2.2 전자기복사

전자기 위치에너지

전하가 가속되면 빛이 나온다는 것을 맥스웰 방정식으로 기술하기

(1)
\begin{align} \vec{B} & = \vec{\nabla} \times \vec{A} \\ \vec{E} & = - \vec{\nabla} \phi - {1 \over c} {{\partial \vec{A} } \over { \partial t}} \end{align}
(2)
\begin{align} \nabla^2 \phi + {1 \over c} { \partial \over {\partial t}} \left( \vec{\nabla} \cdot \vec{A} + {1 \over c} { { \partial \phi } \over { \partial t}} \right) - {1 \over c^2} {{ \partial^2 \phi } \over {\partial t^2 }} & = - 4 \pi \rho \\ \nabla^2 \vec{A} - \vec{\nabla} \left( \vec{ \nabla} \cdot \vec{A} + {1 \over c} {{ \partial \phi} \over {\partial t}} \right) - {1 \over c^2 } {{\partial^2 \vec{A} } \over {\partial t^2 }} & = - {{ 4 \pi } \over c} \vec{J} \end{align}
  • $\phi$는 스칼라 전기 위치에너지 (= 전위)
  • $\vec{A}$는 벡터 자기 위치에너지

게이지 변환(Gauge transformation)

(3)
\begin{align} \vec{A} & \longrightarrow \vec{A}' = \vec{A} + \vec{\nabla} \lambda \\ \phi & \longrightarrow \phi ' \\ \vec{E} & = - \vec{\nabla} \phi - {1 \over c} { \partial \over {\partial t}} ( \vec{A}' - \vec{\nabla} \lambda ) \\ & = - \vec{\nabla} \left( \phi - {1 \over c} {{ \partial \lambda } \over {\partial t}} \right) - {1 \over c} {{\partial \vec{A}' } \over { \partial t}} \\ & = - \vec{\nabla} \phi ' - {1 \over c} {{\partial \vec{A}' } \over {\partial t}} \\ & \quad \implies \phi ' = \phi - {1 \over c} {{\partial \lambda } \over {\partial t}} \end{align}
(4)
\begin{align} 정전기(\mathrm{eletrostatic}) \iff \vec{\nabla} \cdot \vec{A} = 0 \end{align}

로렌츠 게이지(Lorentz Gauge)

(5)
\begin{align} \nabla^2 \phi & - {1 \over c^2} {{\partial^2 \phi} \over {\partial t^2}} = - 4 \pi \rho \\ \nabla^2 \vec{A} & - {1 \over c^2 } {{ \partial^2 \vec{A} } \over {\partial t^2 }} = - {{ 4 \pi} \over c} \vec{J} \end{align}

이 미방의 해는

  • 정전기 i.e. 시간독립적일 경우
(6)
\begin{align} \phi ( \vec{x} ) & = \int { { \rho ( \vec{x}' ) } \over { | \vec{x} - \vec{x}' | }} dx' \\ \end{align}
  • 동전기 i.e. 시간의존적일 경우
(7)
\begin{align} \phi ( \vec{x} , t) & = \int {{ \rho \left( \vec{x}' , t' = t - { { |\vec{x} - \vec{x}' | } \over c} \right) } \over { |\vec{x} - \vec{x}'| }} d^3 x' \\ & = \int { { [ \rho ( \vec{x}' , t,) ]_\mathrm{ret} } \over { |\vec{x} - \vec{x}'|}} d^3 x' \qquad \longleftarrow \left[ \quad \right]_\mathrm{ret} \equiv \left[ \quad \right]_{ t' - t - {{ |\vec{x} - \vec{x}'|} \over c} } \\ & = \int {{ \rho (\vec{x}', t')} \over { |\vec{x} - \vec{x}' |}} \delta \left( t' - t + {{ |\vec{x} - \vec{x}' | } \over c} \right) dt'\ d^3 x' \end{align}
  • $\mathrm{ret}$지연시간(retarded time)을 의미

점전하의 지연위치에너지

retarded-potential.png
(8)
\begin{align} \rho ( \vec{x}, t) & = q \delta ( \vec{x} - \vec{x}_0 ( t) ) \\ \vec{J} ( \vec{x} , t) & = q \vec{v} (t)\ \delta ( \vec{x} - \vec{x}_0 (t) ) \\ \phi ( \vec{x}, t) & = \int {{ q\ \delta ( \vec{x}' - \vec{x}_0 (t') ) } \over { |\vec{x} - \vec{x}' | }} \delta \left( t' - t + {{ | \vec{x} - \vec{x}' | } \over c} \right)\ d^3 x'\ dt' \\ & = q \int { { \delta \left( t' - t+ { {| \vec{x} - \vec{x}_0 (t') |} \over c } \right) } \over { \vec{x} - \vec{x}_0 (t') }} dt' \end{align}

