2.3 제동복사
orion-spectrum.png

제동복사란:

  • 우주의 연속복사들 중 대표적인 복사
  • 전리수소영역의 열복사가 대부분 제동복사임

오른쪽은 오리온 대성운의 스펙트럼.
이 스펙트럼의 의미를 이해하는 것이 목표

오리온 성운이란 희박한 기체원자들이 OB성의 자외선(에너지 > 13.6 eV)에 의해 전리된 영역

  • 전리되었다 함은 이온과 자유전자로 이루어져 있다는 뜻
  • 전자끼리 충돌해서는 쌍극자복사가 일어나지 않는다 (음전하 - 음전하 대칭이므로)
    • 같은 질량 같은 전하의 입자끼리 충돌해서는 쌍극자복사 X
  • 그러므로 고려할 것은 이온과 자유전자의 충돌인데 이온은 무겁기 때문에 상대적으로 움직임이 없다

전하량 $Ze$인 이온과 전자가 충돌할 경우

Bremsstrahlung-01.png
(1)
\begin{align} m_e \left| \ddot{x} \right| & = 쿨롱력 \\ 가속도\ \left| \ddot{x} \right| & = { {Ze^2} \over { m_e \cdot l^2 }} \times \cos \psi = {{ Ze^2} \over {m_e b^2 }} \cos^3 \psi \\ 전기장\ \left| \vec{E} \right| & = { e \over {c^2 r}} \left| \ddot{\vec{x}} \right| \sin \theta \end{align}

소각산란(small angle scattering)

  • 원래 전자와 이온 사이에 쿨롱 전자기력이 발생해 전자 궤적이 쌍곡선으로 휘어야 하지만 전리수소영역 같은 플라스마는 내부 쿨롱력이 매우 작아 무시 가능
  • 궤적은 변치 않고(직진을 하고) 가속도만 변화가 생긴다는 근사
  • 충격인자(impact parameter) $b$는 두 입자의 최근접 거리. 전자들의 평균거리인 ${n_e}^{1 \over 3}$을 대입 ($n_e \cdot b^3 \sim 1$)
(2)
\begin{align} { 쿨롱에너지 \over 운동에너지} & = {{ Ze^2 / b} \over {m_e v^2}} = {{Z e^2 \cdot n^{1 \over 3} } \over {kT}} \\ & = {{ Z e^2 {n_e}^{1 \over 3} } \over { 4 \pi n_e e^2 {\lambda_D}^2 }} = { Z \over { 4 \pi {n_e}^{2 \over 3} {\lambda_D}^2 }} \\ & = {Z \over { 4 \pi {N_D}^{2 \over 3} }} \end{align}
  • 이 때 $\lambda$디바이 차폐거리(Debye shielding length)라고 한다.
    • 디바이 차폐거리란: 전하가 왔을 때 반대 전하 입자들이 몰려와 차폐하여 차폐막 너머의 반대전하들은 영향을 못 받게 되는데 그 때 그 차폐막의 반경
(3)
\begin{align} \lambda \equiv \sqrt{ {kT } \over { 4 \pi n_e e^2}} = 6.9 \left( {T \over n_e} \right)^{1 \over 2}\ \mathrm{cm} \end{align}
  • $N_D = n_e {\lambda_D}^3 \approx 330 (T / n_e)^{1 \over 3}$플라스마 변수(plasma parameter)
    • 플라스마가 되기 위해서는(i.e. 자유전자가 쌍곡선이 아닌 직선으로 움직이기 위해서는) $N_D \gg 1$

다시 그림으로 돌아가면

(4)
\begin{align} 전기장\ \left| \vec{E} \right| & = { e \over {c^2 r}} \left| \ddot{\vec{x}} \right| \sin \theta = {{Ze^3} \over { c^2 r m_e b^2 }} \cos^3 \psi\ \sin \theta \\ 일률 P & = {{ 2 e^2 } \over {3 c^3}} {{ Z^2 e^4 } \over {{m_e}^2 b^4}} \cos^6 \psi = {{ 2 Z^2 e^6 } \over { 3 {m_e}^2 c^3 b^4 }} \cos^6 \psi \\ 총\ 복사에너지\ W & = \int_{\pm \infty} P (t)\ dt = {{ 2 Z^2 e^6} \over { 3 {m_e}^2 c^3 b^4}} \int_{\pm \infty} \cos^6 \psi (t)\ dt \\ & \simeq {{ 2 Z^2 e^6} \over { 3 {m_e}^2 c^3 b^4}} {b \over v} = {{ \pi Z^2 e^6} \over {4 {m_e}^2 c^3 b^3 v}} \end{align}
  • 좀 괴랄한 형태가 나왔는데 어차피 함수 형태만 볼 것이므로 앞의 상수는 중요하지 않다

이제 단위면적당 단위진동수당 에너지

(5)
\begin{align} {{ dW} \over {dA\ d \nu}} = { c \over {2 \pi}} \left| \tilde{E} (t) \right|^2 \end{align}

