1.4 선복사
(1)
\begin{align} {{d I_\nu} \over {ds}} = - \kappa_\nu I_\nu + j_\nu \end{align}
  • 여기서 $\kappa_\nu, j_\nu$를 어떻게 기술할 수 있느뇨

아인슈타인 계수

열역학적 평형에 대한 몇 가지 부연설명

  • 미소과정들 사이의 엄격한 평형
  • 열역학적 평형계가 에너지 $E$를 가질 확률은 볼츠만 인자 $e^{-E / kT}$에 비례

*- 에너지가 높을 확률이 지수적으로 낮다
* 전체 에너지는 일정하므로, 큰 에너지 준위 입자는 작은 에너지 준위 입자보다 적어야 한다.

볼츠만 분포:

(2)
\begin{align} {n_2 \over n_1} = {g_2 \over g_1} \exp \left[ - (E_2 - E_1 ) k T \right] \end{align}
  • $n_1, n_2$는 에너지 준위 밀도, $g_1, g_2$는 에너지를 나타냄

맥스웰-볼츠만 속도분포 $f(v)\ dv:$ 입자가 1차원 속도 $(v, v+dv)$에 있을 확률

(3)
\begin{align} f(v) = \left( {m \over {2 \pi kT}} \right)^{1 \over 2} \exp \left[ - {{ m {v_x}^2 } \over {2kT} } \right] d v_x \end{align}
  • 3차원일 경우:
(4)
\begin{align} f (v) & = \left( {m \over {2 \pi kT}} \right)^{3 \over 2} \exp \left[ - { {mv^2} \over {2kT}} \right] dv_x\ dv_y\ dv_z \\ & = \left( {m \over {2 \pi kT}} \right)^{3 \over 2} \exp \left[ - { {mv^2} \over {2kT}} \right] 4 \pi v^2\ dv \quad (속력) \\ \end{align}
  • 2차원($v_x, v_y$) 속도평면 상에서 특정 속력 $v$는 원을 그린다 → 3차원이면 구
  • 관측할 때는 시선방향이므로 1차원, 이론적으로는 3차원 사용
(5)
\begin{align} \bar{E} = \int_0^\infty {1 \over 2} m v^2 \cdot f(v) 4 \pi v^2 dv = {3 \over 2} kT \end{align}
  • 적분 속의 $(1/2) mv^2$은 하나당 에너지, $f(v) 4 \pi v^2$은 확률분포를 의미

에너지 밀도

(6)
\begin{align} u = {3 \over 2} nkT \end{align}

압력

(7)
\begin{align} p = nkT = {3 \over 3} = ( \gamma - 1) u \end{align}
  • 흑체(isotropic)에서는 $\gamma = 4/3, p = (1/3) u$
  • 이상기체는 $\gamma = 5/3, p = (2/3) u$
2-1.png

아인슈타인(1917) 가라사대, 원자와 광자의 상호작용은 다음 세 가지가 있다.

  1. 자발방출 $A_{21}$ [s-1]
    • 위에 있으면 불안정하니까 시간이 지나면 저절로 내려오면서 빛을 방출한다
  2. 흡수 $B_{12} \bar{J}_\nu$ [s-1]
    • 빛을 흡수해서 올라간다
  3. 유도방출 $B_{21} \bar{J}_\nu$ [s-1]
    • 빛을 받아서(i.e. 주변 복사장의 영향으로) 내려가며 빛을 방출한다

이 때 평균세기에 또 평균을 한다는 것은 선윤곽함수(line profile function)을 의미

(8)
\begin{align} \int_0^\infty & \phi (\nu)\ d \nu = 1 \\ \bar{J} \equiv & \int J_\nu \cdot \phi ( \nu )\ d \nu \simeq J_{\nu_0} \end{align}
  • 정확한 진동수 $\nu_0$가 아니더라도 천이가 일어날 수 있는데, 그 효율을 표현하는 것
  • 당연히 $\nu = \nu_0$ 에서 최대치
  • 근데 뭐 어지간해선 $\bar{J} \simeq J_{\nu_0}$

에너지 준위가 2개인 원자들이 열역학적 평형 상태에 있다면 위아래 알짜 교환이 없어야 함
$\implies$ 복사 올라감 + 충돌 올라감 = 자발 내려감 + 복사 내려감 + 충돌 내려감