변수를 몇개 더 정의하면

(9)
\begin{align} t'' & = \equiv t' - t + {{ R(t') } \over c} \\ R(t') & \equiv | \vec{x} - \vec{x}_0 (t') | \\ d'' & = d t' + {1 \over c} dt' {{\partial R(t') } \over {\partial t'}} \\ R^2 & = ( \vec{x} - \vec{x}_0 ) ( \vec{x} - \vec{x}_0 ) \\ 2R {{\partial R} \over {\partial t'}} & = - 2 \vec{x} \cdot {{\partial \vec{x}_0 } \over {\partial t'}} + 2 \vec{x}_0 {{\partial \vec{x}_0 } \over {\partial t'}} \quad (위에\ 거\ 미분) \\ & = -2 (\vec{x} - \vec{x}_0 ) \vec{v} = -2 \vec{R} \vec{v} \\ {{\partial R} \over {\partial t'}} & = - \hat{n} \cdot \vec{v} \quad \quad \quad \qquad \left( \hat{n} \equiv { \vec{R} \over R} \right) \\ \implies dt'' & = (1 - \vec{\beta} \cdot \hat{n} ) dt \quad \quad \left( \vec{\beta} \equiv { \vec{v} \over c} \right) \end{align}
(10)
\begin{align} \phi ( \vec{x} , t) & = q \int {{ \delta (t'') } \over R} {{ dt''} \over {(1- \hat{n} \cdot \vec{\beta} )}} \\ & = q \left[ { 1 \over { \kappa R} } \right]_{\mathrm{ret} \left( t' = t- {{ R(t') } \over c} \right) } \\ \vec{A} ( \vec{x}, t) & = q \left[ { \vec{\beta} \over { \kappa R} } \right]_{\mathrm{ret} \left( t' = t- {{ R(t') } \over c} \right) } \\ & \quad ( \kappa \equiv 1 - \hat{n} \cdot \vec{\beta}) \end{align}

식 (10)은 움직이는 단일전자에 의한 위치에너지이며 리에나드-비헤르트 퍼텐셜이라고 한다. $\vec{v} = 0$일 경우 이것은 쿨롱 퍼텐셜이 된다.

속도장과 복사장

전위를 알았으니 그것을 미분하면 장이 될 것

(11)
\begin{align} { \partial \over {\partial t}} \left[ f ( \vec{x} , t' ) \right]_\mathrm{ret} & = {{\partial t' } \over {\partial t}} {{\partial f} \over {\partial t'}} = {{\partial t'} \over {\partial t}} \left[ {{\partial f} \over {\partial t}} \right]_\mathrm{ret} = \left[ {1 \over \kappa} {{\partial f} \over {\partial t}} \right]_\mathrm{ret} \\ \vec{\nabla} \left[ f \right]_\mathrm{ret} & = \left[ \vec{\nabla} f - { \vec{R} \over { c \kappa R }} {{\partial f} \over {\partial t}} \right]_\mathrm{ret} \end{align}
(12)
\begin{align} \vec{E} (\vec{x}, t) & = q \left[ {{ \hat{n} - \vec{\beta} } \over { \gamma^2 \kappa^3 R^2 } } \right]_\mathrm{ret} + {q \over c} \left[ {{ \hat{n} \times \left\{ ( \hat{n} - \vec{\beta} ) \times \dot{\vec{\beta}} \right\} } \over {\kappa^3 R }} \right]_\mathrm{ret} \\ \vec{B} ( \vec{x} , t) & \left[ \hat{n} \times \vec{E} \right]_\mathrm{ret} \qquad \left( \gamma \equiv (1 - \beta^2)^{1 \over 2} = \left( 1 - {v^2 \over c^2} \right)^{1 \over 2} \right) \end{align}
  • 이 때 전기장의 제1항을 속도장(velocity field), 제2항을 복사장(radiation field)라고 함
  • $\gamma$는 로렌츠 인자

예시:
등속운동하는 전하의 전자기장은 — 전하의 현재 위치벡터 $\vec{R}(t)$에 대하여

(13)
\begin{align} \vec{E} ( \vec{x}, t) & = {{ q \vec{R} (t) } \over { \gamma^2 (1- \beta^2 \sin^2 \theta)^{3/2} R^3 (t) }} \\ \vec{B} ( \vec{x} , t) & = { \vec{v} \over c} \times \vec{E} ( \vec{x}, t) \end{align}
fields-of-constant-velocity.png