를 구해야 하는데 정석대로는 푸리에 변환을 해야 하지만 귀찮으므로 술수를 부리자면

Bremsstrahlung-02.png
(6)
\begin{align} \tan \psi & = {{vt} \over b}, \\ \cos \psi & = {b \over \sqrt{ b^2 + v^2 t^2}} \end{align}

시간에 대한 그래프를 푸리에 함수하면 진동수에 대한 것이 되고

Bremsstrahlung-03.png
(7)
\begin{align} \Delta \nu & \sim {v \over {2 \pi b}} \\ & \left( \sim {1 \over {2 \pi}} {1 \over { \Delta t_\mathrm{coll} }} \right) \end{align}
(8)
\begin{align} \Delta \omega\ \Delta t & \sim 1 , \\ 2 \pi\ \Delta \nu\ \Delta t & \sim 1 \end{align}
Bremsstrahlung-04.png

이것을 로그 스케일로 그리면 우측과 같이 된다.

그리고 $\nu < \Delta \nu$라면 과감하게 상자함수로 근사!

(9)
\begin{align} {{dW} \over {d \nu}} = \begin{cases} W \times {1 \over {\Delta \nu}} = {{2 Z^2 e^6} \over {3 {m_e}^2 c^3 b^3 v}} \times {{ 2 \pi b} \over v} \propto {1 \over {b^2 v^2}} \qquad & ( \nu < \Delta \nu ) \\ 0 & ( \nu > \Delta \nu ) \end{cases} \end{align}
Bremsstrahlung-05.png

충돌시간이 짧으면 짧을수록 시간에 대한 함수는 델타함수에 가까운 pulse 형태가 된다.

(10)
\begin{align} {{dW} \over {d \nu}} \propto {1 \over {b^2 v^2 }} \quad ( \nu < \Delta \nu ) \end{align}

오리온 성운에서 선속 $F_\nu$가 나온다면 그것은 방출계수 $j_\nu$와 흡수계수 $\kappa_\nu$에 의해 결정될 것

(11)
\begin{align} d j_\nu = {1 \over {4 \pi}} \times n_i n_e \sigma v \times {{dW } \over {d \nu}} \end{align}

곱해진 것들은 순서대로

  • 등방 입체각 [㏛-1]
  • 단위시간당 충돌회수 [㎝-3 s-1]
  • 단위진동수당 에너지 [erg ㎐-1]

미시수준과 거시수준을 드디어 연결시키는 것이다

(12)
\begin{align} n_e & = n_e f(v) \cdot 4 \pi v^2\ dv \quad (맥스웰\ 속도분포: 적분하면\ 1) \\ \sigma & = 2 \pi b\ db \end{align}
(13)
\begin{align} \therefore\ j_\nu & = {1 \over {4 \pi}} \int \int n_i \left( n_e f(v) 4 \pi v^2 \right) ( 2 \pi b ) v {{dW} \over {d \nu }}\ db\ dv \\ & \propto n_i n_e {1 \over \sqrt{T}} \ln {{b_\mathrm{max}} \over {b_\mathrm{min}}} \end{align}
  • 이 때 $\ln ( b_\mathrm{max} / b_\mathrm{min} ) \equiv g_\mathrm{ff}$건트인자(Gaunt factor)라고 한다. 건트인자는 1-3 사이의 상수.
(14)
\begin{align} j_\nu \propto n_i n_e {1 \over \sqrt{T}} g_\mathrm{ff} \end{align}
  • 방출계수가 밀도, 온도에 종속적이고 진동수에는 (거의) 독립적

이 제동복사가 열적 제동복사일 경우, 원천함수가 플랑크 함수이므로 키르히호프 법칙에 따라

(15)
\begin{align} \kappa_\nu & = {j_\nu \over B_\nu} \\ & B_\nu \simeq {{2 kT} \over \lambda^2} \propto \nu^2 \\ \therefore\ \kappa_\nu & \propto n_i n_e \nu^{-2} \end{align}
orion-spectrum.png

처음의 오리온 스펙트럼으로 돌아가 보면…

  • 우선 삐죽삐죽한 것들은 방출선

$\kappa_\nu \propto \nu^{-2}$ 이므로

  • 파장이 길면 광학적으로 두껍다 → 흑체복사에 가까워진다 (점선이 성운의 온도에 해당하는 흑체복사)
  • 파장이 짧으면 광학적으로 얇다
  • 광학적으로 두껍고 얇고가 꺾이는 지점: 반전진동수(inversion frequency)

방출계수 $j_\nu$는 진동수에 무관

(16)
\begin{align} \tau = \int \kappa_\nu\ ds \propto \int n_i n_e\ ds \equiv \mathrm{EM} \end{align}
  • EM이란 emission measure
Bremsstrahlung-06.png

오른쪽 그래프의 의미:

  • 성운의 밀도에 따라 $\tau_\nu = 1$이 되는 지점이 달라진다
    • 밀도가 높아질수록 반전진동수가 커진다
    • 밀도: ① < ② < ③
  • 밀도가 무한에 가까워지면:
    • 완전 (준)흑체복사
    • 복사곡선이 플랑크 곡선과 일치.
    • 이제 성운이라 할 수도 없음 (항성대기의 상태)