4.3. 정상류

정상류의 개념

정적(static)과 정상(steady)의 차이:

  • 정적이라 함은 흐름이 없는 것, 모든 곳에서 속도장이 0 $\vec{v} = 0$
  • 정상이라 함은 흐름은 있으나 물리량은 변하지 않는 것
(1)
\begin{align} \rho {{d \vec{v} } \over {dt}} = \rho \left[ {{\partial \vec{v} } \over {\partial t}} + ( \vec{v} \cdot \vec{\nabla} ) \vec{v} \right] = - \vec{\nabla} P - \rho \vec{\nabla} \Phi \end{align}
  • 정상에서는 제1항 $\partial \vec{v} / \partial t = 0$, 정적일 때는 제2항 $(\vec{v} \cdot \vec{\nabla} ) \vec{v}$도 0이 됨

정적평형(hydrostatic equilibrium; HSE)의 조건:

(2)
\begin{align} {{\partial \vec{v} } \over {\partial t}} + ( \vec{v} \cdot \vec{\nabla} ) \vec{v} = - {1 \over \rho} \vec{\nabla} P - \vec{\nabla} \Phi = 0 \end{align}

이때 우변 제1항은 이렇게 쓸 수 있고

(3)
\begin{align} {1 \over \rho} \vec{\nabla} P = \vec{\nabla} \int {{dP} \over \rho} \equiv \vec{\nabla} h \end{align}
  • 이 때 $h$엔탈피(enthalpy)라고 한다.

밀도가 압력의 함수로만 정해지는($P \propto P ( \rho ) \times \rho^\gamma$) 유체를 순압(barotropic)하다고 한다.

(4)
\begin{align} h & = \int K \gamma \rho^{\gamma -2}\ d \rho \\ & = { \gamma \over {\gamma -1}} \rho^{\gamma -1 } = { \gamma \over {\gamma -1}} {P \over \rho} \\ \vec{\nabla} h & = {\gamma \over {\gamma -1}} \left( {{\vec{\nabla} P } \over \rho} - {P \over \rho^2} \vec{\nabla} \rho \right) \\ & = {\gamma \over {\gamma -1}} \left( {P \over \rho} {{\vec{\nabla} P} \over P} - {P \over \rho} {{\vec{\nabla} \rho } \over \rho} \right) \end{align}
(5)
\begin{align} P & = K \cdot \rho^\gamma \\ & \longrightarrow \ln P = \ln K + \gamma \ln \rho \\ & \longrightarrow {{ \vec{\nabla} P } \over \rho} = \gamma {{\vec{\nabla} \rho} \over \rho} \implies {{\vec{\nabla} \rho } \over \rho } = {1 \over \gamma} {{\vec{\nabla} P} \over P} \end{align}

식 (5)의 마지막 결과를 식 (4) 마지막 줄 괄호 속 제2항에 대입하고 정리하면

(6)
\begin{align} \vec{\nabla} \left( {1 \over 2} v^2 \right) + {1 \over \rho} \vec{\nabla} P + \vec{\nabla} \Phi + ( \vec{\nabla} \times \vec{v} ) \times \vec{v} & = 0 \\ \vec{\nabla} \left( {1 \over 2} v^2 + \int h + \Phi \right) + ( \vec{\nabla} \times \vec{v} ) \times \vec{v} & = 0 \end{align}

$\iff$ 이것이 정상순압류(steady barotropic flow)의 조건

압축성 유체비압축성 유체

  • 압축성(compressible): 밀도에 변화가 있음. 대개 기체.
  • 비압축성(incompressible): 밀도에 변화가 없음. 대개 액체. 비압축성 유체의 조건은
(7)
\begin{align} \vec{\nabla} \cdot \vec{v} & = 0 \\ {{d \rho} \over {dt}} = \left( {\partial \over {\partial t}} + \vec{v} \cdot \vec{\nabla} \right) \rho & = 0 \longleftarrow 연속방정식\ {{d \rho } \over {dt}} + \rho \vec{\nabla} \cdot \vec{v} = 0 \end{align}

베르누이 정리

(8)
\begin{align} & \vec{v} \cdot \vec{\nabla} ( \mathcal{B} ) = 0 \\ & \mathcal{B} \equiv {1 \over 2} v^2 + \int {{dP} \over \rho} + \Phi \end{align}
  • 유선을 따라갈 때 어떤 물리량이 변하지 않는데 그 물리량이 베르누이 함수 $\mathcal{B}$
sudo.png

