5. 충격파와 초신성잔해

5.1. 음파

가만히 있는 유체에 섭동을 준다면

(1)
\begin{matrix} \begin{pmatrix} \rho_0 \\ P_0 \\ \vec{v} = 0 \end{pmatrix} & ㅡ 섭동 \longrightarrow & \begin{pmatrix} \rho = \rho_0 + \rho_1 \\ P = P_0 + P_1 \\ \vec{v} = \vec{v}_1 \end{pmatrix} \\ & \rho_1 \ll \rho_0,\ P_0 \ll P_1 & \end{matrix}

(선형)섭동분석(perturbation analysis)

(2)
\begin{align} {{\partial \rho} \over {\partial t}} & + \vec{\nabla} \cdot ( \rho \vec{v} ) = 0 \\ {\partial \over {\partial t}} & ( \rho_0 + \rho_1 ) + \vec{\nabla} \cdot \left[ ( \rho_0 + \rho_1 ) \vec{v}_1 \right] = 0 \\ \implies & {{\partial \rho_1 } \over {\partial t}} + \rho_0 \vec{\nabla} \cdot \vec{v}_1 = 0 \end{align}
(3)
\begin{align} \rho {{d \vec{v} } \over {dt}} & = - \vec{\nabla} P \\ \rho \left( {{\partial \vec{v} } \over {\partial t}} + \vec{v} \cdot \vec{\nabla} \vec{v} \right) & = - \vec{\nabla} P \\ ( \rho_0 + \rho_1 ) \left[ {{\partial \vec{v}_1 } \over {\partial t}} + ( \vec{v}_1 \cdot \vec{\nabla} ) \vec{v} \right] & = - \vec{\nabla} ( P_0 + P_1 ) \\ \implies \rho_0 {{\partial \vec{v}_1 } \over {\partial t}} & = - \vec{\nabla} P \end{align}

식 (2) 를 한번 더 미분하면

(4)
\begin{align} {{\partial^2 \rho_1 } \over {\partial t^2 }} & + \rho_0 \vec{\nabla} \cdot \left( {{\partial \vec{v}_1 } \over {\partial t}} \right) = 0 \\ {{\partial^2 \rho_1 } \over {\partial t^2 }} & - \nabla^2 P_1 = 0 \end{align}

밀도와 압력을 연결하는 방정식이 필요한 부분

e.g.

  • 등온할 경우
(5)
\begin{align} P = {{\rho kT} \over {\mu m_\mathrm{H} }} = {c_s}^2 \rho, & \quad c_s = \sqrt{{kT} \over {\mu m_\mathrm{H}}}: 음속 \\ P_0 + P_1 = ( \rho_0 + \rho_1 ) {c_s}^2 & \implies P_1 = \rho_1 {c_s}^2 \end{align}
  • 단열할 경우
(6)
\begin{align} P \propto \rho^\gamma, & \quad {{P_0 + P_1 } \over P_0 } = \left( {{ \rho_0 + \rho_1 } \over \rho_0 } \right)^\gamma \\ 1 + { P_1 \over P_0 } & = {1 \over {\rho_0}^\gamma } \cdot {\rho_0}^\gamma \left( 1 + {\rho_1 \over \rho_0 } \right)^\gamma \\ & \simeq 1 + \gamma { \rho_1 \over \rho_0 } \\ P_1 & = \gamma { P_0 \over \rho_0 } \rho_1 \equiv {c_s}^2 \rho_1 \\ {c_s} & = \gamma { P_0 \over \rho_0 } = \gamma {{kT} \over {\mu m_\mathrm{H} }} \end{align}

일반적으로 이렇게 두고, $\gamma = 1$ 일 때 등온하다고 한다.

(7)
\begin{align} P_1 = {c_s}^2 \rho_1 & \implies {{\partial^2 \rho_1 } \over {\partial t^2 }} - {c_s}^2 \nabla^2 \rho_1 = 0 \\ 해\ \rho_1 (\vec{x} , t) & = A \cdot \exp \left[ i \vec{k} \cdot \vec{x} - i \omega t \right] \end{align}

$A$는 상수.

