4.1. 기본방정식

벡터 공식들

유체의 개념

유체의 필요조건

  • 시간이 지나서 이동한 입자들은 이동하기 전의 입자와 같다
  • 평균자유행로 $\lambda_\mathrm{mfp}$, 덩어리의 크기 $l$, 이동거리 $L$에 대하여
(4)
\begin{align} L \gg l \gg \lambda_\mathrm{mfp} \end{align}

평균자유행로(mfp): 충돌과 충돌 사이의 평균 거리

Basic-Equations-01.png

즉 오른쪽 그림에서

(5)
\begin{align} {{n \Delta x\ A \sigma} \over A} \sim 1 \end{align}

가 되는 거리

(6)
\begin{align} \Delta x \equiv 평균자유행로\ \lambda_\mathrm{mfp} & = {1 \over {n \sigma}} \\ 충돌시간\ t_c & \equiv { \lambda_\mathrm{mfp} \over v} & = {1 \over {n \sigma v}} \end{align}

중성기체의 경우

(7)
\begin{align} 단면적\ \sigma & = \pi ( a_1 + a_2 )^2 \times 3 \times 10^{16}\ \mathrm{cm}^2 \sim 10^{-15}\ \mathrm{cm}^{2} \\ \mathrm{if}\ n & = 1\ \mathrm{cm}^{-3}, T = 100\ \mathrm{K} \\ & \implies \lambda_\mathrm{mfp} \sim 10^{15}\ \mathrm{cm}, \quad t_c \sim 300\ \mathrm{yr} \end{align}

전리기체의 경우,

  • 쿨롱 상호작용이 있을 경우
(8)
\begin{align} \Delta v_\perp & \sim {{ Ze^2 } \over {mb^2}} \times {b \over v} \sim { {Ze^2 } \over {mvb}} \sim v \\ b & \sim {{Ze^2 } \over {mv^2}} \\ \implies \sigma = \pi b^2 & = \pi \left( {{ Ze^2 } \over {mv^2}} \right)^2 \sim \left( {{Ze^2} \over {kT}} \right)^2 \\ \lambda_\mathrm{mpf} & \sim {1 \over {n \sigma}} \sim {1 \over n} \cdot \left( {{kT} \over {Ze}} \right)^2 \sim 10^{5-6} {r^2 \over n}\ \mathrm{cm} \end{align}
  • 제동복사 때 나왔던 거임. 제동복사를 일으키는 "그런 충돌"이 일어날 때 단면적과 평균자유행로가 이와 같음. 그러나 "그런 충돌"은 드물다.
    • e.g. 온도가 100만 켈빈이고 개수밀도 $n = 0.01$일 때 제동복사의 평균자유행로는 수 파섹 (크다) — 하지만 실제로는 그보다는 작다
  • 소각 무작위 충돌의 경우
(9)
\begin{align} \Delta v_\perp & = \Delta v_{\perp,1} + \Delta v_{\perp,2} + \cdots \\ \sum \Delta v_{\perp, i} & = 0, \quad \sum \Delta {v_{\perp,i}}^2 = \sum_{i=1}^N ( \Delta b_{\perp, i} )^2 \\ \sqrt{ \sum \Delta {v_{\perp, i}}^2 } & = \sqrt{ \sum_{i=1}^N ( \Delta v_{\perp, i} )^2 } \sim v \end{align}
  • 행로와 충돌시간이 훨씬 짧다: 이게 더 일반적인 경우
    • e.g. 온도가 100만 켈빈이고 개수밀도 $n = 0.01$일 때 평균자유행로는 1010 cm, 충돌시간은 30 년

