2.1. 전자기파 복습

제2부의 주제:

  • 지금껏 수없이 들었던 복사 ↔ 전자기파.
  • 그래서 어떻게 복사가 형성되는가: 우리가 하고 싶은 것은 $j_\nu$를 구하는 거

cgs 단위계

MKSA(SI) 단위계 vs. 가우스(cgs) 단위계

  • 천문학에서는 cgs 단위계를 사용. 왜?

MKSA: 미터(M), 킬로그램(K), 초(S), 암페어(A)가 기본 단위

  • $1\ \mathrm{C} = 1\ \mathrm{A} \cdot 1\ \mathrm{s}$: 쿨롱을 정의하고 들어감
(1)
\begin{align} 전기력\ F & = k {{q_1 q_2 } \over r^2 } \\ & \left( k \equiv {1 \over {4 \pi \epsilon_0 }} = 8.988 \times 10^9\ \mathrm{N \cdot m^2 / C^2 } \right) \\ 로렌츠\ 힘\ \vec{F} & = q \vec{E} + qv \times \vec{B} \\ & \left( B = {{ \mu_0 I } \over {2 \pi r}}, \quad \mu_0 = 4 \pi \times 10^7\ \mathrm{N/A^2} \right) \end{align}
  • 자기장의 단위 테슬라 $1\ \mathrm{T} = 1\ \mathrm{N / (A \cdot m)}$

cgs 단위계: 센티미터(c), 그램(g), 초(s)가 기본 단위

(2)
\begin{align} 전기력\ F & = k {{q_1 q_2 } \over r^2 } \\ & \left( k =1\ (무차원) \rightarrow \mathrm{esu\ 또는\ statC} \right) \\ & 1\ \mathrm{dyne} = 1 { \mathrm{esu}^2 \over \mathrm{cm}^2 } \implies 1\ \mathrm{esu} = \sqrt{ \mathrm{g \cdot cm^3} \over \mathrm{s}^2 } \\ 로렌츠\ 힘\ \vec{F} & = q \vec{E} + g {v \over c} \times \vec{B} \end{align}
  • 즉 cgs 단위계에서는 전기장과 자기장의 차원이 같음
  • SI 단위계에서 $B \longrightarrow$ cgs 단위계에서 $B/c$
MKSA → cgs 단위 변환
물리량 MKSA cgs
1 뉴턴(N) 105 다인(dyne)
에너지 1 줄(J) 10^7 에르그(erg)
전하 1 쿨롱(C) 3 × 109 정전기단위(esu)
전위 1 볼트(V) 1 / (3 × 102) 스탯볼트(statV)
전기장 1 V/m 1 / (3 × 104) statV/cm
전기용량 1 패럿(F) 32 × 1011 cm
저항 1 옴(Ω) 1 / (32 × 1011) s/cm
비저항 1 Ω·m 1 / (32 × 109) s
유도계수 1 헨리(H) 1 / (32 × 1011) s2/cm
자기장 1 테슬라(T) 104 가우스(gauss)
자계강도 1 A/m 4π × 10-3 외르스테드(oersted)
(3)
\begin{cases} 1. & {1 \over {4 \pi \epsilon_0}} \longrightarrow 1 \quad \left( \mathrm{i.e.}\ \epsilon_0 \longrightarrow {1 \over {4 \pi}} \right) ; \\ & \mu_0 = {1 \over { \epsilon_0 c^2}} \longrightarrow {{4 \pi} \over c^2} \\ 2. & \vec{B} \longrightarrow { \vec{B} \over c} \\ & \mathrm{e.g.}\ B = {{ \mu_0 I} \over {2 \pi r }} \longrightarrow \left( {B \over c} \right) = \left( {{4 \pi} \over c^2 } \right) {I \over {2 \pi r}} \implies B = {{2I } \over {rc}} \\ 3. & 전기감수율\ \chi_e \longrightarrow 4 \pi \chi_e; \quad 전기변위 \vec{D} \longrightarrow { \vec{D} \over {4 \pi}} ; \\ & 길이 \mathrm{m} \longrightarrow \mathrm{cm}; \quad 자계강도\ \vec{H} \longrightarrow \left( {c \over {4 \pi}} \right) \vec{H} \end{cases}
  • 천문학에서는 3. 은 별 쓸 데 없고 1, 2.가 유용
  • 이하 보겠지만 cgs 단위계에서는 유전율 $\epsilon_0$, 자기투과율 $\mu_0$이 무차원의 1이 되어 없어짐
  • $\epsilon_0, \mu_0$이 들어가면 정신이 사납고 차원이 오락가락하므로 천문학에서는 cgs를 사용한다