그런데 움직이던 전하가 갑자기 멈춰 버리고, 멈춘 뒤 시간이 $t = T$ 흘렀다면,
정보의 전달 속도가 차이가 있기 때문에("지연되어") 전하가 멈춰 있는 현재 위치 $x(t=0)=0$를 중심으로 방사되는 방향과,
전하가 계속 진행했다면 있었을 위치 $x(t=T)= vT$를 중심으로 방사되는 방향 사이의 편각이 접선이 되는 원형의 형태가 발생
— 이 접선 방향으로 방출되는 것이 빛이다.

retarded-emission.png

진동하는 전하의 복사방출 시뮬레이션:

전기쌍극자복사

(14)
\begin{align} 복사장 \quad {q \over c} \left[ {{ \hat{n} \times \left\{ ( \hat{n} - \vec{\beta} ) \times \dot{ \vec{\beta} } \right\} } \over { \kappa^3 R}} \right]_\mathrm{ret} \end{align}

비상대론적인 경우 전기장은 (외어야 함)

(15)
\begin{align} \vec{E} (\vec{x}, t) = q \left[ \hat{n} \over R^2 \right]_\mathrm{ret} + {q \over c} \left[ {{ \hat{n} \times (\hat{n} \times \dot{\vec{\beta}}) } \over {R}} \right]_\mathrm{ret} \end{align}

여기서 복사장만 빼면

(16)
\begin{align} \vec{E}_\mathrm{rad} (\vec{x}, t) & = {q \over c} \left[ {{ \hat{n} \times (\hat{n} \times \dot{\vec{\beta}}) } \over {R}} \right]_\mathrm{ret} \\ \vec{B}_\mathrm{rad} ( \vec{x}, t) & = \left[ \hat{n} \times \vec{E}_\mathrm{rad} \right]_\mathrm{ret} \end{align}

라모어 공식(Lamor formula)

Larmor1.png
  • 전하 $q$$z$축상에서 변위 $\vec{x}'$로 진동하고 있고,
  • 전자기장이 측정되는 지점의 위치벡터 $\vec{x}$
  • $R = | \vec{x} - \vec{x}' | \simeq r$
  • $\hat{n} = \vec{R} / R = \vec{x} / r$
(17)
\begin{align} \vec{E} & = {q \over {cR}} \hat{n} \times (\hat{n} \times \dot{\vec{\beta}} ) = {{ q \dot{\beta} } \over {cR}} \sin \theta \\ \vec{S} & = \hat{n} {c \over {4 \pi}} \times {{ q^2 \dot{\beta}^2 } \over {c^2 R^2 }} \sin^2 \theta \\ & = \hat{n} {{ q^2 a^2 } \over { 4 \pi c^3 R^2}} \sin^2 \theta \\ & \quad \left( \because\ \beta = {v \over c}, \dot{\beta}^2 = {a^2 \over c^2} \right) \end{align}
Larmor2.png

이것의 의미:

  • 전하가 $z$축상에서 진동할 때
(18)
\begin{align} | \vec{S} | \propto \sin^2 \theta \end{align}
  • 단위입체각당 방출된 일률을 복사패턴(radiaton pattern)이라 하고 다음과 같다. 그것을 그림으로 그리면 우측과 같은 모양이 된다.
(19)
\begin{align} {{dP} \over {dA}} & = {{dP } \over {R^2\ d \Omega }} = {{ q^2 a^2 \sin^2 \theta } \over {4 \pi c^3 R^2 }} \\ {{d P} \over {d \Omega} } & = R^2 \hat{n} \cdot \vec{S} = {{ cR^2 } \over {4 \pi}} {E_\mathrm{rad}}^2 = {{ q^2 a^2 } \over {4 \pi c^3}} \sin^2 \theta \end{align}
  • 입체각에 대해 적분한 총 일률은
(20)
\begin{align} P & = \int {{ dP} \over {d \Omega }} d \Omega = {{ q^2 a^2 } \over {4 \pi c^3}} \int \sin^2 \theta\ d \Omega \\ & = {{q^2 a^2 } \over {4 \pi c^3}} \int \sin^2 \theta {{ \sin \theta\ d \theta\ d \phi } \over { dx}} \end{align}
  • 적분기호 안은 $2 \pi \times \left( 2 - {2 \over 3} \right) = {8 \over 3} \pi$ 으로 떨어지므로
(21)
\begin{align} P = {{q^2 a^2 } \over {4 \pi c^3}} \times { {8 \pi} \over 3} = {{2 q^2 a^2 } \over {3 c^3}} \end{align}

식 (21)을 라모어 공식이라고 한다. 라모어 공식은 어떤 전하가 가속도 $a$로 움직일 때 그 일률을 의미한다.