스피처(우주망원경 이름 유래가 된 양반)의 Physics of Fully Ionized Gases에서…

(10)
\begin{align} \Delta v_\perp & = {{Ze^2 } \over {mb^2}} \times {b \over v} \propto {1 \over {bv}} \\ {{ \Delta {v_\perp}^2 } \over v^2 } & \sim {1 \over {b^2 v^4}} \end{align}
(11)
\begin{align} t_D \cdot \int {{ \Delta {v_\perp}^2 } \over v^2} \cdot ( 2 \pi b\ db) ( n(v) v\ dv) \end{align}
  • 첫 번째 괄호는 단면적 $\sigma$, 두 번째 괄호는 개수밀도 $n$. 이것이
(12)
\begin{align} \sim t_D \int {{db} \over b} \int {1 \over v^3} n(v)\ dv \sim 1 \end{align}
  • $\int db/b = \ln \Lambda \sim 30$은 쿨롱 지수
(13)
\begin{align} \therefore\ t_D \sim {T^{3/2} \over {n \ln \Lambda}}, \quad < {1 \over 2} mv^2 > \sim {3 \over 2} kT, \quad < v^2 > \sim T \end{align}

유체의 운동학적 기술

MaterialDerivative.png

1. 오일러식: 고정된 부피를 지정, 거기서 무슨 일이?

(14)
\begin{align} \delta q = q ( \vec{x}, t + \Delta t) = q( \vec{x} , t) \approx {{\partial q} \over {\partial t}} \Delta t \end{align}

2. 라그랑주식: 유체의 성분을 지정, 그 움직임을 따라감

(15)
\begin{align} \Delta q & = q (\vec{x} + \Delta \vec{x}, t + \Delta t ) - q ( \vec{x}, t ) \\ & \simeq q (\vec{x}, t) + \Delta \vec{x} \cdot \vec{\nabla} q + \Delta t {{\partial q} \over {\partial t}} - q( \vec{x} , t ) \\ & = \Delta t \left( {{\Delta \vec{x} } \over {\Delta t}} \cdot \vec{\nabla} q + {{\partial q} \over {\partial t}} \right) \\ & = \Delta t {{Dq } \over {Dt}} \\ 라그랑주\ 도함수\ {D \over {Dt}} & \equiv {{\partial } \over {\partial t}} + ( \vec{v} \cdot \vec{\nabla} ) \end{align}
유체의 장선(field lines)
Streamline_streakline_pathline.jpg
  • 유선(stream line): 속도를 보여주는 선
  • 유맥선(streak line): 동일한 지점을 통과한 입자들을 추적한 선
  • 유적선(path line): 입자의 위치를 보여주는 선
  • 유체가 조용히 흐른다면 이 세 선은 일치한다

유체동역학 기본방정식

우리가 모르는 것들: 밀도 $\rho$, 속도 $\vec{v}$, 압력 $P$, 온도 $T$, 퍼텐셜 $\Phi$ 7개(속도가 3차원이라서) — 방정식도 7개 필요

  • 연속방정식 (질량보존)
(16)
\begin{align} {{\partial \rho} \over {\partial t}} + \vec{\nabla} \cdot ( \rho \vec{v} ) = 0 \end{align}
  • 운동방정식 (운동량보존)
(17)
\begin{align} \rho {{d \vec{v} } \over {dt}} = \rho \left( {{\partial \vec{v}} \over {\partial t}} + \vec{v} \cdot \vec{\nabla} \vec{v} \right) = - \vec{\nabla} P - \rho \vec{\nabla} \Phi \end{align}
  • 에너지 방정식 (에너지보존)
(18)
\begin{align} \rho T {{D s} \over {Dt}} = {1 \over {\gamma -1}} {{DP} \over {Dt}} - { \gamma \over {\gamma - 1 }} {P \over \rho } {{D \rho } \over {D t}} = - \rho \mathcal{L} \end{align}
  • 이상기체 상태방정식
(19)
\begin{align} P = \rho {{kT} \over { \mu m_\mathrm{H} }} \end{align}
  • 푸아송 방정식
(20)
\begin{align} \nabla^2 \Phi = 4 \pi G \rho \end{align}