e.g. 수도

  • 물은 액체이고 비압축성 유체 ($\rho = \mathrm{const.}$) i.e. 연속방정식 $\vec{\nabla} \cdot \vec{v} = 0$
  • 물론 이런 예는 천문학에서는 잘 나오지 않으나 수돗물을 예로 들어보자거
(9)
\begin{align} \mathcal{B} = {1 \over 2} v^2 + { P_\mathrm{atm} \over \rho} + gz = \mathrm{const.} \end{align}
  • 이 때 밀도 $\rho$가 일정하므로 높이가 낮아지면($z \downarrow$) 속도가 높아지고($v \uparrow$) 물줄기 단면적은 작아진다($A \downarrow$)
천문학적인 예 1 — 드 라발 분사공(de Laval Nozzle)
de-laval.png(10)
\begin{matrix} \begin{cases} \rho v A & = \mathrm{const.} \\ {1 \over 2} v^2 + \int {{dP } \over \rho} & = \mathrm{const.} \end{cases} & \implies & \begin{cases} {{d \rho} \over \rho} + {{dv} \over v} + {{dA} \over A} & = 0 \\ v\ dv + {{d \rho} \over \rho} {{dP} \over {d \rho}} & = 0 \end{cases} \end{matrix}

이 때

(11)
\begin{align} {{dP} \over {d \rho}} = a^2, \quad a & \equiv \sqrt{{dP} \over {d \rho}}: 음속 \\ \implies {v^2 \over a^2} \cdot {{dv} \over v} & + {{d \rho} \over \rho} = 0, \quad \mathcal{M} \equiv {v \over a}: 마하 \\ \therefore\ ( \mathcal{M}^2 -1) {{dv} \over v} & = {{dA} \over A} \end{align}
  • $\mathcal{M}^2 < 1$(아음속): $dv \uparrow \iff dA \downarrow$
  • $\mathcal{M}^2 > 1$(초음속): $dv \uparrow \iff dA \uparrow$
bondi.png

천문학적인 예 2 — 본디 강착(Bondi accretion)

  • 드 라발 분사공은 정상류가 빠져나가는 것이고, 본디 강착은 정상류가 들어오는 것 — 정상적 강착이 일어난다
  • 단위시간당 강착질량 $\dot{M} = ?$
(12)
\begin{align} 4 \pi r^2 \rho v & = \mathrm{const.} \quad (질량보존) \\ \mathcal{B} & = {1 \over 2} v^2 + \int {{dP } \over \rho } - {{GM} \over r} \\ & = {1 \over 2} v^2 + {c_s}^2 \ln \rho - {{GM} \over r} \longleftarrow P = \rho {c_s}^2 (등온을\ 가정) \\ & \simeq {c_s}^2 \ln \rho_\infty \end{align}

미분을 하고

(13)
\begin{align} 2 {{dr} \over r} + {{d \rho} \over \rho} + {{dv} \over v} & = 0 \\ v\ dv + {c_s}^2 {{d \rho} \over \rho } + {{GM} \over r^2} dr & = 0 \end{align}

보기 좋게 $1/c_s$ 를 곱해주면

(14)
\begin{align} \mathcal{M}^2 \cdot {{dv} \over v} & + {{d \rho } \over \rho} + {{GM } \over {c_s}^2 } {1 \over r} {{dr} \over r} = 0 \\ {{GM} \over {c_s}^2 } & \equiv r_\mathrm{B} : 본디\ 반경(\mathrm{Bondi\ radius}) \\ ( \mathcal{M}^2 -1 ) {{dv} \over v} & = 2 \cdot {{dr} \over r} - { r_\mathrm{B} \over r} = \left( 2 - { r_\mathrm{B} \over r} \right) {{dr} \over r} \\ ( \mathcal{M}^2 - 1 ) {1 \over v} {{dv} \over {dr}} & = \left( 2 - {r_\mathrm{B} \over r} \right) {1 \over r} \end{align}

이 방정식들을 이리저리 조합해 보면

(15)
\begin{align} \left( u - {1 \over u} \right) {{du} \over {dx}} & = {2 \over x} - {1 \over x^2}, u = {v \over c_s}, x & = {r \over r_\mathrm{B}} \end{align}

여기서 $\dot{M}$은 세 가지 해($>, =, < \dot{M}_c$)가 있는데, 그 중 둘은 물리적으로 불가능하고 하나만 가능하며, 이 때 $r = r_\mathrm{B} /2$

(16)
\begin{align} \dot{M} = \dot{M}_c = \pi e^{3/2} {{\rho_\infty (GM)^2 } \over {c_s}^3} = 1.12 \times 4 \pi {r_\mathrm{B}}^2 c_s \rho_\infty \end{align}

이것의 물리적 의미:

  • $r_\mathrm{B} /2$에서 음속천이(sonic transition)이 일어남
  • 실제 관측이 가능하려면 분해능이 $r_\mathrm{B} /2$보다 작아야 한다

예:

  • $M = M_\odot$: $r_\mathrm{B} \sim 10^3\ R_\odot < 1\ \mathrm{AU}$
  • 처녀자리 A 타원은하(메시에 87): $M = 10^9\ M_\odot$, $c_s = 300\ \mathrm{km/s}\ (T = 10^7\ \mathrm{K})$, $r_\mathrm{B} \sim 50\ \mathrm{pc}$, $\dot{M} \sim 0.1\ M_\odot / \mathrm{yr}$