쌍극자 근사(dipole approximation): 많은 전하들이 분포되어 있는 부피에 대하여

dipole-approximation.png
(22)
\begin{align} \vec{E} (\vec{x} , t) & = \sum_i {q_i \over c} \left[ { { \hat{n}_i \times ( \hat{n}_i \times \dot{ \vec{\beta}_i } ) } \over R_i} \right]_\mathrm{ret} \\ & = \sum_i {{ \hat{n} \times \hat{n} \times \left[ q_i \dot{\vec{\beta}_i} \right]_\mathrm{ret} } \over { c R_0}} \qquad ( | \vec{x} | \gg | \vec{x}' | ) \\ & = {{ \hat{n} \times ( \hat{n} \times \ddot{\vec{p}}) } \over {c^2 R_0}} \end{align}

이 때 다음 $\vec{p}$전기쌍극자모멘트(electric dipole moment)라고 한다.

(23)
\begin{align} \vec{p} \equiv \sum_i q_i \vec{x}_i \end{align}
  • 각각의 전하는 위상차를 가지고 있을 것. 그 위상차를 무시하는 것이 쌍극자 근사
(24)
\begin{align} i \omega t' & = i \omega \left( t - {{ | \vec{x} - \vec{x}' |} \over c} \right) \\ & = i \omega t - ik | \vec{x} - \vec{x}' | \\ & = i \omega t - i k r \left( 1 - {{ \hat{n} \cdot \vec{x}'} \over r} \right) \\ & = i \omega t - i kr + i k \hat{n} \cdot \vec{x}' \end{align}
  • $\sum \exp \left[ - i \omega t' \right]$ 를 했을 때 제1항, 제2항은 급수에 무관, 제3항은 급수에 유관. 급수에 유관한 제3항을 $\simeq 0$으로 근사하는 것

쌍극자 복사에서 총일률은 다음과 같다.

(25)
\begin{align} P = {{2 \ddot{p}^2 } \over {3 c^3}} \end{align}
  • 대부분의 복사는 전자의 쌍극자 복사. 전자의 질량이 양성자에 비해 매우 작고, 같은 힘을 받았을 때 그만큼 가속도가 훨씬 크다.

다중극 전개(multipole expansion)

(26)
\begin{align} \phi (\vec{x} ) = \int d^3 x' {1 \over { | \vec{x} - \vec{x}' | }} \rho (\vec{x}) \end{align}
(27)
\begin{align} | \vec{x} - \vec{x}' | = \sqrt{ ( \vec{x} - \vec{x}' ) ( \vec{x} - \vec{x}' ) } = \sqrt{ r^2 - 2 \vec{x} \cdot \vec{x}' + {\vec{x}'}^2 } \end{align}
(28)
\begin{align} \phi (\vec{x}) & = \int d^3 x' \left( {1 \over r} + ( \hat{r} \cdot \vec{x}' ) {1 \over r^2} + {1 \over 2} \left( 3 ( \hat{r} \cdot \vec{x}' )^2 - {r'}^2 \right) {1 \over r^3} \right) \rho ( \vec{x}' ) \\ & = {1 \over r} \int d^3 x' \rho ( \vec{x}' ) + {\hat{r} \over r^2 } \int d^3 x' \vec{x}' \rho (\vec{x}' ) + {1 \over 2} {1 \over r^3} \int d^3 x' \left( 3 ( \hat{r} \cdot \vec{x} )^2 - {r'}^3 \right) \rho ( \vec{x}' ) \end{align}
(29)
\begin{align} 알짜\ 전하\ q_\mathrm{net} & = \int d^3 x' \rho ( \vec{x}' ) \\ 쌍극자\ 모멘트\ 벡터\ \vec{p} & = \int d^3 x' \vec{x}' \rho ( \vec{x}' ) \\ \end{align}

정자기 위치에너지(magnetostatic potential) $\vec{B} = \vec{\nabla} \times \vec{A}$

(30)
\begin{align} \vec{A} (\vec{x} ,t) = {{ \vec{m} \times \vec{x}' } \over { | \vec{x} |^3 }} \end{align}

이때 $\vec{m}$자기쌍극자

(31)
\begin{align} \vec{m} = {1 \over {2c}} \int \vec{x}' \times \vec{J}\ d^3 \vec{x}' \end{align}
magnetic-dipole.png

e.g.
우측 그림 같은 고리상 전류에서

(32)
\begin{align} \vec{m} & = {1 \over {2c}} I \int \vec{x}' x d \vec{l} \\ & = {1 \over c} I A \hat{n} \end{align}

