2.4 싱크로트론 복사
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싱크로트론 복사란:

  • 자기장 + 상대론적 전하

오른쪽 그림에서:

  • 양의 기울기: 열복사 (항성 등)
  • 양의 기울기였다가 평탄: 제동복사 (성운)
  • 음의 기울기: 싱크로트론 (???)

상대론적 전하의 일률

(1)
\begin{align} \vec{E} ( \vec{x} , t) & = {q \over c} {{ \hat{n} \times (\hat{n} - \vec{\beta} ) \times \dot{\vec{\beta} } } \over {R \kappa^3} } \\ \vec{B} (\vec{x}, t) & = \hat{n} \times \hat{E} \end{align}
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  • $\kappa = 1 - \hat{n} \cdot \vec{\beta}$
  • 비상대론적 경우 $\kappa = 1 - \hat{n} \cdot \vec{\beta} = 1 - \beta\ \cos \theta$
    • $\theta$가 작아지면 $\kappa \longrightarrow 0$

단위시간당 에너지(일률)의 방향(입체각)분포는

(2)
\begin{align} {{dP } \over {d \Omega}} = R^2 \vec{S} \cdot \hat{n} = {c \over {4 \pi}} E^2 R^2 \hat{n} = {{dW} \over {dt\ d \Omega}} \quad (관찰자\ 시간) \end{align}

한편 방출일률은

(3)
\begin{align} {{d P_\mathrm{em} } \over {d \Omega}} = {{dW } \over {dt' d \Omega}} = R^2 \vec{S} \cdot \hat{n} {{dt} \over {dt'}} = {q^2 \over {4 \pi c}} {{ \left| \hat{n} \times \left\{ ( \hat{n} - \vec{\beta} ) \times \dot{\vec{\beta}} \right\} \right|^2 } \over { \kappa^5 }} \end{align}
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(4)
\begin{align} t_{1, A} & = t_1 + {R \over c} \\ t_{2,A} & = t_2 + {{ R - v \Delta t \cos \theta } \over c} \\ & = t_2 + {R \over c} - \beta\ \Delta t\ \cos \theta \\ \Delta t_A & = t_{2,A} - t_{1,A} \\ & = \Delta t ( 1 - \beta\ \cos \theta ) \end{align}

싱크로트론: 속도와 가속도가 수직 ($\vec{v} \perp \vec{a}$)

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  • 이것들을 $d P_\mathrm{em} / d \Omega$에 넣고 지겨운 계산을 하면
(5)
\begin{align} {{d P_\mathrm{em}} \over {d \Omega }} = {{ q^2 {\dot{v}}^2 } \over {4 \pi c^3}} {1 \over { (1 - \beta\ \cos \theta)^3 }} \left[ 1 - {{\sin^2 \theta\ \cos^2 \phi} \over { \gamma^2 (1 - \beta\ \cos \theta )^2 }} \right] \end{align}

$\gamma \gg 1$ i.e. 상대론적 경우

(6)
\begin{align} \gamma \equiv {1 \over \sqrt{1 - \beta^2}}, & \quad \beta = \left( 1 - {1 \over \gamma^2 } \right)^{1 \over 2} \simeq 1 - {1 \over {2 \gamma^2}}, \quad \cos \theta \simeq 1 - {1 \over 2} \theta^2 \\ \lim_{\gamma \gg 1} & 1 - \beta\ \cos \theta \simeq 1 - \left( 1 - {1 \over {2 \gamma^2}} \right) \left( 1 - {1 \over 2 } \theta^2 \right) \end{align}
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(7)
\begin{align} {{d P_\mathrm{em} } \over {d \Omega}} & \simeq {{ 2 q^2 a^2 \gamma^6 } \over { \pi c^3 (1+ \gamma^2 \theta^2)^3 }} \left[ 1 - {{4 \gamma^2 \theta^2 \cos^2 \phi} \over {(1+ \gamma^2 \theta^2)^2}} \right] \\ P_\mathrm{em} & = \int {{ d P_\mathrm{em} } \over {d \Omega} } d \Omega \simeq {{ 2 q^2 a^2 \gamma^4} \over {3 c^3}} \end{align}

우측 그래프를 보면 대부분의 복사가 각도 $\theta \sim 1/ \gamma$ 이내에 집중되어 있음 i.e. 특정한 방향으로 집중되어 있음을 알 수 있다.

일률 패턴은 다음과 같이 그려질 것이다.

