1.2. 방출·흡수·전달

교과서 1장 2절

공간에 매질이 있을 때

(1)
\begin{align} {{d I_\nu } \over {ds}} \ne 0 \end{align}

매질은 복사를 방출할 수도, 흡수할 수도 있다

방출계수와 흡수계수

1-7.png

방출계수 $j_\nu$:

  • 단위부피당 단위시간당 단위진동수당 단위입체각당(입체각의 의미: 매질이 사방으로 방출을 할 때, 입사광과 같은 방향만 따지겠다는 뜻) 방출에너지
(2)
\begin{align} dE = & d I_\nu dA dt\ dv\ d \Omega \\ & = j_\nu dV\ dt\ d \nu\ d \Omega = j_\nu (dA\ ds) dt\ dv\ d \Omega \\ & \implies {{d I_\nu} \over {ds}} = j_\nu \end{align}

흡수계수 $\kappa_\nu$는 그냥 정의:

(3)
\begin{align} d I_\nu & \equiv - \kappa_\nu I_\nu ds \\ dE & = - \kappa_\nu I_\nu dA\ dt\ d \nu\ d \Omega\ ds \\ {{d I_\nu } \over {ds}} & = - \kappa_\nu I_\nu \end{align}
(4)
\begin{align} \therefore\ {{d I_\nu} \over {ds}} = - \kappa_\nu I_\nu + j_\nu \qquad (복사전달방정식) \end{align}

복사전달방정식의 의미:

  • 부피 $V$인 희박한(i.e. 흡수를 무시하고 방출만 함) 천체(e.g. 전리수소영역)의 광도는?
(5)
\begin{align} L = {E \over {dt}} & = \int j_\nu dV\ d \nu\ d \Omega \\ & = 4 \pi \int j_\nu dV\ d \nu \end{align}
  • 입체각이 $4 \pi$로 됨은 천체가 등방하다고 가정했기 때문
  • 천체가 균질(homogeneous)하다면 거리변수도 무시할 수 있음
(6)
\begin{align} L = 4 \pi \int j_\nu d \nu\ V \end{align}

흡수계수의 물리적 의미:

  • 흡수계수의 단위는 [㎝-1] ← 왜 이런 차원일까?
1-8.png
  • 흡수입자의 단위부피당 개수 $n$ [㎤]
  • 흡수입자의 단면적 $\sigma_\nu$ [㎠]
  • 하나의 광자가 흡수될 확률은 전체 면적에 대한 전체 단면적이므로
(7)
\begin{align} {{dA\ ds\ n\ \sigma_\nu} \over {dA}} = n\ \sigma_\nu\ ds \end{align}
(8)
\begin{align} \therefore\ {{d I_\nu} \over {ds}} & = - n\ \sigma_\nu\ I_\nu = - \kappa_\nu I_\nu \\ \kappa_\nu & = n\ \sigma_\nu \end{align}
  • $\kappa_\nu$가 ㎝-1인 이유: 단위부피당 흡수할 수 있는 면적[㎠/㎤]이기 때문
  • 이 때 흡수계수는 입자가 "얼마나 많으냐"의 척도. 입자의 고유성질 아님 → 부피흡수계수
(9)
\begin{align} {\kappa_\nu} ' \equiv { \kappa_\nu \over \rho} = { \sigma_\nu \over {(\rho/n)}} = { \rho_\nu \over m} \end{align}
  • ${\kappa_\nu} '$ [㎠/g] 은 입자의 질량에 따른 척도. 입자의 고유성질. 질량흡수계수 또는 불투명도(opacity)

광학적 깊이와 복사력

(10)
\begin{align} d \tau_\nu \equiv - \kappa_\nu\ ds \end{align}
  • 와 같이 정의되는 $\tau$광학적 깊이(optical depth)
  • 매질 표면에서 $\tau_\nu = 0$이고 매질 속으로 깊이 들어갈수록 증가
1-9.png
(11)
\begin{align} {{d I_\nu} \over {ds}} & = - \kappa_\nu I_\nu = {{d \tau_\nu } \over {ds}} I_\nu \\ & (\because\ d \tau_\nu \equiv - \kappa_\nu\ ds) \\ \therefore\ {{d I_\nu} \over {d \tau_\nu}} & = I_\nu \end{align}
(12)
\begin{align} \int_{s'=0}^{s'=s} {{d I_\nu} \over {\tau_\nu}} & = \int_{s'=0}^{s'=s} d \Omega = \int_{\tau_\nu}^0 d \tau_\nu = - \tau_\nu \\ \left[ \ln I_\nu \right]_{s'=0}^{s'=s} & = \ln {{ I_\nu } \over {I_\nu (0)}} \\ \therefore\ I_\nu & = I_\nu (0) \exp [ - \tau_\nu ] \end{align}