맥스웰 방정식(들)

MKSA 단위계 법칙 cgs 단위계
$\vec{\nabla} \cdot \vec{E} = {1 \over \epsilon_0} \rho$ 가우스 $\vec{\nabla} \cdot \vec{E} = 4 \pi \rho$
$\vec{\nabla} \cdot \vec{B} = 0$ 가우스 자기 $\vec{\nabla} \cdot \vec{B} = 0$
$\vec{\nabla} \times \vec{E} = - {{\partial \vec{B} } \over {\partial t}}$ 패러데이 $\vec{\nabla} \times \vec{E} = - {1 \over c} {{\partial \vec{B}} \over {\partial t}}$
$\vec{\nabla} \times \vec{B} = \mu_0 \vec{J} + \mu_0 \epsilon_0 {{\partial \vec{E} } \over {\partial t}}$ 앙페르-맥스웰 $\vec{\nabla} \times \vec{B} = {{4 \pi } \over c} \vec{J} + {1 \over c} {{\partial \vec{E} } \over {\partial t}}$
  • 전류밀도 $\vec{J} = \rho \vec{v}$,
  • $\rho =$ 전하밀도

맥스웰 방정식 (cgs 단위계)

(4)
\begin{cases} 1. \quad \vec{\nabla} \cdot \vec{E} = 4 \pi \rho & (가우스\ 법칙) \\ 2. \quad \vec{\nabla} \cdot \vec{B} = 0 & (가우스\ 자기법칙) \\ 3. \quad \vec{\nabla} \times \vec{E} = - {1 \over c} {{\partial \vec{B}} \over {\partial t}} & (패러데이\ 법칙) \\ 4. \quad \vec{\nabla} \times \vec{B} = {{4 \pi } \over c} \vec{J} + {1 \over c} {{\partial \vec{E} } \over {\partial t}} & (앙페르-맥스웰\ 법칙) \end{cases}

연속방정식: 밀도 $\rho$인 부피 $V$의 면적소 $dA$의 법선벡터가 $\hat{n}$이고 $\vec{v}$가 그 면적소에서 나올 때

(5)
\begin{align} {d \over {dt}} \int & \rho\ dV = - \int \rho \vec{v} \hat{n}\ dA \\ \int \left[ {{\partial \rho} \over {\partial t}} \right. & \left. + \vec{\nabla} \cdot ( \rho \vec{v} ) \right]\ dV = 0 \end{align}

임의의 부피에 대해 성립하기 위해서는

(6)
\begin{align} {{\partial \rho} \over {\partial t}} + \vec{\nabla} \cdot ( \rho \vec{v} ) = 0 \end{align}

e.g. 항성이 단위시간당 $\dot{M}$을 질량방출

(7)
\begin{align} {{ \partial \rho } \over {\partial t}} + \vec{\nabla} \cdot ( \rho \vec{v} ) = \dot{M} \delta ( \vec{x} ) \end{align}

이 때 $\delta$는 디랙 델타. 어떤 밀도와 선속이 원천항이 없으면 0이 된다.

그래서 전하밀도와 전류밀도에 관한 연속방정식은

(8)
\begin{align} {{\partial \rho } \over {\partial t}} + \vec{\nabla} \cdot \vec{J} = 0 \end{align}

이것은 전류밀도의 발산이 전하밀도의 변화 감소율과 같음을 의미.