단위부피, 단위시간당 (자발) + (유도) = (흡수)를 쓰면

(9)
\begin{align} n_2 A_{21} & + n_2 B_{21} \bar{J} = n_1 B_{12} \bar{J} \\ n_2 A_{21} & = (n_1 B_{12} - n_2 B_{21} ) \bar{J} \\ \bar{J} & = { {n_2 A_{21} } \over { n_2 B_{21} \left( {{ n_1 B_{12} } \over {n_2 B_{21} }} -1 \right) }} \\ & = { { A_{21} / B_{21} } \over { {( n_1 B_{12}) / (n_2 B_{21} )} -1 }} \end{align}
  • 열역학적 평형 상태이므로 $n_1 / n_2$ 는 볼츠만 분포를 따른다.
(10)
\begin{align} \qquad & = {{A_{21} / B_{21} } \over { { ( g_1 B_{12} ) / (g_2 B_{21} ) } -1 }} \\ & = B_{\nu_0} (T) = {{2 h \nu^3} \over c^2 } {1 \over { e^{h \nu / kT} -1}} \end{align}
(11)
\begin{align} \therefore\ \begin{cases} A_{21} & = {{2 h \nu^3} \over c^2} B_{21}, \\ g_1 B_{12} & = g_2 B_{21} \end{cases} \end{align}

이것을 아인슈타인 관계라고 한다.

  • 아인슈타인 계수들은 원자의 고유특성이고 주변 환경에 무관
  • i.e. 열역학적 평형계가 아니더라도 아인슈타인 관계식은 성립

준위 2에서 준위 1로의 단위시간당 천이율은

(12)
\begin{align} n_2 (A_{21} + B_{21} \bar{J} ) & = n_2 ( A_{21} + A_{21} {c^2 \over {2 h \nu^3}} \bar{J} ) \\ & = n_2 A_{21} (1 + n_\gamma) \\ & = n_2 A_{21} \left( 1 + {1 \over {e^{ h \nu / kT } - 1}} \right) \end{align}

만일 흑체라면 $n_\gamma = ( e^{ h \nu / kT } - 1 ) ^{-1}$

  • $n_\gamma$: 에너지 차이가 $h \nu$인 두 준위 사이에 천이를 일으킬 수 있는 주변 복사장 광자의 양자상태당 개수
    • $n_\gamma > 1$: 유도방출의 상대적 우세
    • $n_\gamma < 1$: 자발방출의 상대적 우세
H-21-cm.png

예: 수소 21 cm 선

  • $n_2 \rightarrow n_1$의 자발방출 에너지 차는 $10.2\ \mathrm{eV} \sim 10^5\ \mathrm{K}$
    • $1\ \mathrm{eV} = kT$
  • 바닥상태는 사실 스핀 차이에 의한 미세한 준위 차이가 있는데 그 사이 에너지 차이는 $h \nu / k = 0.07\ \mathrm{K}$
    • 너무 작아서 우주배경복사($T = 2.73\ \mathrm{K}$)에 의해서도 들뜰 수 있음 → 이것이 21 cm 선의 원인
(13)
\begin{align} n_\gamma \simeq {1 \over { \left( 1 + {{h \nu} \over {kT}} - 1 \right) } } = {{kT} \over {h \nu}} = { {2.73\ \mathrm{K} } \over {0.07\ \mathrm{K} }} > 1 \quad (h \nu \ll kT) \end{align}
  • 즉 수소 21 cm 선 복사에서는 자발천이보다 우주배경복사에 의한 유도천이가 더 중요
  • 에너지 준위차가 큰 광학복사에서는 우주배경복사나 성간평균복사의 광자점유수는 $n_\gamma \ll 1$로 유도천이는 별로 중요치 않다.
  • Ly α 선의 자발천이 시간은 10-7 초, 수소 21 cm 의 자발천이 시간은 1000만 년.

선복사의 방출계수·흡수계수

$n=2 \longrightarrow n=1$ 자발천이의 복사계수는

(14)
\begin{align} j_\nu = {{h \nu_0} \over {4 \pi}} n_2 A_{21} \phi ( \nu ) \end{align}
  • $h \nu_0 =$ 광자 에너지
  • $4 \pi =$ 입체각 (등방함을 가정)
  • $n_2 A_{21} =$ (단위시간당) 개수밀도
  • $\phi ( \nu) =$ 단위진동수 표현

방출선의 의미: 시선방향에 얼마나 많은 $n=2$ 원자가 있을까?