연속방정식 — 밀도의 변화 기술

어떤 부피 $V$에 대하여

(21)
\begin{align} {\partial \over {\partial t}} \int \rho\ dV & = \int {{\partial \rho} \over {\partial t}} dV \\ & = - \oint_S \rho \vec{v} \cdot \hat{n}\ dA \\ & = - \int_V \vec{\nabla} \cdot ( \rho \vec{v} ) dV \end{align}
  • 이 식의 의미: $\vec{v}$$n$이 같은 방향이면 질량이 빠져나간다($-$)

오일러식으로 쓰면

(22)
\begin{align} {{\partial \rho } \over {\partial t}} + \vec{\nabla} \cdot ( \rho \vec{v} ) = 0 \end{align}
  • 정해진 부피에서 질량은 보존된다

라그랑주식으로 쓰면

(23)
\begin{align} \rho \vec{\nabla} \cdot \vec{v} & + ( \vec{v} \cdot \vec{\nabla} ) \rho \\ {{d \rho } \over {d t}} & = - \rho \vec{\nabla} \cdot \vec{v} \\ {1 \over \rho } {{D \rho} \over {Dt}} & = - \vec{\nabla} \cdot \vec{v} \end{align}
  • 이동하는 유체의 밀도는 $\vec{\nabla} \cdot \vec{v}$에 따라 변동한다
    • $\vec{\nabla} \cdot \vec{v} > 0 \implies$ 팽창 $\implies \rho \downarrow$

운동방정식 — 운동량의 변화 기술

유체 덩어리의 운동량의 변화량은

(24)
\begin{align} \Delta t \int \rho {{d \vec{v}} \over {dt}}\ dV \end{align}

유체가 미치는 힘(압력)은

(25)
\begin{align} - \Delta t \int P \cdot \hat{n}\ dA = - \Delta t \int \vec{\nabla} P \cdot d V \quad (발산정리) \end{align}

외부의 힘 $\vec{f}$가 미친다면 다음 항을 더해준다.

(26)
\begin{align} + \Delta t \int \rho \vec{f}\ dV \end{align}
(27)
\begin{align} \rho {{d \vec{v}} \over {dt}} = & - \vec{\nabla} P + \rho \vec{f} \\ & (\vec{f} = - \vec{\nabla} \overset{\underset{\leftrightarrow}{}}{\Pi}) \end{align}

오일러식으로 쓰면

(28)
\begin{align} {\partial \over {\partial t}} ( \rho \vec{v}_i ) & = {{\partial \rho} \over {\partial t}} v_i + \rho {{\partial v_i} \over {\partial t}} \end{align}
(29)
\begin{align} (우변\ 제1항) & = - \vec{\nabla} \cdot ( \rho \vec{v} ) \quad (\because\ 연속방정식) \\ & = - v_i {\partial \over {\partial x_k}} \rho v_k \\ (우변\ 제2항) & = \rho \left[ \left( {{d v_i} \over {dt}} \right] - ( \vec{v} \cdot \vec{\nabla} ) v_i \right) \\ & = \rho {{dv} \over {dt}} - \rho v_k {{\partial v_i} \over {\partial x_L}} \end{align}
(30)
\begin{align} \implies 식\ (28) & = \rho {{d v_i} \over {dt}} - {\partial \over {\partial x_k}} (\rho v_i v_k) \\ - {{\partial P} \over {\partial x_i}} - {\partial \over {\partial x_L}} ( \rho v_i v_k) \end{align}
(31)
\begin{align} \therefore\ & {\partial \over {\partial t}} (\rho v_i) = {\partial \over {\partial x_k}} ( \rho v_i v_k + P \delta_{ik} ) \\ & \iff {{\partial \rho } \over {\partial t}} + \vec{\nabla} ( \rho \vec{v} ) = 0 \\ \therefore\ & {\partial \over {\partial t}} ( \rho v_i ) + {\partial \over {\partial x_k}} ( \rho v_i v_k + P \cdot \delta_{ik} ) = 0 \end{align}
  • $\rho v_i v_k + P \cdot \delta_{ik} \equiv \Pi_{ik}$: 운동량 선속밀도 텐서(momentum flux density tensor)
  • $\rho \vec{v} \vec{v} \equiv \overset{\underset{\leftrightarrow}{}}{R}$: 운동량 선속(momentum flux), 레이놀즈 변형력 텐서(Reynolds stress tensor)
  • $ik$$k$ 방향으로의 $i$ 성분

