3. 수소원자구조

“수소를 이해하는 것이 물리 전체를 이해하는 것이다”

— 빅토르 바이스코프

보어 모형

(1)

\begin{align} E_n & = - {1 \over {2 n^2}} { e^2 \over a_0} \\ 보어\ 반경\ a_0 & \equiv { \hbar^2 \over {m_e e^2}} = 0.529\ Å\\ r & = n^2 a_0, \quad v = {e^2 \over {n \hbar}} = {{ \alpha c} \over n} \end{align}

(2)

\begin{align} 뤼드베리\ 에너지\ E_n & = - {1 \over n^2 }\ \mathrm{Ry}, \\ 뤼드베리\ 에너지단위\ \mathrm{Ry} & \equiv { e^2 \over {2 a_0}} = {1 \over 2} m_e \left( {e^2 \over \hbar} \right)^2 = {1 \over 2} \alpha^2 m_e c^2 \\ 뤼드베리\ 상수\ \mathcal{R}_\infty & = { \mathrm{Ry} \over {hc}} = 109737.31572\ \mathrm{cm}^{-1} \end{align}

수소의 에너지 천이 $n_2 \longrightarrow n_1$

(3)

\begin{align} 파수\ \bar{\nu} \equiv {1 \over \lambda} = {\nu \over c} = \mathcal{R}_\mathrm{H} \left( {1 \over {n_1}^2} - {1 \over {n_2}^2} \right) \end{align}

• $n_1 = 1, 2, 3, 4, 5, \cdots$를 각각 리만(Lyman)계열, 발머(Balmer)계열, 파셴(Paschen)계열, 브래킷(Brackett)계열, 푼트(Pfund)계열이라 함

수소원자의 양자적 구조

수소원자의 슈뢰딩거 방정식

(4)

\begin{align} \hat{\mathcal{H}} \psi = E \psi \end{align}

• $\psi ( \vec{x} )$는 파동함수, $\hat{\mathcal{H}}$는 해밀턴 연산자(Hamiltoniam operator)

(5)

\begin{align} \hat{\mathcal{H}} = {p^2 \over {2m}} + V = - { \hbar^2 \over {2m}} \nabla^2 + V \end{align}

• 이 때 $V$는 쿨롱 위치에너지

(6)

\begin{align} V (r) = - {{{Ze}^2} \over r} \end{align}

양자수(quantum numbers)

• 주(principal)양자수 $n = 1, 2, 3, \cdots$
• 궤도(Orbital)양자수$l = 0, 1, 2, \cdots , n-1$
• 자기(magnetic)양자수 $m = -l, -l+1, \cdots , l-1, l )$

양자상태는 이 세 양자수의 좌표로 정해지고, 그 양자상태를 궤도(orbital)라고 한다. 다음 부분에서 보듯 서로간에 천이가 발생할 수 있는 양자상태들 — 궤도들은 제한되어 있다.

선택규칙(selection rule) — 천이의 제한조건

• * 고전복사이론 파트에서 다룬 바, 아인슈타인 계수의 진동자 표현을 다시 떠올려 보면

(7)

\begin{align} A_{21} = {{64 \pi^4 {\nu_0}^3} \over {3 c^3 h}} \left( {{e x_0} \over 2} \right)^2 \iff A_{21} = {{ 64 \pi^4 \nu^3 } \over {3c^3 h}} {1 \over g_2} \sum \left| \vec{d}_{21} \right|^2 \end{align}

(8)

\begin{align} \left| \vec{d}_{21} \right|^2 = \left| \int {\psi_2}^* \vec{d} \psi_1 d^3 x \right|^2, \quad \vec{d} = - e \sum_j \vec{x}_j \end{align}

(9)

\begin{align} \sigma_\nu = {{ \pi e^2 } \over {m_3 c}} f_{12} \phi ( \nu ) = 2.564 \times 10^{-2} f_{12} \phi ( \nu )\ \mathrm{cm}^2 \\ & = B_{12} {{h \nu} \over {4 \pi}} \phi ( \nu ) \\ \implies B_{12} & = {{ 4 \pi^2 c^2 } \over { h \nu m_e c}} f_{12} \end{align}

(10)

\begin{align} \therefore\ A_{21} & = {{2 h \nu^3} \over c^2} B_{21} \\ & = {{ 8 \pi^2 c^2 } \over {m_e c^3}} {g_1 \over g_2} f_{12} \nu^2 \\ & = 0.6670 \times 10^{16} {{ g_1 f_{12} } \over g_2} {1 \over \lambda^2} \quad \mathrm{s}^{-1} \end{align}

• 이 때 파장의 단위는 Å
• $\nu = \nu_{21} = ( E_2 - E_1) / h > 0$

$n = 1, 2, 3, 4$ 준위 사이에 허용된 천이는 다음 제한조건을 따른다.

(11)

\begin{align} \Delta l = \pm 1, \quad \Delta m = 0, \pm 1 \end{align}