1.3. 흑체복사·열복사

1.3.1. 흑체복사

흑체복사

  • 정의: 입사하는 모든 빛을 흡수하는 물체(흑체)의 복사
  • 또한 열역학적 평형(TE) 상태에 있는 물체는 흑체복사를 한다

cf: 열평형과 열역학적 평형

  • 열평형(thermal equilibrium): $T = \mathrm{const.}, \Delta E / \Delta t = 0$
  • 열역학적 평형(thermodynamic equilibrium): 더욱 엄밀한 조건 필요. 상세한 것은 선복사 강의 때 다룰 것

온도 $T$인 TE 상태 상자가 있다고 할 때,

1-11.png
  • 상자 안에 있을 물체와 상자의 안감은 모두 온도 $T$이며 끊임없이 광자 $h \nu$를 서로 방출하고 흡수한다
  • 이 광자 방출 $I_\nu = B_\nu (T)$는 균일하며 등방적이고 편광이 없다.
  • $B_\nu (T)$는 온도와 진동수에만 의존적인 함수다.

플랑크 함수:

(1)
\begin{align} B_\nu (T) & = {{2 h \nu^3 } \over c^2 } {1 \over { e^{h \nu / k T} - 1}} \\ & \pi \int B_\nu (T)\ d \nu = \sigma T^4 \end{align}

열복사: 뜨거워서 나오는 복사

  • 열복사와 흑체복사의 차이: 열복사는 열역학적 평형이 아니다
  • 온도 $T$인 천체에서 우주공간으로 복사를 내보내는 경우: 우주공간은 차갑다

위 상자 그림으로 돌아가서, 상자의 구멍 바로 뒤에 광학적 깊이가 $\tau_\nu$인 물체가 있다고 할 때, 그 물체를 거쳐서 빠져나온 복사의 세기는

(2)
\begin{align} I_\nu = B_\nu e^{- \tau_\nu} + S_\nu ( 1 - e^{- \tau_\nu} ) \end{align}

그런데 그 물체도 흑체상자 안에 있으니 TE 상태이므로 $I_\nu = B_\nu$

(3)
\begin{align} B_\nu & = B_\nu e^{- \tau_\nu} + S_\nu ( 1 - e^{- \tau_\nu} ) \\ \therefore B_\nu & = S_\nu = {j_\nu \over \kappa_\nu } \end{align}

즉 흑체복사의 원천함수(방출계수/흡수계수)는 플랑크 함수이다.

  • 그런데 $j_\nu, \kappa_\nu$는 물질의 고유성질이므로 상자 밖으로 꺼내도 변하지 않음
  • $\implies$ 물체가 상자 밖에 나와 있으면 열복사가 되는 것
  • 키르히호프 열복사 법칙: 열복사의 원천함수(방출계수/흡수계수)도 플랑크 함수이다(사실 흑체복사가 열복사의 특수한 경우).
(4)
\begin{align} B_\nu (T) = {j_\nu \over \kappa_\nu} \end{align}

국부열역학적 평형(Local TE, LTE)

  • 열역학적 평형 상태에 있지 않지만, 모든 물리량이 마치 국부 온도 $T$의 열역학적 평형 상태의 매질의 물리량과 동일한 상태
  • 물체가 LTE 상태에 있을 경우, 물체 내 각 지점에서 국부 온도 $T$에 해당하는 키르히호프 법칙은 만족($j_\nu / \kappa_\nu = B_\nu (T)$)되지만, 복사의 세기는 $B_\nu (T)$와는 다르다.
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빈의 변위법칙:

플랑크 함수를 파장에 대해 쓰면

(5)
\begin{align} B_\lambda (T) & = B_\nu (T) \left| {{ d \nu } \over {d \lambda}} \right| \\ & = {{2 h c^2} \over \lambda^5 } {1 \over {e^{hc / \lambda k T} -1} } \end{align}

플랑크 함수가 최대가 되는 파장 = 옆 그래프에서 기울기가 0인 지점 ($\partial B_\nu / \partial \nu = 0$)