이것을 일반화한 형태가 식 (31)인 것

자기쌍극자복사

(33)
\begin{align} 전기쌍극자\ \vec{p} & = \int \rho ( \vec{x} , t) \vec{x}'\ d^3 x' \\ 자기쌍극자\ \vec{m} & \equiv {1 \over {2c}} \int \vec{x}' \times \vec{J}\ d^3 x' \end{align}
  • $| \vec{m} |$$| \vec{p} |$에 비해 $v / c = \beta$ 만큼 작다
  • SI 단위계에서는 전기쌍극자와 자기쌍극자의 차원이 달라서 비교가 불가능함 — cgs 단위계라서 가능
자기쌍극자장 전기쌍극자장
$\vec{m}$ $\vec{p}$
$\vec{A}$ $(i / k) \vec{B}$
$\vec{B} = \vec{\nabla} \times \vec{A}$ $\vec{E} = \vec{\nabla} \times (i/k) \vec{B}$
$\vec{E}$ $- \vec{B}$
(34)
\begin{align} \vec{\nabla} \times \vec{B} = {1 \over c} {{\partial \vec{E} } \over {\partial t}} = - i { \omega \over c} \vec{E} = - ik \vec{E} \end{align}
  • 자기쌍극자 복사장의 단위입체각당 방출일률은 식 (19)에서 전기쌍극자를 자기쌍극자로 대체하여
(35)
\begin{align} {{dP} \over {d \Omega}} & = {{ \ddot{m}^2 } \over { 4 \pi c^3 }} \sin^2 \theta, \\ P & = {{ 2 \ddot{m}^2 } \over {3 c^3}} \end{align}
  • 일률은 쌍극자모멘트의 제곱에 비례하므로, 자기쌍극자 복사는 전기쌍극자 복사에 비해 $v^2 / c^2 = \beta^2$ 만큼 작다

정리:

  • 전기쌍극자 모멘트
(36)
\begin{align} \vec{p} \equiv \sum_i q_i \vec{x}_i = \int_v \rho ( \vec{x} ' , t) \vec{x}'\ d^3 x' \end{align}
  • 일률패턴 및 총일률
(37)
\begin{align} {{dP_\mathrm{el} } \over {d \Omega }} = {{ \ddot{p}^2 } \over {4 \pi c^3 }} \sin^2 \theta, \qquad P_\mathrm{el} = {{ 2 \ddot{p}^2 } \over {3 c^3}} \end{align}
  • 자기쌍극자 모멘트 및 그 일률
(38)
\begin{align} \vec{m} & = {1 \over {2c}} \int \vec{x}' \times \vec{J}\ d^3 x' \\ {{dP_\mathrm{m} } \over {d \Omega }} & = { \ddot{m}^2 \over {4 \pi c^3 }} \sin^2 \theta, \qquad P = {{ 2 \ddot{m}^2 } \over {3 c^3}} \\ { P_\mathrm{el} \over P_\mathrm{m} } & = \left( { p \over m} \right)^2 = \left( { v \over c } \right)^2 \end{align}
Lorentz-oscillator1.png

선복사

로렌츠 진동자(Lorentz oscillator): 전자를 원자핵에 매달린 단진자로 가정

  • 이 계의 자연진동수는 $\omega_0$, 용수철상수 $k = m_e {\omega_0}^2$
  • 전자의 단진동 변위는 $x(t) = x_0 \cos \omega_0 t$
  • 쌍극자 모멘트는 $p = - e x(t) = - e x_0 \cos \omega_0 t$
  • 쌍극자복사의 진동수는 $\nu_0 = \omega_0 / 2 \pi$

이것의 전기장은 어떻게 보일까

용수철이 감쇠하듯 복사도 감쇠(radiation damping)한다는 개념

Lorentz-oscillator2.png
(39)
\begin{align} {{dW} \over {dA\ dt}} & = {c \over {4 \pi}} E^2 (t) \\ {{dW} \over {dA\ d \nu}} & = {c \over {2 \pi}} \left| \tilde{E} ( \nu ) \right|^2 \\ E (t) & = {q \over c} {v \over r} \sin \theta \\ P & = {2 \over {3 c^3}} \left| \ddot{p} \right|^2 = {2 \over {3 c^3}} {\omega_0}^4 {x_0}^2 \cos^2 \omega_0 t \\ < P > & = {{ e^2 { \omega_0}^4 } \over {3 c^3}} {x_0}^2 \end{align}