대응되는 바가 다음과 같으니

(8)
\begin{align} {\partial \over {\partial t}} \longleftrightarrow - i \omega, \quad \vec{\nabla} \longleftrightarrow i \vec{k} \end{align}
(9)
\begin{align} \implies - \omega^2 \rho_1 + k^2 {c_s}^2 \cdot \rho_1 & = 0 \\ \therefore\ ( \omega^2 - k^2 {c_s}^2 ) \rho_1 & = 0 \\ \rho_1 \ne 0, \quad \therefore\ \omega & = k c_s \\ {\omega \over k} & = c_s: 위상속도 \end{align}
(10)
\begin{align} \rho_1 ( \vec{x}, t) & = A \cos ( k \vec{x} - \omega t ) \end{align}
  • 위상이 일정한 파동이 위상속도 $\omega / k$로 움직임
(11)
\begin{align} \rho_0 {{\partial \vec{v}_1 } \over {\partial t}} & = - \vec{\nabla} P_1 \longleftarrow 운동방정식 \\ - i \omega \rho_0 \vec{v}_1 & = - i \vec{k} \rho_1 {c_s}^2 \\ \rho_0 \vec{v}_1 & = { \vec{k} \over \omega } \rho_1 {c_s}^2 = \hat{k} \rho_1 c_s \end{align}
  • 이것이 무엇을 의미하느냐 — $\vec{v}_1 \parallel \hat{k}$ 속도방향이 전달방향과 평행. 즉 종파
    • cf. $\vec{v}_1 \perp \hat{k}$ 는 횡파
(12)
\begin{align} \rho c_s = \rho_0 v_1 \iff {\rho_1 \over \rho_0} = {v_1 \over c_s} \ll 1 \end{align}
  • $\vec{v}_1$$c_s$에 가까워지면 선형분석은 성립하지 않는다.

분산관계식(Dispersion relation)

(13)
\begin{align} \omega^2 - k^2 {c_s}^2 = 0 \end{align}
  • 위상속도가 파장($k$)에 따라 어떻게 변하는지
  • 위상에 따라 파장이 다르면 파동이 깨져 흩어지게(disperse) 된다
(14)
\begin{align} 위상속도 & {\omega \over k }, \quad 군속도 & {{d \omega } \over {dk}} \end{align}
  • 위상속도와 군속도는 일반적으로 다르나, 음속에서는 $c_s$로 같다.
(15)
\begin{align} c_s = \left( {{kT} \over {\mu m_\mathrm{H}}} \right)^{1 \over 2} = 0.287 \left( {T \over {10\ \mathrm{K}}} \right)^{1 \over 2} \mu^{- {1 \over 2}} \end{align}

그런데 유체가 이 음속보다 빠르게 움직이면? 또는 커다란 섭동이 가해지면? → 그것이 충격파

5.2. 충격파

충격파(shockwave): 초음속으로 움직이는 파원(매우 강한 섭동원)이 발생시키는 급격한 밀도와 압력의 불연속면.

기체가 단열하다고 일단 가정, $P = \kappa \rho^\gamma$

음파의 전파속도는

(16)
\begin{align} a = \sqrt{ {dP} \over {d \rho} } = \sqrt{ \gamma {P \over \rho} } \propto \rho^{(\gamma -1) / 2} \end{align}
  • 즉 밀도가 높아지면 전파속도가 높아진다.

선형음파는 진폭과 무관하게 일정한 음속으로 전파된다. 하지만 비선형항이 있을 경우, 진폭이 아무리 작아도 그 파형이 점점 가팔라져서 충격파가 된다.

shock1.png

충격면상에 있던 가만 있던 입자가 뒤에서 굉장히 빠르게 달려온 입자에 충돌, 점성이 없다면 뒤의 입자와 같은 속도로 짧은 시간동안 가속된다.

이 충격면을 하나의 불연속면(밀도와 압력의 불연속면)으로 취급, 그래서 그 경계에서 어떤 조건이 성립해야 하는가?