(6)
\begin{align} \lambda_\mathrm{max} T = 0.2898\ \mathrm{cm\ K}, \quad \lambda_\mathrm{max} = {{0.2898\ \mathrm{cm\ K} } \over T} \end{align}

1.3.2. 플랑크 함수의 유도

진동수 $v$에서 $v+dv$ 사이의 에너지는

(7)
\begin{align} u_\nu \cdot dV \cdot d \nu = N_s \times \bar{n}_\nu \times h \nu \end{align}
  • $u_\nu$: 에너지밀도
  • $dV$: 단위부피
  • $d \nu$: 단위진동수
  • $N_s$: 에너지가 $h \nu$에서 $h (\nu + d \nu )$ 사이인 양자상태수(number of quantum states).
    • 전자의 경우, $N_s (n) = 2 n^2$ (앞의 2는 위, 아래 스핀으로 경우의 수가 기본 2개임을 의미) ← 이 때 $n$은 에너지 준위 $n = 1, 2, 3, \cdots$
  • $\bar{n}_\nu$: 양자상태당 광자점유수(photon occupation number)의 평균
  • $h \nu$: 광자의 에너지

광자의 $N_s$

(8)
\begin{align} N_s & = 2 \times {{dV \cdot 4 \pi p^2 dp} \over h^3} = {{8 \pi \nu^2\ d \nu} \over c^3} \propto \nu^2 \\ & (\because\ p = {{h \nu} \over c}) \end{align}
  • i.e. 광자의 양자상태수는 진동수의 제곱에 비례
  • 가장 앞에 곱한 2는 역시 스핀 위, 아래를 의미 (고전적 기술 = 편광 방향이 두 개)

통계역학에 따르면

  • 열역학적 평형 상태에서 어떤 계가 에너지 $E_n$인 양자 상태에 존재할 확률은 $\exp [ - \beta\ E_n ]$
  • 광자가 $n$개 있다면 $E_n = n h \nu$
(9)
\begin{align} \bar{n}_0 & = {{ \Sigma n \cdot e^{- \beta n h \nu} } \over { \Sigma e^{- \beta n h \nu} }} \qquad ( \beta \equiv {1 \over {kt}} )\\ & = {{ - {1 \over {h \nu}} {\partial \over {\partial \beta}} \Sigma e^{- \beta n h \nu} } \over { \Sigma e^{- \beta n h \nu} }} \\ & = - {1 \over {h \nu}} { \partial \over {\partial \beta}} [ \ln \Sigma_{n=0}^\infty e^{- \beta n h \nu } ] \quad (무한급수)\\ & = - {1 \over {h \nu}} {\partial \over {\partial \beta}} [ \ln ( 1 - e^{- \beta h \nu} )^{-1} ] \\ & = - {1 \over {h \nu}} {{ - (1 - e^{- \beta h \nu})^{-2} \times h \nu e^{- \beta h \nu} } \over { (1 - e^{- \beta h \nu} )^{-1} }} \\ & = { e^{- \beta h \nu} \over {1 - e^{ - \beta h \nu} } } = {1 \over { e^{\beta h \nu} - 1 }} \\ & = {1 \over { e^{h \nu / kT} - 1 }} \end{align}
(10)
\begin{align} \therefore\ u_\nu dV\ d\nu & = N_s \times \bar{n}_\nu \times h \nu \\ & = dV {{8 \pi \nu^2 } \over c^3} d \nu \times {1 \over { e^{h \nu / kT} -1 }} \times h \nu \\ u_\nu & = {{ 8 \pi h \nu^3} \over c^3} {1 \over { e^{h \nu /kT} -1}} \\ & = {{4 \pi} \over c} B_\nu \end{align}
(11)
\begin{align} \implies B_\nu = {{2 h \nu^3} \over c^2 } {1 \over {e^{h \nu/ kT} -1}} \end{align}

