5.1. 음파

가만히 있는 유체에 섭동을 준다면

(1)
\begin{matrix} \begin{pmatrix} \rho_0 \\ P_0 \\ \vec{v} = 0 \end{pmatrix} & ㅡ 섭동 \longrightarrow & \begin{pmatrix} \rho = \rho_0 + \rho_1 \\ P = P_0 + P_1 \\ \vec{v} = \vec{v}_1 \end{pmatrix} \\ & \rho_1 \ll \rho_0,\ P_0 \ll P_1 & \end{matrix}

(선형)섭동분석(perturbation analysis)

(2)
\begin{align} {{\partial \rho} \over {\partial t}} & + \vec{\nabla} \cdot ( \rho \vec{v} ) = 0 \\ {\partial \over {\partial t}} & ( \rho_0 + \rho_1 ) + \vec{\nabla} \cdot \left[ ( \rho_0 + \rho_1 ) \vec{v}_1 \right] = 0 \\ \implies & {{\partial \rho_1 } \over {\partial t}} + \rho_0 \vec{\nabla} \cdot \vec{v}_1 = 0 \end{align}
(3)
\begin{align} \rho {{d \vec{v} } \over {dt}} & = - \vec{\nabla} P \\ \rho \left( {{\partial \vec{v} } \over {\partial t}} + \vec{v} \cdot \vec{\nabla} \vec{v} \right) & = - \vec{\nabla} P \\ ( \rho_0 + \rho_1 ) \left[ {{\partial \vec{v}_1 } \over {\partial t}} + ( \vec{v}_1 \cdot \vec{\nabla} ) \vec{v} \right] & = - \vec{\nabla} ( P_0 + P_1 ) \\ \implies \rho_0 {{\partial \vec{v}_1 } \over {\partial t}} & = - \vec{\nabla} P \end{align}

식 (2) 를 한번 더 미분하면

(4)
\begin{align} {{\partial^2 \rho_1 } \over {\partial t^2 }} & + \rho_0 \vec{\nabla} \cdot \left( {{\partial \vec{v}_1 } \over {\partial t}} \right) = 0 \\ {{\partial^2 \rho_1 } \over {\partial t^2 }} & - \nabla^2 P_1 = 0 \end{align}

밀도와 압력을 연결하는 방정식이 필요한 부분

e.g.

  • 등온할 경우
(5)
\begin{align} P = {{\rho kT} \over {\mu m_\mathrm{H} }} = {c_s}^2 \rho, & \quad c_s = \sqrt{{kT} \over {\mu m_\mathrm{H}}}: 음속 \\ P_0 + P_1 = ( \rho_0 + \rho_1 ) {c_s}^2 & \implies P_1 = \rho_1 {c_s}^2 \end{align}
  • 단열할 경우
(6)
\begin{align} P \propto \rho^\gamma, & \quad {{P_0 + P_1 } \over P_0 } = \left( {{ \rho_0 + \rho_1 } \over \rho_0 } \right)^\gamma \\ 1 + { P_1 \over P_0 } & = {1 \over {\rho_0}^\gamma } \cdot {\rho_0}^\gamma \left( 1 + {\rho_1 \over \rho_0 } \right)^\gamma \\ & \simeq 1 + \gamma { \rho_1 \over \rho_0 } \\ P_1 & = \gamma { P_0 \over \rho_0 } \rho_1 \equiv {c_s}^2 \rho_1 \\ {c_s} & = \gamma { P_0 \over \rho_0 } = \gamma {{kT} \over {\mu m_\mathrm{H} }} \end{align}

일반적으로 이렇게 두고, $\gamma = 1$ 일 때 등온하다고 한다.

(7)
\begin{align} P_1 = {c_s}^2 \rho_1 & \implies {{\partial^2 \rho_1 } \over {\partial t^2 }} - {c_s}^2 \nabla^2 \rho_1 = 0 \\ 해\ \rho_1 (\vec{x} , t) & = A \cdot \exp \left[ i \vec{k} \cdot \vec{x} - i \omega t \right] \end{align}

$A$는 상수.

대응되는 바가 다음과 같으니

(8)
\begin{align} {\partial \over {\partial t}} \longleftrightarrow - i \omega, \quad \vec{\nabla} \longleftrightarrow i \vec{k} \end{align}
(9)
\begin{align} \implies - \omega^2 \rho_1 + k^2 {c_s}^2 \cdot \rho_1 & = 0 \\ \therefore\ ( \omega^2 - k^2 {c_s}^2 ) \rho_1 & = 0 \\ \rho_1 \ne 0, \quad \therefore\ \omega & = k c_s \\ {\omega \over k} & = c_s: 위상속도 \end{align}
(10)
\begin{align} \rho_1 ( \vec{x}, t) & = A \cos ( k \vec{x} - \omega t ) \end{align}
  • 위상이 일정한 파동이 위상속도 $\omega / k$로 움직임
(11)
\begin{align} \rho_0 {{\partial \vec{v}_1 } \over {\partial t}} & = - \vec{\nabla} P_1 \longleftarrow 운동방정식 \\ - i \omega \rho_0 \vec{v}_1 & = - i \vec{k} \rho_1 {c_s}^2 \\ \rho_0 \vec{v}_1 & = { \vec{k} \over \omega } \rho_1 {c_s}^2 = \hat{k} \rho_1 c_s \end{align}
  • 이것이 무엇을 의미하느냐 — $\vec{v}_1 \parallel \hat{k}$ 속도방향이 전달방향과 평행. 즉 종파
    • cf. $\vec{v}_1 \perp \hat{k}$ 는 횡파
(12)
\begin{align} \rho c_s = \rho_0 v_1 \iff {\rho_1 \over \rho_0} = {v_1 \over c_s} \ll 1 \end{align}
  • $\vec{v}_1$$c_s$에 가까워지면 선형분석은 성립하지 않는다.

분산관계식(Dispersion relation)

(13)
\begin{align} \omega^2 - k^2 {c_s}^2 = 0 \end{align}
  • 위상속도가 파장($k$)에 따라 어떻게 변하는지
  • 위상에 따라 파장이 다르면 파동이 깨져 흩어지게(disperse) 된다
(14)
\begin{align} 위상속도 & {\omega \over k }, \quad 군속도 & {{d \omega } \over {dk}} \end{align}
  • 위상속도와 군속도는 일반적으로 다르나, 음속에서는 $c_s$로 같다.
(15)
\begin{align} c_s = \left( {{kT} \over {\mu m_\mathrm{H}}} \right)^{1 \over 2} = 0.287 \left( {T \over {10\ \mathrm{K}}} \right)^{1 \over 2} \mu^{- {1 \over 2}} \end{align}

그런데 유체가 이 음속보다 빠르게 움직이면?
또는 커다란 섭동이 가해지면? → 충격파