  • 항성풍의 정상류가 왼쪽에서 오른쪽으로 불면서 충격파면이 같은 방향으로 움직일 때,
shock2.png
  • 이것을 충격파면의 입장에서 보면(stationary shock frame) 충격파면은 고정되어 있고 오른쪽에서 왼쪽으로 기체가 움직이는 것
(17)
\begin{align} \vec{\nabla} \cdot ( \rho \vec{v} ) & = 0 \longleftarrow 정상류 \\ {d \over {dx}} ( \rho v_x ) & = 0 \\ \int {d \over {dx}} ( \rho v_x )\ dV & = \int {d \over {dx}} ( \rho v_x )\ dx dy dz = 0 \\ [ \rho v_x ] & = 0 \\ \implies \rho_1 v_1 & = \rho_2 v_2 : 질량보존 \\ \end{align}
(18)
\begin{align} \implies & \vec{\nabla} \cdot ( \rho \vec{v} \vec{v} + P \overset{\underset{\leftrightarrow}{}}{I} ) = 0 \\ & \rho {v_x}^2 + P = \mathrm{const.} \end{align}

충격파 전후의 물리량

(19)
\begin{cases} 질량보존 \iff & \rho v = \mathrm{const.} \\ 운동량보존 \iff & P + \rho v^2 = \mathrm{const.} \\ 에너지보존 \iff & \left( {1 \over 2} v^2 + { \gamma \over {\gamma -1 }} {P \over \rho} \right) \rho v = \mathrm{const.} \\ & {1 \over 2} {v_2}^2 + { \gamma \over { \gamma -1}} { P_2 \over \rho_1} = {1 \over 2} {v_1}^2 + { \gamma \over { \gamma -1}} {P_1 \over \rho_1} \end{cases}
  • 운동량보존 제2항은 충차압, 에너지보존 제2항은 엔탈피를 의미
  • 위 세 식을 랭킨-위고니오 관계식(Rankine-Hugoniot relations)이라고 한다.
(20)
\begin{align} 마하수\ \mathcal{M}^2 & \equiv {{v_s}^2 \over {c_s}^2} \\ & = { {\rho {v_s}^2 } \over {\gamma P }} \longleftarrow 음속\ c_s = \sqrt{\gamma {P \over \rho}} \end{align}
  • 마하수가 클수록 강한 충격파다.
  • 아음속 기체($\mathcal{M} < 1$)는 충격파를 생성하지 못한다.
  • 충격파 전후의 마하수를 각각 $\mathcal{M}_1 , \mathcal{M}_2$로 정의하고 후방을 전방으로 나누면
(21)
\begin{align} {\rho_2 \over \rho_1} & = {v_1 \over v_2} = {{ {\mathcal{M}_1}^2 ( \gamma {\mathcal{M}_2}^2 +1) } \over { {\mathcal{M}_2}^2 ( \gamma {\mathcal{M}_2}^1 +1) }} \\ {P_2 \over P_1} & = {{ {\mathcal{M}_1}^2 v_2 } \over { {\mathcal{M}_2}^2 v_1 }} = {{ \gamma {\mathcal{M}_1}^2 + 1 } \over { \gamma { \mathcal{M}_2}^2 +1 }} \end{align}

랭킨-위고니오 관계식 중 에너지보존 관계식을 ${v_2}^2 / ( \gamma -1)$로 나누면

(22)
\begin{align} { { \gamma -1 } \over 2 } \left( 1 - { { v_1}^2 \over {v_2}^2 } \right) = {{ \gamma P_2 } \over { \rho_2 { v_2}^2 }} \left( {{ \rho_2 / \rho_1 } \over { P_2 / P_1 }} - 1 \right) \end{align}

이것을 어찌어찌 하면 다음을 얻는다.

(23)
\begin{align} {\rho_2 \over \rho_1} & = {v_1 \over v_2} = {{ ( \gamma + 1 ) {\mathcal{M}_1}^2 } \over { ( \gamma -1 ) {\mathcal{M}_1}^2 + 2 }} \\ { P_2 \over P_1 } & = {{ 2 \gamma {\mathcal{M}_1}^2 - ( \gamma -1 ) } \over { \gamma + 1 }} \end{align}
  • 충격파는 $\mathcal{M}_1 \le 1$에 대해서만 유의미하므로 $v_2 / v_1 \le 1, \rho_2 / \rho_1 \ge 1, P_2 / P_1 \ge 1$
  • 즉 충격파가 지나가면 (충격파면 후방에서) 밀도와 압력은 증가하고 속도는 감소한다.
(24)
\begin{align} P_2 = {{ \rho_2 k T_2 } \over {\mu m_\mathrm{H} } } & = P_1 \times {{ 2 \gamma } \over { \gamma + 1 }} {\mathcal{M}_1}^2 \\ & = {1 \over \gamma } \rho_1 {c_s}^2 \times {{ 2 \gamma } \over {\gamma +1}} \times { {v_s} \over {c_s}^2 } \end{align}
(25)
\begin{align} \implies T_2 & = {{ \mu m_\mathrm{H} } \over k} \times {\rho_1 \over \rho_2 } \times {2 \over { \gamma +1}} {v_s}^2 \\ & = {{ \mu m_\mathrm{H} } \over k} {{ 2 ( \gamma -1) } \over { ( \gamma +1 )^2 }} {v_s}^2 \end{align}
  • $\therefore\ T \propto {\mathcal{M}}^2\ 또는\ {v_s}^2$
  • 충격파가 지나가면 온도가 크게 높아진다.

