4.2. 유체의 평형

기체의 상태방정식이 다음과 같이 주어지는 기체를 다방기체(polytropic gas)라고 한다.

(1)
\begin{align} P = \kappa \rho^{1 + {1 \over n}} \end{align}

이 때 임의의 실수 $n =$ 다방지수(polytropic index)

기체가 단열일 경우 다방지수와 단열지수 사이에는 다음 관계가 성립

(2)
\begin{align} n = {1 \over {\gamma - 1 }} > 0 \end{align}
  • 등온(isothermal)이면 $\gamma = 1$ 이므로 $n = \infty$
  • 단열(adiabatic)이면 $\gamma = 5/3$ 이므로 $n = 3/2$
480px-Barnard_68.jpg

오늘의 주제: 보크구상체 B68 성간운

  • $D \sim 150\ \mathrm{pc}$
  • $R \sim 100 '' \sim 0.07\ \mathrm{pc}$
  • 이놈이 역학적으로 어떤 상태에 있을까?

레인-엠덴 방정식

일단 등온하다고 가정. 등온기체구의 압력은 다음과 같다.

(3)
\begin{align} P = & {{\rho k T} \over {\mu m_\mathrm{H} }} = \rho {c_s}^2 \end{align}

$c_s$는 등온음속(isothermal sound speed)이며 다음과 같이 주어진다.

(4)
\begin{align} c_s \equiv \sqrt{{kT} \over {\mu m_\mathrm{H}}} = 0.287 \left( {T \over {10\ \mathrm{K}} } \right)^{1 \over 2} \mu^{- {1 \over 2}}\ \mathrm{km/s} \end{align}

운동방정식:

(5)
\begin{align} \rho {{d \vec{v} } \over { dt}} & = \rho \left( {{ \partial \vec{v} } \over { \partial t}} + ( \vec{v} \cdot \vec{\nabla} ) \vec{v} \right) \\ & = - \vec{\nabla} P - \rho \vec{\nabla} \Phi \\ \vec{\nabla} P & = - \rho \vec{\nabla} \Phi \\ {{\partial P } \over {\partial r}} & = - \rho {{\partial \Phi} \over {\partial r}} \\ {1 \over \rho} {{\partial P} \over {\partial r}} & = - {1 \over {c_s}^2} {{\partial \Phi} \over {\partial r}} \\ {\partial \over {\partial r}} ( \ln \rho ) & = - {1 \over {c_s}^2} {{\partial P} \over {\partial r}} \end{align}
(6)
\begin{align} \rho (r) & = \rho_\mathrm{c}\ \exp \left[ {{\Phi(r) - \Phi(0)} \over {c_s}^2} \right] \\ & \equiv \rho_\mathrm{c}\ \exp \left[ - \psi \right] \\ & \quad \left( \psi \equiv {{ \Phi (r) - \Phi (0) } \over {c_s}^2} \right) \end{align}
  • $\Phi$는 중력 위치에너지
  • $\rho_\mathrm{c}$는 중심 밀도

푸아송 방정식:

(7)
\begin{align} \nabla^2 \Phi & = 4 \pi G \rho \\ {1 \over r^2} {\partial \over {\partial r}} \left( r^2 {{\partial \Phi } \over {\partial r}} \right) & = 4 \pi G \rho \\ {1 \over r^2} {\partial \over {\partial r}} \left( - {{ r^2 {c_s}^2} \over \rho} {{\partial \rho } \over {\partial r}} \right) & = - 4 \pi G \rho \\ \left( \because\ {{\partial \Phi} \over {\partial r}} \right. & = \left. - {{r^2 {c_s}^2 } \over \rho } {{\partial \rho } \over {\partial r}} \right) \\ {1 \over r^2} {\partial \over {\partial r}} \left( {r^2 \over \rho} {{\partial \rho} \over {\partial r}} \right) & = {{- 4 \pi G } \over {c_s}^2} \rho \end{align}
  • 이것을 만족하는 멱해 $rho (r) = A r^{- \alpha}$가 존재할까?
(8)
\begin{align} - \alpha {1 \over r^2} {\partial \over {\partial r}} \left( r^2 \cdot {1 \over r} \right) & = - {{4 \pi G} \over {c_s}^2} A r^{- \alpha} \\ {\alpha^2 \over r^2 } & = {{4 \pi G} \over {c_s}^2 } A \cdot r^{- \alpha} \end{align}
  • 이 조건이 만족되면 멱해가 존재함
(9)
\begin{align} \alpha = 2, \quad & A = {{ \alpha {c_s}^2 } \over {4 \pi G}} = { {c_s}^2 \over {2 \pi G}} \\ \rho (r) & = {{c_s}^2 \over {2 \pi G}} r^{-2} \end{align}
  • 이것의 의미: 등온 기체구가 멱해조건을 만족하면 밀도는 반경의 제곱에 반비례
  • 하지만 이것은 중심에서 밀도가 무한이 되기 때문에 수학적 해일 뿐 물리적 해가 될 수 없음 — 특이점 등온구(singular isothermal sphere; SIS)

물리적 해를 갖기 위한 경계조건:

  • 중심에서 밀도가 유한해야 함
(10)
\begin{align} \rho (r = 0) = \rho_\mathrm{c} < \infty \end{align}
  • 그리고 중심은 대칭적이므로 작용하는 알짜힘이 없다
(11)
\begin{align} {{\partial \rho} \over {\partial r}} = 0 \end{align}

푸아송 방정식의 차원은?

(12)
\begin{align} {1 \over r^2 } {\partial \over {\partial r}} \left( {r^2 \over \rho} {{\partial \rho} \over {\partial r}} \right) & = - {{4 \pi G} \over {c_s}^2} \cdot \rho_\mathrm{c}\ \exp \left[ - \psi \right] \end{align}
  • 이 때 우변에서 지수함수에 곱해진 항의 차원은 $1 / r$로 주어짐
  • 무차원 반경 $\xi$를 도입
(13)
\begin{align} \xi \equiv \left( {{4 \pi G \rho_\mathrm{c} } \over {c_s}^2 } \right)^{1 \over 2} r = ar \end{align}
  • 이것으로 푸아송 방정식을 다시 쓰면
(14)
\begin{align} a^2 {1 \over \xi^2} {\partial \over {\partial \xi}} \left( {\xi^2 \over \rho } {{ \partial \rho } \over {\partial \xi}} \right) & = - {{4 \pi G} \over {c_s}^2 } \rho_\mathrm{c} \cdot \exp \left[ - \psi \right] \\ \implies {1 \over \xi^2 } {\partial \over {\partial \xi}} \left( { \xi^2 \over \rho} {{\partial \rho} \over {\partial \xi}} \right) & = - \exp \left[ - \psi \right] \end{align}
  • 이것을 레인-엠덴 방정식(Lane-Emden equation)이라 하고, 경계조건은
(15)
\begin{align} \psi (\xi = 0) = 0, \quad \left. {{\partial \psi} \over {\partial r}} \right|_{\xi = 0} = 0 \end{align}
  • 이것을 초기조건 $\xi = 0$으로 수치적분하면 해가 나온다
    • 예컨대 비압축성(밀도 일정; $\rho = \mathrm{const.}$) 유체는 $n = 0$
(16)
\begin{align} {1 \over \xi^2} {\partial \over {\partial \xi}} \left( \xi^2 {{\partial \psi} \over {\partial \xi}} \right) & = \exp \left[ - \psi \right] \\ \rho & = \rho_\mathrm{c} \cdot \exp \left[ - \psi \right] \end{align}
lane-emden.png
  • 암흑성간운이 무한하다면 이런 밀도분포를 가질 것이다.
  • 하지만 실제로는 외부물질의 압력으로 인해 팽창이 멈추고 암흑성간운의 반경은 유한해진다.