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  • 왼쪽은 $\beta = 0$ i.e. 비상대론적 쌍극자 복사.
  • 오른쪽은 $\beta = 0.15$, $\vec{\beta}$ 방향으로 분사출 발생

싱크로트론 복사의 개념

광행차 공식(from 교과서 514쪽)

(8)
\begin{align} \cos \theta = {{ \cos \theta ' + \beta} \over {1 + \beta \cos \theta ' }} \end{align}
  • $\theta$: 정지좌표계의 각도
  • $\theta'$: 운동좌표계의 각도

$\theta ' = \pi /2$ i.e. 수직방출일 때 $\cos \theta = \beta$

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(9)
\begin{align} P_\mathrm{em} \simeq {{2 q^2 a^2 \gamma^4} \over {3 c^3}} \end{align}
(10)
\begin{align} {d \over {dt}} ( \gamma m \vec{v} ) & = {q \over c} \vec{v} \times \vec{B} \\ {d \over {dt}} ( \gamma m c^2 ) & = \vec{F} \cdot \vec{v} = 0 \\ \gamma & = \mathrm{const.} \\ {{d \vec{v} } \over {dt}} & = {q \over {\gamma m c}} \vec{v} \times \vec{B} \end{align}
(11)
\begin{align} \implies {{d \vec{v}_\parallel } \over {dt}} = 0, \quad {{d \vec{v}_\perp } \over {dt}} = {q \over {\gamma mc}} \vec{v}_\perp \times \vec{B} \end{align}
(12)
\begin{align} \vec{v}_\perp & = v_x \hat{x} + v_y \hat{y} \\ {{d v_x} \over {dt}} & = {{q B} \over {\gamma mc}} v_y, \quad {{d v_y } \over {dt}} = {{qB} \over {\gamma m }} v_x \\ {{d^2 v_x} \over {dt^2}} & = - {\omega_B}^2 v_x \end{align}
(13)
\begin{align} \implies \begin{cases} 회전진동수\ & {\omega_B} = {{qB} \over {\gamma mc}} \\ 회전반경\ & r_B = {{ v_\perp } \over {\omega_B}} = {{v\ \sin \psi} \over {\omega_B}} \end{cases} \end{align}
  • 이 때 $\psi$는 피치각($v_\perp = v\ \sin \psi$).
  • 회전 = 자이로(gyro)
(14)
\begin{cases} a_\perp & = {{q v_\perp B} \over {\gamma m c}} = {{q v B\ \sin \psi} \over {\gamma m c }}, \\ a_\parallel & = 0 \end{cases}
(15)
\begin{align} P_\mathrm{em} & = {{2 q^4 B^2 v^2 \gamma^2 \sin^2 \psi} \over { 3 m^2 c^5}} = 2 c \sigma_T U_B (\gamma^2 - 1) \sin \psi \\ & = {B^2 \over {8 \pi}} \times {{ 8 \pi } \over 3 } \left( {q^2 \over {mc^2 }} \right)^2 \times 2c ( \gamma^2 -1) \sin^2 \psi \\ & = 2c \sigma_T U_B ( \gamma^2 - 1) \sin^2 \psi \end{align}
  • 식 (14) 두번째 줄에서 첫 번째 곱은 자기장 에너지, 두 번째 곱은 톰슨 산란단면적
  • 피치각이 무작위적일 경우 평균을 내야 하므로 $8 \pi / 3 \times 1 / (4 \pi) = 2 /3$

덤: 속도와 가속도가 평행할 경우($\vec{\beta} \parallel \dot{\vec{\beta}}$) 일률패턴

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싱크로트론 복사의 기본특성

(16)
\begin{align} \therefore\ < P_\mathrm{em} > = {4 \over 3} c \sigma_T U_B ( \gamma^2 - 1) \end{align}
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  • 비상대론적일 경우: 각진동수 $\omega$로 진동
    • $dP/d \Omega \simeq \sin^2 \theta$
    • $P = 2q^2 a^2 / 3 c^3$ (라모어 공식)
  • 상대론적인 경우: 좁은 분사출이 관찰자 방향일 때만 보임
    • $P = 2 q^2 \gamma^4 {a_\perp}^2 / 3 c^3$

원의 한 부분만 떼어서 그려보면

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  • 이 호상에서만 빛이 관찰자 방향에서 보일 것.
  • $\Delta t$는 관측자 방향으로 복사가 방출되는 시간
  • $\Delta t$는 관측자가 복사를 받는 시간
(17)
\begin{align} \Delta t & = {{ \Delta \theta} \over {2 \pi}} \times {{2 \pi} \over { \omega_B}} \approx {2 \over {\gamma \omega_B}} \\ \Delta t_A & = \Delta t - {{ 2 r_B \sin ( \Delta \theta / 2 ) } \over c} \simeq \Delta t - {{ r_B \Delta \theta } \over c} \\ & = \Delta t - {{ \gamma \Delta \theta } \over { c \omega_B}} = \Delta t ( 1 - \beta ) \\ & \simeq {1 \over { \gamma^2 \omega_B}} = {1 \over {\gamma^2 \omega_L}} \end{align}
  • 이 때 비상대론적 회전진동수 $\omega_L$을 라모어 진동수라고 하며
(18)
\begin{align} \omega_L \equiv {{qB} \over {mc}} = \gamma \omega_B \end{align}