광학적 깊이의 의미:

  • 복사세기는 광학적 깊이에 지수적으로 감소한다
  • 달리 말하면 광자가 매질에 흡수되지 않고 통과할 확률이 $\exp [ - \tau_\nu ]$

광학적 깊이의 평균이

(13)
\begin{align} < \tau_\nu > = \int_0^\infty \tau_\nu \exp [ - \tau_\nu ] d \nu = 1 \end{align}

이 되는 매질 두께 $l_\nu$평균자유행로(mean free path)라고 함

  • $\kappa_\nu = \mathrm{const.}$라면
(14)
\begin{align} \kappa_\nu \cdot l_\nu & = 1 \\ l_\nu & = {1 \over \kappa_\nu} = {1 \over {n \sigma_\nu}} \end{align}

평균자유행로가 광원의 크기보다 크다 = 광자가 광원을 빠져나갈 수 있음 을 의미

  • 배경복사의 광자수가 $N$이었다면 매질 통과 이후 광자수는 $N \exp [ - \tau_\nu ]$

예컨대 OB성에서 자외선이 나온다고 할 때, 광자의 에너지 $E > 13.6\ \mathrm{eV}$ 이면 수소를 전리시킬 수 있다. $13.6\ \mathrm{eV}$ 광자가 우주공간을 얼마나 평균적으로 날아가서 흡수될까?

  • 수소의 개수밀도 $n_\mathrm{H} = 1\ \mathrm{cm^{-3}}$
  • 수소의 단면적은 다음과 같다.
    • 광자의 에너지가 필요 에너지보다 크지 않으면 광자는 그냥 수소 원자들을 통과한다.
(15)
\begin{align} \sigma_\mathrm{H} = \begin{cases} 0 & (\nu < \nu_1) \\ 6.3 \times 10^{-18} \left( { \nu \over \nu_1 } \right)^{-3} \quad \mathrm{cm^2} \quad & (\nu \ge \nu_1 ) \end{cases} \end{align}
  • 이 때 $\nu_1$ 은 에너지 $13.6\ \mathrm{eV}$에 해당하는 진동수
(16)
\begin{align} l = {1 \over {n \sigma}} & = {1 \over {(1\ \mathrm{cm}^{-3}) \times (6.3 \times 10^{-18}\ \mathrm{cm}^2 )}} \\ & = {1 \over {(1\ \mathrm{cm}^{-3}) \times (6.3 \times 10^{-18}\ \mathrm{cm}^2} ) } \times {{1\ \mathrm{pc}} \over {3 \times 10^{18}\ \mathrm{cm}}} = 0.08\ \mathrm{pc} \end{align}
  • 즉 에너지 $13.6\ \mathrm{eV}$의 자외선 광자는 우주 공간을 $0.08\ \mathrm{pc}$ 날아가면 평균적으로 모두 흡수된다.
(17)
\begin{align} {{d I_\nu } \over {ds}} & = - \kappa_\nu I_\nu + j_\nu \\ \longrightarrow & {{d I_\nu } \over {d \tau_\nu}} = I_\nu - { j_\nu \over \kappa_\nu } = I_\nu - S_\nu \quad ( S_\nu \equiv {j_\nu \over \kappa_\nu} ) \end{align}

이 때 $S_\nu$원천함수(source function)라고 한다.

(18)
\begin{align} {{d I_\nu } \over {d \tau_\nu}} & = I_\nu - S_\nu \\ {{d I_\nu } \over {d \tau_\nu }} e^{- \tau_\nu} & = I_\nu e^{- \tau_\nu} - S_\nu e^{- \tau_\nu} \\ {{d I_\nu } \over {d \tau_\nu }} e^{- \tau_\nu} - I_\nu e^{- \tau_\nu} & = - S_\nu e^{- \tau_\nu} \\ {d \over {d \tau_\nu}} ( I_\nu e^{- \tau_\nu} ) & = - S_\nu e^{- \tau_\nu} \\ \int_{s'=0}^1 {d \over {d \tau_\nu}} ( I_\nu e^{- \tau_\nu} ) d \tau_\nu & = - \int S_\nu e^{- \tau_\nu}\ d \tau_\nu \\ \int_{s'=0}^1 d ( I_\nu e^{- \tau_\nu} ) & = - \int S_\nu e^{- \tau_\nu}\ d \tau_\nu \\ ( I_\nu - I_\nu (0) ) e^{- \tau_\nu} & = \int_0^{\tau_\nu} S_\nu e^{- \tau_\nu}\ d \tau_\nu \end{align}