식 (31)을 벡터식으로 쓰면 다음과 같고 이것을 운동방정식이라 함(유체의 운동량 보존을 표현)

(32)
\begin{align} {\partial \over {\partial t}} ( \rho \vec{v} ) + \vec{\nabla} \cdot ( \rho \vec{v} \vec{v} + P \overset{\underset{\leftrightarrow}{}}{I} ) = 0 \end{align}
  • $\overset{\underset{\leftrightarrow}{}}{I} = \hat{x} \hat{x} + \hat{y} \hat{y} + \hat{z} \hat{z}$

한편 라그랑주식으로 쓴 운동방정식은 다음과 같고

(33)
\begin{align} \rho {{d \vec{v} } \over {dt}} = - \vec{\nabla} P + \rho \vec{f} \quad (\vec{f} = - \vec{\nabla} \overset{\underset{\leftrightarrow}{}}{\Pi}) \end{align}

이것을 오일러 방정식(Euler equation)이라고 함(라그랑주식인데 어째서 이름은 오일러…)

$\hat{n}$ 방향 운동량 벡터

(34)
\begin{align} (\rho \vec{v} \vec{v} + P \overset{\underset{\leftrightarrow}{}}{I} ) \cdot \hat{n} & = \rho \vec{v} ( \vec{v} \cdot \hat{n} ) + P \overset{\underset{\leftrightarrow}{}}{I} \cdot \hat{n} \end{align}
  • 이때 $\overset{\underset{\leftrightarrow}{}}{I} \cdot \hat{n} = \hat{x} ( \hat{x} \cdot \hat{n} ) + \hat{y} ( \hat{y} \cdot \hat{n} ) + \hat{z} ( \hat{z} \cdot \hat{n} ) = \hat{n}$

e.g.

(35)
\begin{align} \overset{\underset{\leftrightarrow}{}}{\Pi} = \rho \vec{v} \vec{v} + P \overset{\underset{\leftrightarrow}{}}{I} = \begin{cases} P \hat{n} & \hat{n} \perp \hat{v} \\ \rho \vec{v} \cdot \vec{v} + P \hat{n} = ( \rho v^2 + P) \hat{n} & \hat{n} \parallel \hat{v} \end{cases} \end{align}

이 때 $\rho v^2$을 충차압(ram pressure)이라고 한다.

  • 유체가 움직일 때 가해지는 힘은 유체 물질 자체의 압력과 유체가 뒤에서부터 연속적으로 밀리는 충차압의 합이라는 뜻
  • 수직이면 충차압이 0이라 그냥 압력

에너지방정식 — 에너지의 변화 기술

이상기체 상태방정식

(36)
\begin{align} P = & nkT = { \rho \over { \mu m_\mathrm{H} }} kT \\ & \left( 평균분자량\ \mu \equiv {\rho \over {m_\mathrm{H} n}} \right) \end{align}
  • 중성수소의 $\mu = 1$(원자 1개), 전리수소의 $\mu = 0.5$(이온 + 자유전자 2개)
  • 우주함량(수소와 헬륨이 9대 1)이 중성일 때: $n = 1.1, \quad m = 1.4, \quad \mu = 1.4/1.1 = 1.27$
(37)
\begin{align} {1 \over 2} \times {1 \over 3} n \bar{v} \times 2 m \bar{v} = {1 \over 3} m {\bar{v}}^2 = nkT \end{align}