즉 상대론적 입자가 원운동을 하면서 빛을 방출할 때, 관찰자가 빛을 받을 수 있는 시간은 회전주기의 $1 / \gamma^3$만큼 짧다

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  • 왼쪽 그래프들은 시간당 전기장 변화
  • 오른쪽 그래프들은 진동수당 일률 스펙트럼(시간당 전기장의 푸리에 변환)

그러므로 관측자가 받는 복사 스펙트럼은 매우 넓은 진동수 범위 $\omega \lesssim \gamma^3 \omega_B$로 나타난다

(19)
\begin{align} 일률\ 스펙트럼\ P_\nu & = {{ \sqrt{3} q^3 B_\perp } \over {m_e c^2 }} F ( \nu / \nu_c ) \\ 고유진동수\ \nu_c & \equiv {{3 \gamma^2 c B_\perp } \over {4 \pi m_e c}} = 16.1 \left( { B_\perp \over { \mathrm{ \mu G } }} \right) \left( {E \over {\mathrm{GeV}}} \right)^2\ \mathrm{MHz} \end{align}
  • μG = 마이크로가우스, GeV = 기가전자볼트, MHz = 메가헤르츠
  • $B_\perp = 1\ \mathrm{\mu G} , E = 1\ \mathrm{GeV}$일 때 싱크로트론 진동수 $\nu_c = 16.1\ \mathrm{MHz}$

어떤 전하가 자기장 주위로 로런츠 힘을 받아 매우 빠르게 움직일 때 그 복사의 진동수는

(20)
\begin{align} \nu \lesssim \nu_c = \gamma^2 {{qB} \over {mc}} \end{align}

이것과 스펙트럼 분포의 관계:

  • $[ \gamma, \gamma + d \gamma ]$ 사이의 원자의 에너지가 $n_0 \gamma^{-p} d \gamma$로 멱법칙 분포한다면
  • 이런 매질에서 방출계수는
(21)
\begin{align} j_\nu = {1 \over {4 \pi}} \int P_\nu \cdot n_0 \gamma^{-p} d \gamma \end{align}
  • 일률 $P_\nu$는 식 (15)에 진동수 분포함수 $\phi_\nu (\gamma )$를 곱한 꼴인
(22)
\begin{align} P_\nu ( \gamma) = {4 \over 3} \sigma_T c\ U_B ( \gamma^2 -1 ) \phi_\nu ( \gamma) \end{align}
  • $\phi_\nu (\gamma )$를 알지 못하는 것이 문제이지만, 전자들의 에너지가 넓은 범위에 걸쳐 있다면 $\phi_\nu (\gamma )$의 정확한 함수꼴은 대수롭지 않다. 그러므로 다음과 같이 과감한 근사
(23)
\begin{align} \phi_\nu (\gamma ) \approx \delta ( \nu - \gamma^2 \nu_L ) \end{align}
(24)
\begin{align} \int \delta ( \nu - \gamma^2 \nu_L ) \gamma^{-p} d \gamma \end{align}
  • $\gamma^2 \nu_L \equiv x$, $2 \gamma \nu_L d \gamma = dx$
  • $d \gamma = dx / d \gamma \nu_L$
  • $\gamma = \sqrt{ x / \nu_L }$
(25)
\begin{align} \therefore\ & \int \delta ( \nu - x )\ x^{-{p \over 2}} x^{-{1 \over 2}}\ dx \times x \\ & = \int \delta ( \nu - x) x^{- {p \over 2} + {1 \over 2}} dx \\ & \propto \nu^{ - (p-1) / 2 } \end{align}
  • 만일 상대론적 입자의 에너지 분포가 $n ( \gamma ) \propto \gamma^{-p}$라면
(26)
\begin{align} j_\nu \propto & \nu^{- (p-1)/2} \propto \nu^{- \alpha} \end{align}
  • 전자에너지 분포멱 $p$와 분광분포멱 $\alpha$의 관계는
(27)
\begin{align} p = 2 \alpha + 1 \end{align}
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  • 이 그림에서, 각 곡선들의 합으로 나타나는 점선이 스펙트럼이고 그 점선은 $\nu^{- (p-1)/2}$에 비례한다.
  • 전자 하나로는 이런 점선이 만들어질 수 없다. 점선은 분포한 여러 전하들의 각 곡선의 중첩이다.