거시적 맥스웰 방정식

(9)
\begin{align} \vec{\nabla} \cdot \vec{D} & = 4 \pi \rho \\ \vec{\nabla} \times \vec{H} & = { {4 \pi} \over c} \vec{J} + {1 \over c} {{ \partial \vec{D} } \over {\partial t}} \end{align}
  • 전기변위 $\vec{D} = \epsilon \vec{E}$
  • 자기세기 $\vec{H} = \mu' \vec{B}$
  • $\epsilon$은 유전율, $\mu '$은 역투자율

포인팅 정리
맥-앙에 $\vec{E}$를 내적

(10)
\begin{align} \vec{E} \cdot ( \vec{\nabla} \times \vec{B} ) = {{ 4 \pi} \over c} \vec{J} \cdot \vec{E} + {1 \over c} \vec{E} \cdot {{\partial \vec{E} } \over {\partial t}} \end{align}
(11)
\begin{align} \vec{E} \cdot (\vec{\nabla} \times \vec{B} ) & = \vec{B} \cdot ( \vec{\nabla} \times \vec{E} ) - \vec{\nabla} \cdot (\vec{E} \times \vec{B} ) \\ & = - {1 \over c} \vec{B} \cdot {{\partial \vec{B} } \over { \partial t}} = - {1 \over {2c}} { \partial \over {\partial t}} B^2 \end{align}
(12)
\begin{align} {1 \over c} \vec{E} \times {{\partial \vec{E} } \over {\partial t}} = {1 \over {2c}} { \partial \over {\partial t}} E^2 \end{align}
(13)
\begin{align} \implies & {\partial \over {\partial t}} {1 \over {8 \pi}} ( E^2 + B^2 ) + \vec{\nabla} \cdot \left( {c \over {4 \pi}} \vec{E} \times \vec{B} \right) = - \vec{J} \cdot \vec{E} \\ & {{\partial u} \over {\partial t}} + \vec{\nabla} \cdot \vec{S} = - \vec{J} \cdot \vec{E} \cdot \begin{cases} u & \equiv {1 \over {8 \pi}} (E^2 + B^2) \\ \vec{S} & \equiv {c \over {4 \pi}} \vec{E} \times \vec{B} \end{cases} \end{align}

전하가 로렌츠 힘을 받아 속도 $\vec{v}$로 움직일 대, 전자기장의 일률은

(14)
\begin{align} \vec{v} & \cdot \vec{F} = q \vec{v} \cdot \vec{E} \quad (입자\ 하나당) \\ \vec{F} & = q \left( \vec{E} + { \vec{v} \over c} \times \vec{B} \right) \end{align}

단위부피당 일률은

(15)
\begin{align} \rho \vec{v} \cdot \vec{E} = \vec{J} \cdot \vec{E} \end{align}
(16)
\begin{align} \therefore\ {{\partial u} \over {\partial t}} + \vec{\nabla} \cdot \vec{S} = - \vec{J} \cdot \vec{E} = - \rho \vec{v} \cdot \vec{E} \end{align}

포인팅 정리의 의미: 단위부피당 에너지 전달률은 전하분포가 한 일률과 그 부피를 빠져나가는 에너지밀도의 합과 같다. (에너지 보존의 동전기학적 기술)

평면 전자기파

plane-wave.png

진공일 경우 $\rho = 0, \vec{J} = 0$

(17)
\begin{align} \nabla^2 \vec{E} - {1 \over c^2} { \partial^2 \over {\partial t^2}} \vec{E} = 0 \end{align}
(18)
\begin{align} \vec{E} ( \vec{x}, t) & = \Re \left\{ \vec{E}_0 \exp [ i \vec{k} \cdot \vec{x} - i \omega t ] \right\} \\ & \begin{cases} {\partial \over {\partial x}} \vec{E} & = ikx \vec{E} \\ \vec{\nabla} & = i \vec{k} \\ {\partial \over {\partial t}} & = - i \omega \end{cases} \\ - k^2 \vec{E} & + { \omega^2 \over c^2} E = 0 \end{align}
(19)
\begin{align} \omega = c k = c \cdot {{ 2 \pi } \over \lambda} \end{align}
  • $\omega$는 각진동수 $(= 2 \pi \nu )$, $k$는 파수
(20)
\begin{align} \therefore\ { \omega \over k} = c : 위상속도(\mathrm{phase\ velocity}) \end{align}