수명(lifespan): 에너지를 모두 잃을 때까지(= 진동이 멈출 때까지) 걸리는 시간

(40)
\begin{align} \tau_\mathrm{life} & = {{ {1 \over 2} k {x_0}^2 } \over { < P> }} = {{ {1 \over 2} m_2 {\omega_0}^2 {x_0}^2 } \over { {{e^2 {\omega_0}^4} \over {3c^3}} {x_0}^2 }} = {{ 3 m_e c^3 } \over {2 e^2}} {1 \over {\omega_0}^2 } \\ & = {3 \over 2} c \times { {m_2 c^2 } \over e^2} {1 \over {\omega_0}^2} \\ & = {3 \over 2} c {1 \over r_e} {1 \over {\omega_0}^2 } = {1 \over { {\omega_0}^2 \tau }} \\ & = {1 \over { \omega_0 \tau}} \times {1 \over \omega_0 } \gg {1 \over \omega_0} \end{align}
  • 이 때 $r_e \equiv e^2 / ( m_e c^2) = 2.82 \times 10^{-13}\ \mathrm{cm}$ 은 고전적 전자반경(classical electrion radius)
  • $\tau \equiv ( 2 r_e)/(3c) = 6.27 \times 10^{-24}\ \mathrm{s^{-1}}$
  • $1/ \omega_0$ 은 한 번 진동하는 데 걸리는 시간이며, 진동 수명은 그것보다 훨씬 길다.
(41)
\begin{align} < P> \times {1 \over \omega_0} \ll {1 \over 2} k {x_0}^2 \end{align}
  • 복사로 읽는 단위에너지는 전체 에너지보다 작다.

아브라함-로런츠 공식(Abraham-Lorentz formula)

  • 복사감쇠력이 $\vec{F}_\mathrm{rad}$라면 이 힘이 입자에게 평균적으로 한 일은 복사 일률과 같아야 한다.
(42)
\begin{align} - < \vec{F}_\mathrm{rad} \cdot \vec{v} > & = \left< {{2 e^2 \dot{v}^2 } \over {3 c^3}} \right> = {1 \over T} \int_0^T {{2 e^2 } \over {3 c^3 }} \dot{v}^2\ dt \\ & = {{2 e^2 } \over {3 c^3}} {1 \over T} \int \dot{v} \dot{v}\ dt = {{2 e^2 } \over {3c^3}} {1 \over T} \left[ \left[ v \dot{v} \right]_0^T - \int v \dot{v} dt \right] \\ & \simeq - {{2 e^2 } \over {3 c^3 }} {1 \over T} \int \ddot{v} v\ dt = - {{ 2e^2 } \over {3c^3}} < \ddot{v} v > \end{align}
(43)
\begin{align} \therefore\ 복사감쇠력\ F_\mathrm{rad} & = {{2 e^2} \over {3 c^3}} \ddot{v} = - {{ 2 e^2} \over {3 c^3}} {\omega_0}^2 v = - \Gamma m_e v \\ 복사감쇠상수\ \Gamma_\mathrm{rad} & \equiv {{2 e^2} \over {3c^3 m_e }} {\omega_0}^2 = {\omega_0}^2 \tau \ll \omega_0 \end{align}
(44)
\begin{align} m_e \ddot{x} & = - kx - \Gamma m_e \dot{x} \\ \longrightarrow & \ddot{x} + \Gamma \dot{x} + {\omega_0}^2 x = 0 \\ \alpha^2 & + \Gamma \alpha + {\omega_0}^2 = 0 \\ \alpha & \equiv {1 \over 2} \left[ - \Gamma \pm \sqrt{ \Gamma^2 - 4 {\omega_0}^2} \right] \\ & = {1 \over 2} \left[ - \Gamma \pm \left( - t { \omega_0}^2 \right)^{1 \over 2} \left( 1 - {\Gamma^2 \over { 4 {\omega_0}^2}} \right)^{1 \over 2} \right] \\ & = {1 \over 2} \left[ - \Gamma \pm 2 i \omega \right] \\ & \qquad (\because\ \Gamma \ll \omega_0 \implies \Gamma^2 / (4 { \omega_0}^2) \longrightarrow 0) \end{align}
(45)
\begin{align} \therefore\ x & \propto \exp \left[ - { \Gamma \over 2} t \pm i \omega t \right] \\ x(t) & = x_0 \cos \omega_0 t \cdot \exp \left[ - { \Gamma \over 2} t \right] \\ E & = {e \over {cr}} \ddot{x} (t)\ \sin \theta \end{align}
(46)
\begin{align} {{dW} \over {d \omega\ d A}} & = {1 \over {2 \pi}} {{dW} \over {d \nu\ dA}} = {1 \over {(2 \pi)^2}} \left| \tilde{E} ( \nu ) \right|^2 \\ \tilde{E} ( \omega)\ d \omega & = \tilde{E} ( \nu)\ d \nu \\ \tilde{E} ( \omega ) & = {1 \over {2 \pi}} \tilde{E} ( \nu ) = \left| \tilde{E} ( \omega) \right|^2 \\ \tilde{E} (\omega) & = {1 \over {2 \pi}} \int E (t) e^{i \omega t}\ dt \end{align}

선윤곽(line profile)