흡수가 없다면

(15)
\begin{align} {{d I_\nu} \over {ds}} & = j_\nu \\ \therefore\ I_0 & = \int j_\nu\ ds \\ & = {{h \nu_0 } \over {4 \pi }} \int n_2 A_{21} \phi ( \nu ) ds \\ & = {{h \nu_0} \over {4 \pi }} N_2 A_{21} \phi ( \nu ) \\ \int I_\nu\ d \nu & = {{ h \nu_0} \over {4 \pi }} N_2 A_{21} \quad : (방출선의\ 세기) \\ & \left( N_2 \equiv \int n_2\ ds \quad [ \mathrm{cm^{-2}}] \right) \end{align}
  • $N_2 =$ 선밀도(column density)
(16)
\begin{align} j_\nu & = {{h \nu} \over {4 \pi }} n_2 A_{21} \phi ( \nu ) \\ \kappa_\nu I_\nu & = {{h \nu } \over {4 \pi}} n_1 B_{12} \bar{J} \phi ( \nu ) \end{align}

흡수되는 에너지는

(17)
\begin{align} dE & = h \nu n_1 B_{12} \cdot \bar{J} dA\ ds\ dt \\ & = \int - \kappa_\nu I_\nu\ d \Omega\ d \nu\ dA\ ds\ dt \end{align}
(18)
\begin{align} \kappa_\nu I_\nu & = - \int \kappa_\nu I_\nu\ d \Omega\ d \nu \\ \bar{J} & = {1 \over {4 \pi}} \int I_\nu \phi ( \nu )\ d \Omega\ d \nu \end{align}
(19)
\begin{align} \kappa_\nu & = {{h \nu } \over {4 \pi}} n_1 B_{12} \phi ( \nu ) \\ & = {{h \nu } \over {4 \pi}} ( n_1 B_{12} - n_2 B_{21} ) \phi ( \nu ) \qquad (유도방출\ 반영) \\ & = {{h \nu} \over {4 \pi}} n_1 B_{12} \left( 1 - { {n_2 B_{21}} \over {n_1 B_{12} } } \right) \phi ( \nu ) \\ & = {{h \nu} \over {4 \pi}} n_1 B_{12} \left( 1 - { { n_2/ g_2 } \over {n_1 / g_1 }} \right) \phi (\nu) \\ & = {{h \nu} \over {4 \pi}} n_1 B_{12} \left( 1 - \exp \left[ - {{h \nu } \over {kT}} \right] \right) \phi ( \nu ) \qquad \mathrm{(LTE)} \end{align}
  • 막줄은 LTE 상태일 경우 볼츠만 분포를 따르기 때문에 $n_2 / n_1 = g_2 / g_1 \exp [ - h \nu / k T_\mathrm{ex} ]$ 이기 때문
  • $T_\mathrm{ex}$: 들뜸온도(excitement temperature). 관측한 영역의 준위분포와 동일한 분포의 LTE계가 있다면 그 LTE계의 온도

이것의 의미: 흡수선의 세기는

(20)
\begin{align} {{d I_\nu} \over {ds}} & = - \kappa_\nu I_\nu, \quad I_\nu = I_\nu (0)\ e^{- \tau_\nu } \\ \tau_\nu & = \int \kappa_\nu\ ds \end{align}

즉 흡수선 깊이는 흡수계수의 경로적분

선밀도와 선세기

  • 방출선 세기 $\propto$ 선밀도
  • 흡수선 세기 $\not{\propto}$ 선밀도
    • $- \exp [ - h \nu / kT ]$ 항(유도방출을 의미) 때문
    • $h \nu \gg kT \implies$ 유도방출 항 무시 가능, 흡수선도 선밀도에 비례
    • $h \nu \ll kT \implies$ 흡수선은 선밀도에 비례하지 않음 (e.g. 수소 21 cm 선)

선윤곽 (profile)

도플러 선폭증가(doppler broadening): 가우스 윤곽(정규분포)