(복습)

1-dim-wave.png
(21)
\begin{align} 1차원\ 파동방정식\ {{\partial^2 f} \over {\partial z^2}} = & {1 \over v^2} { {\partial^2 f} \over {\partial t^2}} \\ 의\ 일반해\ f(z,t) = & g(z-vt) + h(z+vt) \\ 정현파\ f (z,t) = & A \cos [ k (z - vt) + \delta ] \\ (\mathrm{sinusoidal\ wave}) \qquad & A \cos ( kz - \omega t + \delta) \end{align}
(22)
\begin{align} 위상\ \phi & = kz - \omega + \delta \\ z & = { \phi \over k} + {\omega \over k} t - {\delta \over k} \end{align}

각설하고

(23)
\begin{align} \nabla^2 \vec{E} & - {1 \over c^2} {\partial^2 \over {\partial t^2}} \vec{E} = 0 \\ \vec{\nabla} \times \vec{E} & = - {1 \over c} {{\partial \vec{B} } \over {\partial t}} \\ i \vec{k} \times \vec{E} & = i {\omega \over c} \vec{B} \\ \vec{B} & = \hat{k} \times \vec{E} \end{align}

복소표현(complex notation)

(24)
\begin{align} \vec{E} ( \vec{x} , t) & = \Re \left\{ \vec{E}_0 \exp [ i \vec{k} \cdot \vec{x} - i \omega t ] \right\} \\ & = \vec{E}_0 \cos [ \vec{k} \cdot \vec{x} - \omega t + \delta \end{align}
(25)
\begin{align} \vec{E} \cdot \vec{E} & = {1 \over 4} \left( \vec{E} \cdot e^{-i \omega t} + \vec{E}^* \cdot e^{i \omega t} \right) \left( \vec{E} \cdot e^{- i \omega t } + \vec{E}^* \cdot e^{i \omega t} \right) \\ & = 2 \vec{E} \cdot \vec{E}^* + \vec{E} \cdot \vec{E} e^{-2 i \omega t} + \vec{E}^* \cdot \vec{E}^* e^{2 i \omega t} \end{align}

시간에 대해 평균하면 진동하는 항들은 없어지고

(26)
\begin{align} 에너지밀도\ < u> & = {1 \over {8 \pi}} ( E^2 + B^2 ) \\ & = { 1 \over {16 \pi }} ( | E|^2 + |B|^2 ) \\ & = {1 \over {8 \pi}} |E|^2 \quad (평면파에서\ E = B ) \\ 포인팅벡터\ < \vec{S} > & = \hat{k} {c \over {4 \pi}} < \vec{E} \cdot \vec{E} > \\ & = \hat{k} {c \over {8 \pi}} \Re \left\{ \vec{E} ( \vec{x} ) \cdot \vec{E}^* ( \vec{x} ) \right\} \\ & = \hat{k} {c \over {8 \pi}} | E_0 |^2 = \hat{k} c < u > \end{align}

$\implies$ 에너지선속이 광속도로 날아온 것이 에너지밀도가 된다.

