1.1. 복사의 기본물리량

교과서 제1장 1절

선속·세기

망원경으로 천체를 본다고 할 때, 망원경으로 입사되는 에너지는 망원경의 면적, 노출 시간, 광자 진동수에 비례

(1)
\begin{align} d E = F_\nu\ dA\ dt\ d \nu \end{align}

선속밀도(flux density) $F_\nu$는 단위면적, 단위시간, 단위진동수당 입사하는 에너지양.
단위 [erg cm-2 s-1 Hz-1]

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진동수 대신 파동에 대해 나타내면

(2)
\begin{align} F_\nu & = F_\lambda\ dA\ dt\ d \lambda \\ F_\lambda & = F_\nu {{ d \nu} \over {d \lambda}} = { c \over \lambda^2} F_\nu \end{align}

(1)의 $dE$는 망원경에 입사된 모든 에너지 의미.
임의의 방향의 에너지를 정의하기 위해 입체각 $\Omega$ [sr] 정의

(3)
\begin{align} d \Omega & = \sin \theta\ d \theta\ d \phi \\ {{d \Omega} \over {4 \pi}} & = {{dA} \over {4 \pi R^2}} \implies dA = R^2 d \Omega \end{align}
(4)
\begin{align} dE & = I_\nu \cos \theta\ dA\ dt\ d\nu\ d \Omega \\ & \qquad ( \cos \theta = \hat{n} \cdot \hat{k} ) \\ F_\nu & = \int I_\nu \cdot \cos \theta\ d \Omega \end{align}

고유세기(specific intensity) 또는 표면밝기(surface brightness) $I_\nu$는 천체를 기술하기 위한 가장 기본 물리량. 단위는 [erg cm-2 s-1 Hz-1 sr-1]

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$E_1$: 1에서 보았을 때 입체각 2를 통과하는 에너지

(5)
\begin{align} d E_2 & = I_{\nu,2} \cdot d A_2 \cdot dt\ d \nu\ d \Omega_2 = {{dA_1} \over r^2} \\ d E_1 & = I_{\nu,1} \cdot d A_1 \cdot dt\ d \nu\ d \Omega_1 = {{dA_2} \over r^2} \\ \end{align}

$\therefore\ I_{\nu,1} = I_{\nu,2}$. 세기는 거리에 의존하지 않는다. $dI_\nu / ds = 0$.
천체가 멀면 어둡고 가까우면 밝은 이유는 입체각이 작고 커지기 때문.
입체각과 선속은 거리의 제곱에 반비례한다.

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거리 $d$만큼 떨어진, 반경 $R$, 표면밝기 $B_\nu$인 천체의 입체각, 선속은

(6)
\begin{align} \Omega_s & = \int \int \sin \theta\ d \theta\ d \phi \\ & = 2 \pi \int_0^{\theta_s} \sin \theta\ d \theta \\ & = 2 \pi \left[ 1 - \cos \theta_s \right] \\ & \simeq 2 \pi \left[ 1 - \left( 1 - {{\theta_s}^2 \over 2} \right) \right] \\ & \simeq \pi \cdot {\theta_s}^2 \simeq \pi \left( {R \over d} \right)^2 \end{align}
(7)
\begin{align} F_\nu & = \int B_\nu \cos \theta\ \sin \theta\ d \theta\ d \phi \\ & = B_\nu \int_0^{\theta_s} \cos \theta\ \sin \theta\ d \theta \\ & = \pi B_\nu\ \sin^2 \theta_s = \pi B_\nu \left( {R \over d} \right)^2 \\ & \simeq \pi B_\nu {\theta_s}^2 \simeq B_\nu \Omega_s \end{align}

표면에서의 선속 $F_\nu (d = R) = \pi\ B_\nu$

에너지밀도·복사압·평균세기

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에너지밀도(energy density) $u_\nu$: 단위부피, 단위진동수당 에너지

에너지 $dE$인 광선이 높이 $dl$을 통과하는 소요시간은

(8)
\begin{align} dt = {{dl} \over {c \cdot \cos \theta}} \end{align}
(9)
\begin{align} dE & = d u_\nu\ dV\ d \nu \qquad (dV = dA \cdot dl) \\ & = I_\nu \cos \theta\ dA\ dt\ d \nu\ d \Omega \\ & = I_\nu \cos \theta\ dA\ {{dl} \over {c \cdot \cos \theta}} d \nu d \Omega \\ & = {1 \over c} I_\nu\ dV\ d \nu\ d \Omega \\ \therefore\ u_\nu & = {1 \over c} \int I_\nu\ d \Omega \end{align}