보너-에버트 기체구

(17)
\begin{align} M (r) & = 4 \pi \int_0^r r^2 \rho (r)\ dr \\ & 4 \pi \rho_\mathrm{c} \left( {{c_s}^2 \over {4 \pi G \rho_\mathrm{c} }} \right)^{3/2} \int_0^\xi \xi^2 \cdot \exp \left[ - \psi ( xi) \right] d \xi \\ M ( \xi ) & = \left( {1 \over {4 \pi \rho_\mathrm{c} }} \right)^{1/2} { {c_s}^3 \over {G^{3/2}}} \cdot \xi^3 {{d \psi} \over {d \xi}} \\ & = {{c_s}^2 \over {G^{3/2} {\rho_\mathrm{c}}^{1/2}}}\ m ( \xi) \\ m ( \xi ) & = {1 \over \sqrt{4 \pi }} \xi^2 {{du} \over {d \xi}} \end{align}

질량 $M$, 외부압력 $P_\mathrm{ext}$일 때 성간운의 크기

(18)
\begin{align} \xi & = \left( {{4 \pi G \rho_\mathrm{c} } \over {c_s}^2 } \right)^{1/2} r \\ \xi_0 & = \left( {{4 \pi G \rho_\mathrm{c} } \over {c_s}^2 } \right)^{1/2} R \\ { \xi_0 \over R} c_s & = \sqrt{4 \pi G \rho_\mathrm{c}} \end{align}
(19)
\begin{align} M & = { {c_s}^2 \over { G^{3/2} {\rho_\mathrm{c}}^{1/2} }}\ m ( \xi) \\ P_\mathrm{ext} & = {{c_s}^8 \over {G^3 M^2 }} m (\xi_0)^2\ \exp \left[ - u (\xi_0) \right] \end{align}
bonner-ebert.png
  • 왼쪽 그림은 등온 기체구의 밀도분포, 오른쪽 그림은 외부압력과 반경의 관계를 나타낸다.
  • $A$는 반경이 $C$보다 큰 임의의 점이고 $B, C$는 각각 외부압력이 최대인 점, 반경이 최소인 점이다.

중력적으로 안정된 최소크기의 등온기체구를 보너-에버트 기체구(Bonnor-Ebert gas sphere)라고 한다.

(20)
\begin{align} M_\mathrm{BE} & = 1.18 { {c_s}^4 \over { G^{3/2} {P_\mathrm{ext}}^{1/2} }} \\ R_\mathrm{BE} & = 0.41 {{ G M_\mathrm{BE} } \over {c_s}^2} \end{align}
  • 보너-에버트 기체구의 질량 $M_\mathrm{BE}$은 안정한 등온기체구의 최대질량이며, 그 반경은 안정한 등온기체구의 최소반경이다.
  • 질량이 $M_\mathrm{BE}$보다 무겁거나 반경이 $R_\mathrm{BE}$보다 작은 성간운은 중력적으로 불안정하다.
  • 오른쪽 그래프에 가로선을 그으면, 최대값 이하에서는 해가 둘 존재한다. 둘 중 하나는 안정하고 하나는 불안정하다.
(21)
\begin{align} M < M_\mathrm{BE}, \quad {\rho_\mathrm{c} \over \rho_0} < 14.1 & \iff 안정 \\ M < M_\mathrm{BE}, \quad {\rho_\mathrm{c} \over \rho_0} > 14.1 & \iff 안정 \\ \end{align}
  • 중심밀도가 경계밀도의 14.1배 이상이면 자체중력에 의해 수축이 일어난다. 즉, 성간운이 별을 형성한다.
  • 중심 밀도가 높을수록 불안정 평형에 가깝고, 외부에서 섭동이 가해지면 수축붕괴한다.
b68-graph.png

다시 보크구상체로 돌아와서…

  • 이놈의 소광 그래프를 살펴본 바, 무차원 반경 $\xi_0 = 6.9$
  • 안정인지 불안정인지 미묘한 수치
  • 평형의 경계($\xi_0 = 6.5$)에 가깝다고 본다