덤: 편광

  • 편광이란 전자기장의 규칙적 운동
  • 별빛이 편광되었음은 한쪽 방향으로만 많이 흡수되었다는 뜻
    • 성간매질의 배열이 무작위하지 않거나
    • 성간매질을 이루는 티끌의 모양이 길쭉하거나
    • 등의 가능성을 시사함

복사 스펙트럼

우리가 알고자 하는 것: 빛의 세기를 진동수의 함수로 알기

(27)
\begin{align} < \vec{S} > = {c \over {4 \pi}} E^2 (t) \longleftarrow 푸리에\ 변환 \longrightarrow {{dW} \over {d \nu}} \end{align}
(28)
\begin{align} \tilde{E} ( \nu) = \int_{\pm \infty} e^{i 2 \pi \nu t} E(t) dt \end{align}

푸리에 변환의 예시들:

fourier-transform-egs.png
  • 델타함수 ←푸리에 변환→ 상수함수
  • 가우스 함수 ←푸리에 변환→ 가우스 함수
(29)
\begin{align} f(t) = & \exp \left[ - {t^2 \over b^2 } \right] \\ \tilde{f} (t)= & \sqrt{\pi} b \cdot \exp [ - \pi^2 b^2 \nu^2 ] \end{align}
  • 사각함수 ←푸리에 변환→ 싱크 함수
(30)
\begin{align} f(t) =& \begin{cases} 1, & | t| \le {T \over 2} \\ 0, & |t| > {T \over 2} \end{cases} \\ \tilde{f} ( \nu) = & T {{ \sin ( \pi \nu T ) } \over { \pi \cdot \nu T}} = T \operatorname{sinc} ( \nu T) \\ & \operatorname{sinc} x \equiv { { \sin \pi x } \over { \pi x}} \end{align}

푸리에 정리:

(31)
\begin{align} 덧셈정리: & \sum \tilde{f}_i ( \nu ) \iff \sum f_i (t) \\ 닮음정리: & {1 \over a} \tilde{f} \left( { \nu \over a} \right) \iff f(at) \\ 밀림정리: & \tilde{f} (\nu)\ \exp [i 2 \pi a \nu ] \iff f(t-a) \\ 퍼시벌\ 정리: & \int_{\pm \infty } | \tilde{f} (\nu) |^2 d \nu = \int_{\pm \infty} | f(t) |^2 dt \end{align}

합성곱 정리(convolution theorum): 두 시간함수의 합성곱은 각각의 푸리에 변환된 진동수함수의 곱

(32)
\begin{align} \tilde{f}_1 (\nu) \tilde{f}_2 ( \nu) = f_1 (t) \otimes f_2 (t) \equiv \int_{\pm \infty} f_1 (t') f_2 (t-t')\ dt' \end{align}
time-frequency-energy.png

단위면적당 단위시간당 방출하는 복사에너지의 포인팅벡터 또는 에너지선속은

(33)
\begin{align} {{dW} \over {dt\ dA}} = {c \over {4 \pi}} E^2 (t) \end{align}

단위면적당 시간총복사는

(34)
\begin{align} {{dW} \over {dA}} & = {c \over {4 \pi}} \int_{\pm \infty} E^2 (t) dt \\ & = {c \over {4 \pi}} \int_{\pm \infty} | \tilde{E} (\nu) |^2\ d \nu \quad (퍼시벌\ 정리) \\ & = {c \over {4 \pi}} \int_{\pm \infty} | \tilde{E} ( \nu) |^2\ d \nu \quad ( \because\ | \tilde{E} ( \nu) |^2 = | \tilde{E} ( - \nu ) |^2 ) \\ & = {2 \over {2 \pi}} \int_0^\infty | \tilde{E} ( \nu ) |^2\ d \nu \end{align}
(35)
\begin{align} \implies \begin{cases} {{dW} \over {dA\ d \nu }} & = {c \over { 2 \pi}} | \tilde{E} ( \nu ) |^2, \\ {{dW} \over {d \Omega\ d \nu}} & = {{ cr^2 | \tilde{E} ( \nu ) |^2} \over {2 \pi}}, \\ {{dW} \over {d \Omega\ d \omega}} & = cr^2 | \tilde{E} ( \omega ) |^2. \end{cases} \end{align}
  • 각진동수 $\omega = 2 \pi \nu$