(47)
\begin{align} \tilde{x} ( \omega ) & = {1 \over {2 \pi}} \int_0^{+ \infty} x(t) e^{i \omega t}\ dt \\ & = { x_0 \over {4 \pi}} \left[ {1 \over {\Gamma/2 - i ( \omega + \omega_0 )}} + {1 \over { \Gamma/2 - i ( \omega - \omega_0 }} \right] \\ & \approx { x_0 \over {4 \pi}} {1 \over {\Gamma/2 - i ( \omega - \omega_0) }} \\ & \qquad \left( \because\ {1 \over \omega_0 } / {1 \over \Gamma} = {\Gamma \over \omega_0 } \ll 1 \right) \end{align}
(48)
\begin{align} p(t) & = \int \tilde{p} ( \omega ) e^{- i \omega t} \\ \ddot{p} ( t) & = - \int \omega^2 \tilde{p} (\omega) e^{- i \omega t}\ d \omega \\ \tilde{\vec{E}} (\omega) & = {{ - \omega^2 } \over { c^2 r}} \hat{n} \times \left[ \hat{n} \times \tilde{ \vec{p}} ( \omega ) \right] \\ & = {{e \omega^2 } \over {c^2 r}} \tilde{x} ( \omega) \sin \theta \end{align}
(49)
\begin{align} {{dW} \over {d \omega }} & = {1 \over 2 } k {x_0}^2 \phi (\omega) \\ \phi (\omega) & = {1 \over \pi} {{(\Gamma / 2)} \over { (\omega - \omega_0)^2 + (\Gamma / 2)^2}} \\ \phi ( \nu) & = {1 \over \pi} \left[ {{ (\Gamma / 4 \pi)} \over { ( \nu - \nu_0)^2 + (\Gamma / 4 \pi)^2 }} \right] \end{align}

이 때 $\phi ( \omega), \phi ( \nu)$ 가 바로 로런츠 선윤곽

  • $\phi ( \omega)$의 반치전폭이 $\Gamma$
lorentz-ft.png

파장으로 쓴 로런츠 선폭

(50)
\begin{align} \lambda \nu & =c = \mathrm{const.} \\ \lambda \omega & = \mathrm{const.} \\ \log \lambda & + \log \omega = \mathrm{const.} \\ {{ \Delta \lambda} \over \lambda_0 } & = {{ \Delta \omega } \over \omega_0 } \\ \Delta \lambda_\mathrm{L} & = { \lambda_0 \over \omega_0 }\ \Delta \omega \\ & = { c \over \omega_0 } \cdot { { 2 \pi} \over \omega_0} \times \Delta \omega \\ & = {c \over \omega_0 } \cdot {{2 \pi} \over \omega_0 } \cdot { \omega_0}^2 \tau \\ & = 2 \pi c \tau = \mathrm{const.} \end{align}
  • timescale $\tau \sim 10^{-24}$
  • 이것의 의미: 방출선 선폭은 고전적으로는 각진동수에 무관하다

이상 고전적 결과의 양자역학적 의미:

  • 전자가 에너지를 잃는 수명 $\tau_\mathrm{life}$는 아인슈타인 계수 $A_{21}$의 역수
(51)
\begin{align} < \vec{S} > & \propto e^{- \Gamma t} \\ \tau_\mathrm{life} & = {1 \over \Gamma} = {1 \over { {\omega_0}^2 \tau }} = \left( {1 \over { \omega_0 \tau}} \right) {1 \over \omega_0} \\ & = {1 \over A_{21}} \end{align}
  • $\Gamma$의 양자론적 대응물이 $A_{21}$
(52)
\begin{align} {1 \over 2} k {x_0}^2 & = {1 \over 2} m_e {\omega_0}^2 {x_0}^2 = \hbar \omega \\ & \implies m_e = {{ 2 \hbar \omega } \over { {\omega_0}^2 {x_0}^2 } } \\ A_{21} & = {\omega_0}^2 \cdot \tau = { \omega_0}^2 \times {2 \over {3c}} \times { e^2 \over { m_e c^2 }} \\ & = {{ 2 e^2 { \omega_0}^2 } \over {3 c^3}} {{ {\omega_0}^2 {x_0}^2 } \over { 2 \hbar \omega_0 }} = { {\omega_0}^3 \over { 3 \hbar c^3 }} e^2 {x_0}^2 \\ & = {{ 4 ( 2 \pi)^4 \nu^3 } \over {3 h c^3}} \left( {{ e x_0 } \over 2} \right)^2 = {{ 64 \pi^4 \nu^3} \over {3 h c^3}} \left( {{ e x_0 } \over 2 } \right)^2 \end{align}