1.3.3. 흑체복사의 특성

흑체의 표면선속(슈테판-볼츠만 법칙): 흑체 표면밝기는 균일하므로

(12)
\begin{align} F = \pi B = \pi \int_0^\infty B_\nu\ d \nu = \sigma T^4 \end{align}

i.e. 흑체의 선속(단위면적 단위시간당 에너지)은 온도의 네제곱에 비례

  • 슈테판-볼츠만 상수 $\sigma = 5.59 \times 10^{-5}\ \mathrm{erg\ cm^{-2}\ s^{-1}\ K^{-4}}$

에너지 밀도·복사압: 흑체복사는 균일하고 등방이므로

(13)
\begin{align} u & = {{4 \pi B} \over c} = aT^4 \\ p & = {1 \over 3} u = {1 \over 3} aT^4 \end{align}
  • 복사상수 $a = 4 \sigma / c = 7.565 \times 10^{-15}\ \mathrm{erg\ cm^{-3}\ K^{-4}}$

(단위진동수당) 광자밀도: 에너지밀도를 $h \nu$로 나눈 값

(14)
\begin{align} n_\gamma & = \int_0^\infty {{8 \pi \nu^2 } \over c^3} {{d \nu} \over { e^{h \nu / k T} -1 }} \\ & = 16 \pi \left( {{kT} \over {hc}} \right)^3 \times 1.202 = 20.3\ T^3\ \mathrm{cm^{-3}} \end{align}

레일리-진스 근사식: 파장이 긴 대역($h \nu \ll kT$)에서 플랑크 함수의 근사

(15)
\begin{align} B_\nu \approx {{2 kT} \over \lambda^2 } \end{align}

빈 근사식: 파장이 짧은 대역($h \nu \gg kT$)에서 플랑크 함수의 근사

(16)
\begin{align} B_\nu \approx {{2 h \nu^3} \over c^2} e^{- h \nu / kT} \end{align}

흑체복사와 연관된 온도

  • 유효온도(effective temperature): 선속량 관측값이 주어졌을 때 그와 같은 선속량의 복사를 방출하는 흑체의 온도 (전체 진동수에 대해 적분)
(17)
\begin{align} F = \sigma {T_\mathrm{eff}}^4 \end{align}
  • 밝기온도(brightness temperature): 세기 관측값이 주어졌을 때 그와 같은 세기의 복사를 방출하는 흑체의 온도 (특정 진동수의 밝기) — 주로 전파천문학(파장이 길다)
(18)
\begin{align} I_\nu & = B_\nu ( T_\mathrm{b} ) \\ & \approx {{2k T_\mathrm{b} } \over \lambda^2 } \quad (h \nu \ll kT) \end{align}
  • 색온도(color temperature): 두 파장대역에서 각각 관측된 세기의 비와 같은 비의 복사를 방출하는 흑체의 온도
(19)
\begin{align} {I_{\lambda_1} \over I_{\lambda_2} } = {{ B_{\lambda_1} (T_\mathrm{c} ) } \over {B_{\lambda_2} (T_\mathrm{c} )}} \end{align}
  • 이 세 온도는 실제 물리적 온도 $T$와는 다를 수도 있음
    • 예컨대 밝기온도는 $T_\mathrm{b} = T (1 - e^{- \tau_\nu})$ 이므로, 광학적 깊이가 클 때만 실제온도에 수렴하고, 광학적 깊이가 작을수록 급격히 작아진다.
(20)
\begin{align} I_\nu & \equiv B_\nu (T_\mathrm{b} ) \simeq {{ 2 k T_\mathrm{b} } \over \lambda^2 } \\ I_\nu & = B_\nu (T) (1 - e^{ - \tau_\nu } ) \\ {{2k T_\mathrm{b} } \over \lambda^2 } & = {{2kT} \over \lambda^2 } ( 1 - e^{- \tau_\nu } ) \\ T_\mathrm{b} & = T ( 1 - e^{- \tau_\nu} ) \end{align}
  • 색온도는 온도의 척도이지만, 나머지 둘은 "흑체라면 온도가 몇일까"로서, 온도보다 복사세기의 척도임

우주에서 가장 완벽한 흑체복사: 우주배경복사($T \sim 2.73\ \mathrm{K}$)