처음 그래프(선속 그래프)를 다시 들여다보면,

(28)
\begin{align} F_\nu \propto j_\nu \propto \nu_{- \alpha} \end{align}

이므로 로그스케일에서 싱크로트론은 음의 기울기를 갖는 것

싱크로트론 복사가 지구에 떨어진 것이 우주선(cosmic ray) — 초신성잔해의 엑스선 에너지 ~ 20 테라전자볼트

싱크로트론 복사의 분광에너지 분포

  • 열복사의 원천함수인 플랑크 함수는 다음과 같이 쓴다.
(29)
\begin{align} S_\nu = B_\nu (T) = {{2 \nu^2} \over c^2} {{h \nu} \over {e^{h \nu / kT} -1}} \end{align}
  • 하지만 싱크로트론은 비열적 복사이므로 이걸 쓸 수 없는데, 이 식에서 두 번째 분수는 평균에너지를 나타내는 항이다. 이것을 다음으로 대체한다.
(30)
\begin{align} \bar{E} = \gamma m c^2 = \left( {\nu \over \nu_L} \right)^{1 \over 2} m c^2 \end{align}
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(31)
\begin{align} \therefore\ S_\nu & \approx {{2 \nu^2} \over c^2} \left( {\nu \over \nu_L } \right)^{1 \over 2} m c^2 \propto \nu^{5 \over 2} \\ j_\nu & \propto \nu^{-(p-1)/2} \\ \implies & \kappa_\nu = { j_\nu \over S_\nu } \propto \nu^{- (p+4)/2} \end{align}
  • 이것의 의미: 싱크로트론도 제동복사와 마찬가지로 파장이 길어지면(진동수가 작아지면) 광학적으로 두꺼워진다
  • 싱크로트론 천체의 분광에너지 분포는 반전진동수(광학적 깊이 = 1)를 경계로 그 이하에서는 $\propto \nu^{5/2}$, 그 이상에서는 $\propto \nu^{-(p-1)/2}$

싱크로트론 복사의 실례

초신성잔해: 일본 과학위성 아스카호가 촬영한 SN 1005

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  • 가장자리 충격파(위): 싱크로트론 복사
    • 충격파 지역에서 방출선이 안 보이는 이유: 희박하여 제동복사 비율이 낮다
  • 가운데 부분(아래): 열복사
    • 시선방향으로 입자들이 중첩되어 상대적으로 밀도가 높다

덤: 트루칼라와 폴스칼라의 의미

  • true color: 서로 다른 파장에 삼원색을 배당하여 합성 (실제 가시광 대역에서 눈에 보이는 것과는 다를 수 있음)
  • false color: 색 = 세기를 나타내는 2×2 평면상 그래프

WMAP 마이크로파 대역 사진:

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  • 옥색: 우주배경복사(CMB)
  • 청색: 제동복사
  • 적색: thermal dust
  • 주황색: spinning dust (쌍극자 복사)
  • 녹색: 싱크로트론

싱크로트론의 에너지 일률은 다음에 비례한다.

(32)
\begin{align} P \propto \gamma^2 = {1 \over {1- \beta^2}} \end{align}
  • 즉 에너지가 큰 전자일수록 빠르게 에너지를 방출하고 수명이 짧다
(33)
\begin{align} t \sim {E \over P} \propto { \gamma \over \gamma^2 } = {1 \over \gamma} = \sqrt{1 - \beta^2 } \end{align}
  • 진동수에 대한 싱크로트론 스펙트럼은 어느 순간 뚝 끊어지는데, 그것은 진동수가 너무 크면(= 에너지가 너무 크면) 전자들이 복사를 일으키기도 전에 죽어 없어지기 때문

덤: 컴프턴 산란

  • 톰슨산란: 들어오는 빛의 파장변화 없음
  • 컴프턴산란: 전자가 에너지를 얻음 (빛은 에너지 감소, i.e. 파장 증가)
  • 역-컴프턴 산란: 전자의 에너지가 클 때 역으로 빛이 에너지를 얻음
    • e.g. 감마선 복사, 싱크로트론 엑스선

정리:

  • 제동복사
(34)
\begin{align} j_\nu = {1 \over {4 pi}} \int n_i n_e ( \gamma ) v {{dW} \over {d \nu}}\ d \nu \end{align}
  • 싱크로트론 복사
(35)
\begin{align} {1 \over {4p}} P_\nu n_e (\gamma) \end{align}
  • 선복사
(36)
\begin{align} j_\nu = {1 \over {4 \pi }} h \nu A_{21} n_3 \phi_\nu \end{align}