매우 강한 충격파 i.e. $\mathcal{M} \gg 1 \iff \gamma = 5/3$의 경우

(26)
\begin{cases} {\rho_2 \over \rho_1} \propto & {{ \gamma +1 } \over {\gamma -1}} = 4 \\ {P_2 \over P_1} \propto & {{ 2 \gamma \mathcal{M}^2 } \over {\gamma +1 }} = {5 \over 4} \mathcal{M}^2 \\ T_2 = & {3 \over 16} {{ \mu m_\mathrm{H} } \over k} {v_s}^2 \end{cases}

이상의 결과를 그래프로 정리하면 다음과 같다.

shock3.png

빗각 충격파

  • 자연계의 실제 충격파는 대부분 수직이 아닌 빗각으로 들어옴.
  • 속도의 수평성분 $v_\mathrm{t}$는 변화가 없고, 수직성분은 $v_\mathrm{n} \longrightarrow v_1 \cos \theta$
(27)
\begin{align} 모멘텀\ 선속\ ( P \overset{\underset{\leftrightarrow}{}}{I} + \rho \vec{v} \vec{v} ) \hat{x} & : 보존 \\ [ P \hat{x} + \rho \vec{v} v_x ] & = \mathrm{const.} \\ P + \rho {v_n}^2 & = \mathrm{const.} \\ \rho v_\mathrm{t} v_\mathrm{n} & = \mathrm{const.} \longleftarrow P_\mathrm{t} = 0 \\ \rho v_\mathrm{n} & = \mathrm{const.} \quad (질량보존) \\ \therefore\ v_\mathrm{t} & = \mathrm{const.} \end{align}
  • 빗각으로 충격파를 맞으면 수직성분은 1/4이 되고(식 26), 접선성분은 그대로 → 충격면에 가깝게 휘게 된다 (호상충격파)

등온충격파(isothermal shock)

shock4.png
  • 1상태에서 단열충격파를 맞고 2 상태가 되었다가(속도는 1/4배, 밀도는 4배) 3상태로 냉각천이
  • 이것을 1 → 3 불연속 변화로 생각함을 등온충격파라 함
  • 온도 × 밀도는 일정. 뜨거워서 빛을 방출하며 냉각하니 시간이 지날수록 온도 감소, 그에 따라 밀도는 증가.
  • 등온충격파의 도약조건:
(28)
\begin{cases} P_1 & = \rho_1 {c_s}^2 \\ P_3 & = \rho_3 {c_s}^2 \\ { \rho_3 \over \rho_1 } & = {v_1 \over v_3} = {\mathcal{M}_\mathrm{iso}}^2 \end{cases}
  • 속도는 0이 되고(와서 멈춤), 온도는 빡 올라간다.
  • 단열충격파의 밀도 도약은 최대 $( \gamma +1 ) / ( \gamma -1 )$배에 불과, 등온충격파는 (후방 냉각에 의해) 마하수의 제곱에 비례하는 큰 도약.

5.3. 초신성잔해

초음속 운동의 대표적 예: 초신성 폭발

초신성잔해의 4단계 진화

1. 자유팽창(free expansion)