맥스웰 속도분포: 속도 $[v, v+dv ]$ 사이의 입자수

(38)
\begin{align} n_v dv = n \left( {m \over {2 \pi kT}} \right)^{3 \over 2} \exp \left[ - {{mv^2 } \over {2kT}} \right] \cdot 4 \pi v^2\ dv \end{align}
  • $n (m / 2 \pi k T)^{3/2}$는 정규화(적분하면 1)를 위해 곱해준 것이고 $4 \pi v^2\ dv = d^3 v$
(39)
\begin{align} < {1 \over 2} m v^2 > & = {1 \over n} \int {1 \over 2} m v^2 n_v\ dv = {3 \over 2} kT \\ < {1 \over 2} m {v_x}^2 > & {1 \over 3} \times < {1 \over 2} m v^2 > = {1 \over 2} kT \end{align}
Basic-Equations-02.png
(40)
\begin{align} F & = {{2 m v_x} \over {\Delta t}} = {{2 m v_x} \over {2 \Delta x/ v_x }} = {{m {v_x}^2 } \over {\Delta x}} \\ \Sigma F = \int {{ m {v_x}^2 } \over { \Delta x}} A \Delta x \cdot n_v\ d v_x \\ = A \rho {1 \over 3} < v^2 > \\ P & = {{ \Sigma F} \over A } = \rho {1 \over 3} < v^2 > = n k T = {{\rho k T} \over {\mu m_\mathrm{H}} } \end{align}
  • 밀도 $\rho = nm$이고
  • $< v^2 >$의 제곱근을 제곱평균제곱근(rms) 속도라 하여
(41)
\begin{align} v_\mathrm{rms} = \sqrt{ < v^2 > } = \sqrt{{3kT} \over m} \end{align}
(42)
\begin{align} \vec{v} = {1 \over n} \int v \cdot n_v\ dv \end{align}

에너지 방정식은 이것의 열역학적 적분인 바,

(43)
\begin{align} 열역학\ 제1법칙\ dQ & = de + P\ dV \\ 열역학\ 제2법칙\ dQ & = T\ ds \end{align}
  • $dQ$는 열, $de$는 온도변화, $P\ dV$는 일.
  • $V = 1 / \rho$는 특정부피(specific volume), $s$는 특정엔트로피(specific entropy)
(44)
\begin{align} 정적비열\ c_V & \equiv \left. {{dQ} \over {dT}} \right|_V \\ 정압비열\ c_P & \equiv \left. {{dQ} \over {dT}} \right|_P \\ 단열지수\ \gamma & = { c_P \over c_V} \end{align}
(45)
\begin{align} dQ & = de + P\ dV \longrightarrow c_V = \left. {{dQ} \over {dT}} \right|_V = {{de} \over {dT}} \\ & = de + d( P V) - V\ dP \\ c_P & = c_V + {d \over {dT}} ( PV) \\ & = c_V + {k \over {\mu m_\mathrm{H}}} \longleftarrow V = {1 \over \rho}, P = { { \rho kT} \over {\mu m_\mathrm{H} } } \end{align}

단원자기체의 경우 단위질량당 내부에너지 $e$

(46)
\begin{align} e = { \mathcal{E} \over \rho } & = {3 \over 2} { {kT} \over {\mu m_\mathrm{H} }} \\ 내부에너지밀도\ \mathcal{E} & = n {1 \over 2} < m v^2 > = {3 \over 2} nkT = {3 \over 2} { \rho \over {\mu m_\mathrm{H} }} kT \end{align}

그래서 다 정리하면 단원자기체의 정적비열, 정압비열, 단열지수는

(47)
\begin{align} c_V = {3 \over 2} {k \over {\mu m_\mathrm{H} }}, \quad c_P = {5 \over 2} {k \over {\mu m_\mathrm{H} }}, \quad \gamma = {c_P \over c_V} = {5 \over 3} \end{align}