  • 도플러 관계식은 다음과 같고
(21)
\begin{align} {{\nu - \nu_0} \over \nu } = - {v \over c} \implies {{d v } \over c} = {{ d \nu} \over \nu_0 } \end{align}
  • 다음 식에서 $f(v)$는 속도 $[v, v+dv]$인 원자의 비율, $d v$는 시선방향 속도
(22)
\begin{align} \phi ( \nu )\ d \nu & = f( v)\ dv \\ \phi ( \nu)\ d \nu & = \int f(v) {c \over \nu_0} d \nu \\ \phi ( \nu ) & = {c \over \nu_0 } f (v) \end{align}
  • 맥스웰-볼츠만 분포에서 $f(v)$는 다음과 같다.
(23)
\begin{align} f(v) & = {1 \over { \sqrt{\pi} b }} \exp \left[ - \left( {v \over b} \right)^2 \right] \\ b & = \left( {{2kT} \over m } \right)^{1 \over 2} = 12.9 \left( {T_4 \over A} \right)^2\ \mathrm{km/s} \quad \\ & (T_4 \equiv T/10^4\ \mathrm{K}) \\ 속도분산\ \sigma_v & = {b \over \sqrt{2}} = \left( {{kT} \over m} \right)^{1 \over 2} = 9.12 \left( {T_4 \over A} \right)^{1 \over 2}\ \mathrm{km/s} \\ 반치전폭\ \Delta v_\mathrm{FWHM} & = 2 \sqrt{ \ln 2 } \cdot b = \left[ {{ (8 \ln 2 ) kT } \over m} \right]^{1 \over 2} = 21.47 \left( { T_4 \over A} \right)^{1 \over 2}\ \mathrm{km/s} \\ & = 2 \sqrt{2 \ln 2} \sigma_v = 2.35 \sigma_v \end{align}
(24)
\begin{align} \therefore\ \phi ( \nu) & = {c \over \nu_0} f(v) = {1 \over { \sqrt{\pi} \Delta \nu_D }} \exp \left[ - \left( {{ \nu - \nu_0 } \over { \Delta \nu_D }} \right)^2 \right] \end{align}

도플러 선폭은

(25)
\begin{align} \Delta \nu_D & = { \nu_0 \over c} b = { \nu_0 \over c } \left( {{2 kT} \over m} \right)^{1 \over 2}, \\ \Delta \lambda_D & = { \lambda_0 \over \nu_0 } \Delta \nu_D \quad \left( \lambda_0 \equiv {c \over \nu_0 } \right) \\ \end{align}

반치전폭은

(26)
\begin{align} \Delta \nu_\mathrm{FWHM} = 2 \sqrt{ \ln 2 } \Delta \nu_D \end{align}

자연 선폭증가: 불확정성 원리에 의한 어쩔 수 없는 선폭증가

(27)
\begin{align} \phi ( \nu ) = {1 \over {\pi}} {{ \gamma / 4 \pi } \over { (\nu - \nu_0)^2 + ( \gamma/ 4 \pi)^2 }} \end{align}
  • 이것을 로렌츠 윤곽이라 하며 그 유도는 나중에 할 예정
(28)
\begin{align} 반치전폭\ \Delta \nu_L = { \gamma \over {2 \pi}}, \quad \Delta \nu_\lambda = { \lambda_0 \over \nu_0 } \Delta \nu_L \end{align}

충돌 선폭증가(collisional broadening): 포크트 윤곽(로렌츠 분포와 가우스 분포의 합성곱)

방출선과 흡수선

키르히호프 복사법칙

  1. 고체,액체, 밀도가 높은 기체는 연속복사를 한다.
  2. 배경에 연속복사가 있는 희박한 기체는 흡수선이 나타난다
  3. 뜨거운 희박한 기체는 방출선이 흡수선과 같은 위치에 나타난다

이것을 복사전달의 측면에서 이해하기

  1. 광학적 깊이가 큰 온도 $T$의 천체는 흑체복사에 가까운 열복사를 방출
  2. 광학적 깊이가 작은 온도 $T$의 천체는 방출선을 동반한 열복사를 방출
  3. 밝기온도 $T_\mathrm{b} (0)$의 배경복사가 차가운($T < T_\mathrm{b}$) 매질을 통과할 경우 흡수선
(29)
\begin{align} I_\nu - I_\nu (0) & = [ B_\nu (T) - I_\nu (0) ] ( 1 - e^{- \tau_{\nu, \mathrm{line} } } ) \\ T_\mathrm{b} - T_\mathrm{b} (0) & = [ T - T_\mathrm{b} (0) ] ( 1 - e^{- \tau_{\nu, \mathrm{line} } } ) \quad (h \nu \ll kT, k T_\mathrm{b} (0) ) \end{align}
  • $\tau_{\nu, \mathrm{line} } =$ 선복사의 광학적 깊이
  • $\tau_{\nu, \mathrm{cont} } =$ 연속복사의 광학적 깊이
2-3.png

키르히호프 법칙을 상기,

  • 109 아래는 광학적으로 두껍고 그 위는 광학적으로 얇다
  • 왜 이런 차이가 있느냐: 흡수계수가 진동수에 dependent 하기 때문