복사압(radiation pressure) $P_\nu$: 복사가 단위 면적에 미치는 힘

$dA$를 통과하는 광자의 수 $dN$는 통과 에너지 $dE$를 광자 하나의 에너지 $h \nu$로 나누어

(10)
\begin{align} dN & = {{dE} \over {h \nu}} = {1 \over {h \nu}} I_\nu\ \cos \theta\ dA\ d \nu\ d \Omega \end{align}

힘은 (수직방향) 운동량의 변화량이므로

(11)
\begin{align} F = {{p} \over {dt}} = {{h \nu} \over c} \cos \theta {1 \over {dt}} \end{align}
(12)
\begin{align} P_\nu \cdot dA\ d \nu = dF & = {{h \nu} \over c} \cos \theta {{dN} \over {dt}} \\ & = {1 \over c} I_\nu \cos^2 \theta\ dA\ d \nu\ d \Omega \\ \therefore\ P_\nu & = {1 \over c} \int I_\nu\ \cos^2 \theta\ d \Omega \end{align}

반사가 일어날 경우 운동량이 2배가 되므로 $1/c \longrightarrow 2/c$

평균세기(mean intensity) $J_\nu$: 모든 방향에 대해 평균한 복사 세기

(13)
\begin{align} J_\nu = {1 \over {4 \pi}} \int I_\nu\ d \Omega \end{align}

정리

정리: 복사세기와 관련된 기본물리량 (표 1.1)
물리량 정의 단위
(고유)세기 $I_\nu$ $\mathrm{erg\ cm^{-2}s^{-1} Hz^{-1} }$, $\mathrm{Jy\ sr^{-1}}$
평균세기 $J_\nu = {1 \over {4 \pi}} \int I_\nu d \Omega$ 상동
에너지밀도 $u_\nu = {1 \over c} \int I_\nu d \Omega = {{4 \pi J_\nu} \over c}$ $\mathrm{erg\ cm^{-3} Hz^{-1}}$
복사압 $P_\nu = {1 \over c} \int I_\nu \cos^2 \theta\ d \theta\ d \Omega$ 상동
선속(밀도) $F_\nu = \int I_\nu \cos \theta\ d \Omega$ $\mathrm{erg\ cm^{-2} s^{-1} Hz^{-1}}$,
$\mathrm{Jy} := 10^{-23}\ \mathrm{erg\ cm^{-2} s^{-1} Hz^{-1}}$
  • [erg ㎝-2 s-1-1] 단위가 너무 크기 때문에 일반적으로 잰스키[Jy] 단위를 사용한다.

밝기가 일정한 천체에서 ($I_\nu = B_\nu = \mathrm{const.}$)

(14)
\begin{align} F_\nu & = \pi B_\nu \cdot \sin^2 \theta_s = \pi B_\nu \left( {l \over d} \right)^2 \\ \Omega_s & = 2 \pi (1 - \cos^2 \theta_s ) \simeq \pi {\theta_s}^2 \\ \sin \theta_s & = {R \over d} \simeq \theta_s \\ u_\nu & = {1 \over c} \int I_\nu\ d \Omega = {B_\nu \over c} \int\ d \Omega = {B_\nu \over c} \cdot \Omega_s = {{4 \pi} \over c} J_\nu \\ J_\nu & = {1 \over {4 \pi}} B_\nu \Omega_s \\ P_\nu & = {1 \over c} \int I_\nu \cos^2 \theta\ d \Omega \\ & = {B_\nu \over c} \cdot 2 \pi \int_0^{\theta_s} \cos^2 \theta \sin \theta\ d \theta \\ & = {B_\nu \over c} \cdot 2 \pi \int_{ \cos \theta_s }^1 X^2\ dX \qquad (X = \cos \theta) \\ & = {B_\nu \over c} 2 \pi {1 \over 3} ( 1 - \cos^3 \theta_s ) \\ & \simeq {B_\nu \over {3c}} 2 \pi \left[ 1 - \left( 1 - {3 \over 2} {\theta_s}^2 \right) \right] \qquad (테일러\ 전개) \\ & \simeq {{\pi B_\nu} \over c} {\theta_s}^2 \simeq {F_\nu \over c} \simeq u_\nu \end{align}

혜성의 꼬리가 형성되는 것 같은 사례에서 복사압은 이렇게 계산된다.