이것을 일반화하면

(48)
\begin{align} \mathcal{E} & = {f \over 2} { \rho \over { \mu m_\mathrm{H}}} kT \\ c_V & = {f \over 2} {k \over {\mu m_\mathrm{H}}}, c_P = {{f+2} \over 2} {k \over { \mu m_\mathrm{H}}}, \\ \gamma & = 1 + {2 \over f} \end{align}

이때 $f$는 자유도(degree of freedom).

  • 단원자는 3 — $\hat{x}, \hat{y}, \hat{z}$ 3방향
  • 분자(예컨대 CO)는 5 — 위 3방향 + 시계방향, 반시계방향
(49)
\begin{align} P = { \rho \over { \mu m_\mathrm{H}}} kT & = c_V (\gamma - 1 ) \cdot \rho T \\ & = ( \gamma -1) \rho e = ( \gamma - 1 ) \mathcal{E} \\ dQ & = T\ ds = de + P\ dV \\ & = {1 \over {\gamma -1}} d \left( {P \over \rho} \right) + P\ d \left( {1 \over \rho } \right) \\ ds & = c_V {{\gamma-1} \over {\gamma-1}} { \rho \over P}\ d \left( {P \over \rho} \right) + c_V ( \gamma - 1 ) P\ d \left( {1 \over \rho } \right) \\ & = c_V\ d \left( \ln {P \over \rho } \right) + c_V ( \gamma - 1 )\ d \left( \ln {1 \over \rho} \right) \\ & = c_V\ d \left[ \ln {P \over { \rho \gamma } } \right] \\ \therefore\ 엔트로피\ s & = c_V\ \ln {P \over {\rho \gamma}} + \mathrm{const.} \end{align}

e.g. 늙은 별이 폭발해서 기체가 팽창하는 것이 단열팽창이라고 가정하면, 기체는 단열팽창하면서 식게 된다. 어떻게 식을까?

  • 단열 $\iff dQ = 0 \implies s = \mathrm{const.} , \quad P \propto \rho^\gamma$
(50)
\begin{align} P \sim & \rho T \propto \left( {M \over R^3} \right)^{5 \over 3} \propto R^{-5} \\ & \therefore\ T \propto { R^{-5} \over \rho } \propto R^{-2} \end{align}
  • 폭발잔해는 시간이 조금만 지나도 금방 식어서 안 보이게 된다
(51)
\begin{align} \rho T {{ds} \over {dt}} & = \rho {{d \rho } \over {dt}} + \rho P {d \over {dt}} \left( {1 \over \rho } \right) = - \rho \mathcal{L} \\ & = \rho {d \over {dt}} \left( { \mathcal{E} \over P} \right) - { P \over \rho } {{d \rho} \over {dt}} \longleftarrow \mathcal{E} = {1 \over {\gamma -1}} P \\ & = {1 \over { \gamma -1 } } \rho {d \over {dt}} \left( {P \over \rho } \right) - {P \over \rho} {{d \rho } \over {dt}} \\ \rho T {{ds} \over {dt}} & = {1 \over {\gamma - 1}} {{dP} \over {dt}} - {1 \over {\gamma - 1}} P \cdot {1 \over \rho } {{d \rho} \over {dt}} - { P \over \rho } {{d \rho} \over {dt}} \\ & = {1 \over {\gamma - 1}} {{d P } \over {dt}} - { \gamma \over {\gamma -1}} { P \over \rho } {{d \rho } \over {dt}} = - \rho \mathcal{L} \qquad \left( \rho T {{ds} \over {dt}} = - \rho \mathcal{L} \right) \end{align}

이것이 에너지 방정식이다. $\mathcal{L}$은 알짜냉각(net cooling).