산란

톰슨 산란(Tompson scattering)
선형편광된 빛의 경우:

tompson1.png
(53)
\begin{align} \vec{E} & = \hat{x} E_0 \cos \omega_0 t \\ \vec{F} & = q \left( \vec{E} + { \vec{v} \over c} \times \vec{B} \right) \\ & = - e \vec{E} = m_e \ddot{x} \\ {{d P} \over {d \Omega }} & = { e^2 \over { 4 \pi c^3 }} \ddot{x}^2 \sin^2 \theta \\ & = {e^2 \over {4 \pi c^3 }} {e^2 \over {m_e}^2 } E^2 \sin^2 \theta \\ & = { e^4 \over { 4 \pi {m_e}^2 c^3 }} E^2 \sin^2 \theta \end{align}
tompson2.png

(점선은 복사일률패턴)

(54)
\begin{align} P & = \sigma_S \cdot S \\ {{dP} \over {d \Omega}} & = {{d \sigma_S} \over { d \Omega }} S \\ {{d \sigma } \over {d \Omega}} & = {{ (e^4 / 4 \pi {m_2}^2 c^3) E^2 \sin^2 \theta} \over { (c/4 \pi) E^2 }} \\ & = { e^4 \over { {m_e}^2 c^4 }} \sin^2 \theta \\ & = {r_e}^2 \sin^2 \theta \end{align}
  • 이 때 $S$는 포인팅벡터, $\sigma_S$는 차등산란단면적
(55)
\begin{align} 톰슨\ 산란단면적\ \sigma_T = {{ 8 \pi} \over 3} {r_e}^2 \end{align}
  • 선형편광된 빛을 받았더니 수직방향을 제외한 다른 모든 방향들로 대칭한 복사가 나온다는 결과

편광이 안 되어 있을 경우

tompson3.png
(56)
\begin{align} {{d P } \over {d \Omega}} & = {{ dP_\perp} \over { d \Omega }} + {{ d P_\parallel} \over {d \Omega }} \\ & = {1 \over 2} S \times {{d \sigma_\perp} \over {d \Omega}} + {1 \over 2} S \times {{ d \sigma_\parallel} \over {d \Omega }} \\ & = {1 \over 2 } S {r_e}^2 ( 1 + \cos^2 \Theta ) \\ & \qquad \left( {{d \sigma_\perp} \over {d \Omega}} = {r_e}^2, {{ d \sigma_\parallel} \over {d \Omega }} = {r_e}^2 \cos^2 \Theta \right) \\ {{d \sigma} \over {d \Omega }} & = { {r_e}^2 \over 2} ( 1 + \cos^2 \Theta ) \end{align}

마지막 줄을 적분하면

(57)
\begin{align} \sigma_T = {{8 \pi} \over 3} {r_e}^2 \end{align}

편광이 안 되어 있어도 적분된 총 단면적은 같다.

편광도

(58)
\begin{align} \Pi = {{ I_\mathrm{max} - I_\mathrm{min} } \over {I_\mathrm{max} + I_\mathrm{min} }} = {{1 - \cos^2 \theta} \over {1 + \cos^2 \theta}} \end{align}
  • $\theta = 0$ 이면 무편광
  • $\theta = \pi / 2$ 이면 100% 편광

이것의 일률 패턴은 이런 땅콩 모양

tompson4.png

속박전자의 산란

  • 톰슨 산란은 자유전자의 산란
  • 로런츠 감쇠는 속박전자의 진동
  • 그럼 속박전자의 산란은?
(59)
\begin{align} m_e \ddot{x} = - kx - e E_0 e^{- i \omega t} + m_e \tau \dddot{x} \end{align}
(60)
\begin{align} \sigma_S (\omega) = {{ < P > } \over {< \vec{S} \cdot \hat{n} > }} = \sigma_T \left[ {{ \omega_4 } \over { (\omega^2 - {\omega_0}^2 )^2 + \omega^2 \Gamma^2 }} \right] \end{align}
  • $\omega \gg \omega_0 \implies \sigma_S = \sigma_T$
    • 빛의 파장이 매우 짧을 때: 자유전자의 산란과 차이 없음
  • $\omega \ll \omega_0 \implies \sigma_S = \sigma_T ( \omega / \omega_0 )^4$
    • 빛의 파장이 매우 길 때: 레일리 산란(하늘이 푸른 이유).
  • $\omega = \omega_0 \implies \sigma_S = ( \pi e^3 / m c ) \phi (\nu)$
    • 공진산란(resonant scattering)
cross-section.png

cf) 양자적 표현($f_{12}$는 진동자 세기):

(61)
\begin{align} \int \sigma ( \nu)\ d \nu = {{\pi e^2 } \over {m_e c}} f_{12} \end{align}