  • 분출물의 팽창속도가 너무 커서 주변 성간매질을 압도
  • 충격파를 받은 성간물질은 속도가 느려지고 밀도가 높아짐 → 뒤에서 따라오는 분출물과 충돌, 뒤로 향하는 충격파 형성. 이를 각기 전진충격파, 후진충격파라고 한다.
  • 전진충격파와 후진충격파 사이의 접촉불연속면(contact discontinuity)이 분출물과 성간물질의 경계면
shock5.png
  • 시간이 지나면서 세 면 사이의 간격은 점점 늘어나고, 시간이 한참 지나면 전진충격파는 저 멀리 가 버린다.
  • 분출물 질량과 휩쓸린 성간매질 질량이 비슷해지면 자유팽창 끝. 즉 자유팽창 종료 관련 물리량은
(29)
\begin{cases} M_\mathrm{swept} & = {{4 \pi} \over 3} {r_s}^3 \rho_0 = M_\mathrm{ej} \\ t_\mathrm{free} & = {r_s \over v_\mathrm{ej} } = 192\ {n_0}^{-1/3} {E_{51}}^{-1/2} \left( {M_\mathrm{ej} \over M_\odot} \right)^{5/6} \quad \mathrm{yr} \\ r_s ( t_\mathrm{free} ) & = 2.0\ {n_0}^{-1/3} \left( {M_\mathrm{ej} \over M_\odot } \right)^{1/3} \quad \mathrm{pc} \end{cases}

2. 단열팽창(adiabatic expansion) 또는 에너지보존 단계(energy-conserving phase)

  • 자유팽창 단계를 지나면 충격파가 저 멀리 가 버려서 저 뒤편의 폭발체는 어떻게 지지고 볶던 상관이 없어진다. 단순히 1051 erg 라는 엄청난 에너지가 충격파로 멀리 떨어진 것만 기술. 에너지의 양만 문제지 그 에너지를 어떻게 줬는지는 노-상관
  • 이 단계에서는 복사에너지가 매우 작아서 에너지가 보존되는 것으로 친다(그 중 28%가 운동에너지, 72%가 열에너지).
  • 충격파 반경을 다음과 같은 함수로 쓴다면
(30)
\begin{align} R (t) & = f ( E_\mathrm{SN} , \rho_0 , t ) \\ & = A\ {E_\mathrm{SN}}^\alpha {\rho_0}^\beta t^\gamma \end{align}
  • 이 때 가능한 $\alpha, \beta, \gamma$ 조합은 하나 뿐 — 차원분석법(dimensional analysis)
(31)
\begin{align} \mathsf{L} = & ( \mathsf{M} \cdot \mathsf{L}^2 \mathsf{T}^{-2} )^\alpha ( \mathsf{M} \cdot \mathsf{L}^{-3} )^\beta \mathsf{T}^\gamma \\ & \implies \begin{cases} 2 \alpha - 3 \beta & = 1, \\ \alpha + \beta & = 0 \\ - 2 \alpha + \gamma & = 0 \end{cases} \\ \therefore\ & \gamma = 2 \alpha, \beta = - \alpha, \alpha = {1 \over 5} \\ & R(t) = A \left( {E_\mathrm{SN} \over \rho_0 } \right)^{1/5} t^{2/5} \end{align}
  • 이 때 산세리프체 글꼴은 그것이 물리량이 아니라 차원임을 의미
  • $A$는 상수이며 이것을 알기 위해서는 유체역학방정식을 풀어야 함
shock6.png
  • 압력과 밀도는 경계에서 가파르게 증가하고, 속도는 반경에 대략 선형적

3. 넉가래 단계(snowplow phase) 또는 운동량보존 단계(momentum conserving phase)

  • 단열팽창한 결과 냉각이 일어나고 냉각은 껍질을 형성. 껍질은 단열팽창의 운동량과 내부 온도 압력에 의해 팽창.
  • 껍질이 더 팽창하면 충분히 식어서 압력을 무시. 껍질은 내부압력 도움 없이 관성만으로 팽창을 계속한다. 외력이 없어졌으므로 운동량이 보존되므로 다음 조건이 성립
(32)
\begin{align} & {d \over {dt}} \left( M_s {{dr_s} \over {dt}} \right) = {d \over {dt}} \left( {{4 \pi} \over 3} \rho_0 {r_s}^3 \cdot {{d r_s} \over {dt}} \right) = 0 \\ & r_s \propto t^{1/4}, \quad v \propto t^{-3/4} \end{align}

4. 성간매질에 합병(merging with the ISM)

  • 성간물질의 난류속도 분산은 $\sigma_\mathrm{turb} \sim 10\ \mathrm{km/s}$
  • 충격파 전진속도가 이 속도보다 느려지면 충격파는 사라진다.
  • 넉가래 단계의 종료시점이 곧 합병단계의 시작시점이라고 가정하면 $v ( t_\mathrm{mgr} ) = \sigma_\mathrm{turb}$