양변에 $\exp [ - \tau_\nu ]$를 곱하고 적분하면

(19)
\begin{align} \therefore\ I_\nu = I_\nu (0) e^{- \tau_\nu} + \int_0^{\tau_\nu} S_\nu e^{- \tau_\nu}\ d \tau_\nu \end{align}
  • 이 때 우변 제1항은 흡수, 제2항은 (흡수를 고려한) 방출을 의미
    • $S_\nu = j_\nu / \kappa_\nu$ 이므로 제2항은 방출이 있을 때만 존재
  • $S_\nu$가 거리에 무관할 경우 다음과 같이 다시 쓸 수 있다.
(20)
\begin{align} I_v = I_\nu (0) e^{- \tau_\nu} + S_\nu (1 - e^{- \tau_\nu} ) \end{align}
  • 우변 제1항은 배경복사, 제2항은 (흡수를 고려한) 자체방출을 의미
  • 광학적 깊이가 매우 크고(optically thick) 원천함수가 상수이면 세기 = 표면밝기가 일정하다.

광학적 깊이의 의미 (2):

  • 광학적으로 두껍다(optically thick):
    • $\tau_\nu \gg 1 \longrightarrow I_\nu = S_\nu$
    • 배경복사는 보지 못하고, 천체의 자체방출만 보게 됨
  • 광학적으로 얇다(optically thin):
(21)
\begin{align} I_\nu & = I_\nu (0) ( 1 - \tau_\nu ) + S_\nu [ 1 - (1 - \tau_\nu )] \\ & = I_\nu (0) - [ I_\nu (0) - S_\nu ] \tau_\nu \end{align}
(22)
\begin{align} \therefore\ \begin{cases} \tau_\nu \gg 1 \implies & I_\nu = S_\nu \\ \tau_\nu \ll 1 \implies & I_\nu - I_\nu (0) = - ( I_\nu (0) - S_\nu ) \tau_\nu, \\ & I_\nu = I_\nu (0) + [ S_\nu - I_\nu (0) ] \tau_\nu \end{cases} \end{align}
  • 이것은 또한 $S_\nu > I_\nu (0)$ 일 때 방출선, $S_\nu < I_\nu (0)$ 일 때 흡수선이 나타남을 의미

복사력

복사력(rad force): 복사에 의한 단위부피당 힘

  • 힘은 운동량의 시간미분
  • 광자의 운동량은 $h \nu / c$, 에너지는 $h \nu$
  • 단위부피, 단위시간당 흡수되는 에너지는 $\kappa_\nu\ F_\nu$ ($\vec{F}_\nu = F_\nu \hat{k}$)

그러므로 단위부피당 받는 힘은

(23)
\begin{align} f & = {{d p} \over {dt}} = {1 \over c} {dE \over {dt \cdot dV}} \\ \vec{f} & = {1 \over c} \int \kappa_\nu\ F_\nu\ \hat{k}\ d \nu \end{align}

정리

물리량 정의 단위
방출계수 $j_\nu$ $\mathrm{erg\ cm^{-3}\ s^{-1}\ sr^{-1}\ Hz^{-1}}$
흡수계수 $\kappa_\nu = n \sigma_\nu$ $\mathrm{cm^{-1}}$
원천함수 $S_\nu = {j_\nu \over \kappa_\nu}$ $\mathrm{erg\ cm^{-2}\ s^{-1}\ sr^{-1}\ Hz^{-1}}$
광학적 깊이 $\tau_\nu = \int \kappa_\nu\ ds$ $\cdots$
평균자유행로 $l_\nu = {1 \over \kappa_\nu} = {1 \over {n \sigma_\nu}}$ $\mathrm{cm}$
불투명도 ${\kappa_\nu}' = {\kappa_\nu \over \rho}$ $\mathrm{cm^2\ g^{-1} }$
복사력 $\vec{f} = {1 \over c} \int \int {\kappa_\nu}' I_\nu \hat{k}\ d \nu\ d \Omega$ $\mathrm{cm\ s^{-2}}$,
$\mathrm{dyn\ g^{-1}}$