다음 관계가 있음을 보이시오.

(5)
\begin{align} \left| \vec{m} \right| = {{ B_p R^3 } \over 2 } \end{align}

(2) 펄사가 방출하는 자기쌍극자 복사의 일률은 다음과 같이 주어짐을 보이시오.

(6)
\begin{align} {{dE} \over {dt}} = - {{ {B_p}^2 R^6 \Omega^4 \sin^2 \alpha } \over {6 c^3 }} \end{align}

(3) 복사의 에너지원이 자전에너지라면, 펄서의 자전주기는 다음과 같이 주어짐을 보이시오.

(7)
\begin{align} \Omega(t) = \Omega_i \left( 1 + {{ 2 {\Omega_i}^2 t } \over { {\Omega_0}^2 T }} \right)^{-1/2} \end{align}
  • $\Omega_i, \Omega_0$은 각각 초기각속도, 현재각속도
  • $T$는 특정 시간척도로서
(8)
\begin{align} T \equiv - \left( {{ \Omega } \over { d \Omega / dt }} \right) = {{ 6 I c^3 } \over { {B_p}^2 R^6 \sin^2 \alpha \Omega^2 }} \end{align}
  • $I$는 펄사의 관성모멘트이다.

위 식으로부터 펄사의 현재 나이는

(9)
\begin{align} t = {T \over 2} \left( 1 - { { \Omega_0}^2 \over { \Omega_i}^2 } \right) \end{align}

이며 만일 $\Omega_i \gg \Omega_0$이라면 $t \approx T/2$ 임을 알 수 있다.

(4) 초신성잔해 CTB 80에 있는 펄사는 주기 $P = 39.259\ \mathrm{ms},$ $dP/dt = 5.92 \times 10^{-15}\ \mathrm{s\ s^{-1}}$이다. 이 펄사의 특정나이는 얼마인가. 만약 펄사가 반경 $12\ \mathrm{km}$, 질량 $1.4\ M_\odot$인 중성자별이라면, 자극에서의 자기장 세기 $B_p$는 얼마이겠는가? 복사에너지 일률 $dE/dt$는?