같은 방정식으로 항성풍도 기술(파커 해):

  • 질량을 정상으로 빨아들이는 대신 반대로 정상으로 내보낸다
  • 아까와 같은데 다만 경계조건이 아까는 $\vec{v} (r = \infty ) = 0$, 지금은 $\vec{v} (r = 0 ) = 0$

소용돌이도

시공의 폭풍

(17)
\begin{align} \mathrm{vorticity} \quad \vec{\omega} = \vec{\nabla} \times \vec{v} \end{align}

$x-y$ 2차원 평면상에서

  • $\vec{v} = ( u(x, y) , v(x, y) , 0)$
  • $\vec{\omega} = (0,0, \omega)$
(18)
\begin{align} \omega = {{\partial v} \over {\partial x}} - {{\partial u} \over {\partial y}} \end{align}

e.g.

  • 고형회전(solid body rotation): 외부 소용돌이도와 내부 소용돌이도가 같은 회전
(19)
\begin{align} \vec{v} = \Omega r \hat{\phi} = (- \Omega y, \Omega x, 0 ) \iff \vec{\omega} = (0,0, 2 \Omega ) \end{align}
  • 비회전유동(irrotational flow): $\vec{\omega} = 0$
(20)
\begin{align} \vec{v} = \left( - {{Ay} \over {x^2 + y^2}} , {{Ax} \over {x^2 + y^2}} , 0 \right) \end{align}

소용돌이 방정식(vorticity equation)

(21)
\begin{align} \vec{v} \cdot \vec{\nabla} \vec{v} & = \vec{\nabla} \left( {1 \over 2} u^2 \right) + ( \vec{\nabla} \times \vec{v} ) \times \vec{v} \\ \vec{\nabla} \times \vec{\nabla} f & = 0 \end{align}

운동량 방정식으로부터,

(22)
\begin{align} {{\partial \vec{v}} \over {\partial t}} & + ( \vec{v} \cdot \vec{\nabla} ) \vec{v} = - {1 \over \rho} \vec{\nabla} P - \vec{\nabla} \Phi \\ {{\partial \vec{v}} \over {\partial t}} & + \vec{\nabla} \left( {1 \over 2} v^2 \right) + \vec{\omega} \times \vec{v} = - {1 \over \rho} \vec{\nabla} P - \vec{\nabla} \Phi \end{align}

여기에 회전을 취하면

(23)
\begin{align} {{\partial \vec{\omega} } \over {\partial t}} + \vec{\nabla} \times ( \vec{\omega} \times \vec{v} ) = - {1 \over \rho^2} \vec{\nabla} \rho \times \vec{\nabla} P = 0 \end{align}

비점성 순압 유체의 경우, 소용돌이 방정식은 다음과 같다.

(24)
\begin{align} {{\partial \vec{\omega} } \over {\partial t}} + \vec{\nabla} \times ( \vec{\omega} \times \vec{v} ) = 0 \end{align}
Kelvin’s.png

켈빈 순환정리(Kelvin’s Circulation Theorem)

  • 순환(circulation)을 다음과 같이 정의한다.
(25)
\begin{align} \Gamma = \oint_C \vec{v} \cdot d \vec{l} = \int_A ( \vec{\nabla} \times \vec{v} ) \cdot d \vec{A} = \int_A \vec{\omega} \cdot \hat{n}\ dA \end{align}
  • 이것은 폐곡면 $A$를 뚫고 지나가는 소용돌이선의 척도이다. 이것의 시간당 변화량은:
(26)
\begin{align} {{d \Gamma} \over {dt}} & = \int_A {{\partial \vec{\omega} } \over {\partial t}} \cdot \hat{n}\ d A + \int \vec{\omega} \cdot ( \vec{v} \times d \vec{l} ) \\ & = \int_A {{\partial \vec{\omega} } \over {\partial t}} \cdot \hat{n}\ d A + \oint \vec{\omega} \cdot ( \vec{v} \times d \vec{l} ) \\ & = \int_A {{\partial \vec{\omega} } \over {\partial t}} \cdot \hat{n}\ d A + \oint ( \vec{\omega} \times \vec{v} ) \cdot d \vec{l} \longleftarrow 스토크스\ 정리 \\ & = \int_A \left[ {{\partial \vec{\omega} } \over {\partial t}} + \vec{\nabla} \times ( \vec{\omega} \times \vec{v} ) \right] \cdot \hat{n}\ dA = 0 \end{align}
  • 즉 비점성 순압 유체의 경우, 소용돌이도는 시간에 불변하다 — 소용돌이가 유체 안에 얼어(frozen) 있다